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4.2《平行四边形及其性质》小节复习题
题型01 利用平行四边形的性质求解
1．如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则(　　)
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是( )
A． B． C． D．
3．如图，将平行四边形ABCD沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则 ．
4．如图，在平行四边形ABCD中，的平分线交于E，，则的度数为 ．
5、如图，平行四边形中，连接．

(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N(不要求写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接，，求证：；
(3)若，，求的长．
题型02 利用平行四边形的性质证明
1、如图，在平行四边形ABCD中，的平分线交于点E，交的延长线于点G，的平分线交于点F，交的延长线于点H，与交于点O，连接，下列结论错误的是(　　)

A． B． C． D．
2．证明：平行四边形对角线互相平分，
已知：四边形是平行四边形，如图所示．
求证：，．
以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是(　　)
∴，．
∵四边形是平行四边形．
∴，．
∴．
∴，．
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧交对角线于点，若，，则 ．

4．在平行四边形ABCD中，，平分交于点，平分交于点，若，则的长为 ．
5．如图，在平行四边形中，过A作，过C作，交于点F．
求证：．
6.如图，平行四边形ABCD中，，，，求、以及的面积．
7.如图，四边形是平行四边形，平分交于点，平分交于点，求证：．
8.如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
题型03 平行四边形性质的其他应用
1．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则(　　)

2．已知平行四边形ABCD中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为(　　)

A．55° B．60° C．65° D．70°
3．平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ．
4．在平面直角坐标系中，已知点，，，以A，B，C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 (写出所有情况)
5．下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．
平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，．
方法一： 证明：如图，连接． 方法二： 证明：如图，延长至点E． 方法三：证明：如图，连接、，与交于点O．
你选择方法______．
证明：
6.如图，在平行四边形ABCD中，、分别平分、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点E作，垂足为F．若平行四边形ABCD的周长为28，，求
7.如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点，点，在上，且．

(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为12，求四边形的周长．
题型01 利用平行四边形的性质求解
1．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，然后根据邻补角求出结果即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故选：C．
2．D
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标，注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平行四边形ABCD的顶点的坐标分别是，
∴，
∴顶点D的坐标为．
故选：D．
3．
【分析】根据平行四边形的对边平行可知，利用平行线的性质还可求出；结合折叠的性质求出的度数，再在中利用三角形的内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
根据折叠的性质可知，
∵，
∴．
∵在中，，，
∴．
故答案为：．
4．
【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，由在平行四边形中，的平分线交于E，易证得，又由，即可求得的大小．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵的平分线交于E，，
∴，
∴，
故答案为：．
5.(1)解：如图，即为所作；

(2)证明：∵垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
在和中，
∴；
(3)解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
题型02 利用平行四边形的性质证明
1.D
【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，同理可证，
，
，
，故C正确，
，，
，故A正确，
，
，
，
，
，同理可证，
，
，故B正确，
无法证明，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定和性质等知识，可以从分析法入手，由果索因，进而得出结果，解题的关键是从条件开始，有条理地书写和表达．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
故答案为：．
3．
【分析】根据题意得，平行四边形的性质得到，再根据三角形内角和定理得到，即可解答．
【详解】∵以点为圆心，的长为半径画弧交对角线于点，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
4．或
【分析】根据平行四边形的，分类讨论，当角平分线与相交；当角平分线与不相交；图形结合分析，即可求解．
【详解】解：①如图所示，角平分线与相交于点，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，则，
同理可得，是等腰三角形，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，则，
∵，
∴，且，
∴，即；
②如图所示，角平分线与不相交，

证明方法同上，是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
5．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
6.∵平行四边形ABCD中，，，，
∴，则，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
7.证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
∴，
∴．
8.(1)解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
(2)过点A作，垂足为H，如图：
由(1)知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
题型03 平行四边形性质的其他应用
1．C
【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法.
【详解】解：如图，作于点M，
则平行四边形的面积，
∵，，
∴，即平行四边形的高的最大值是8cm，
∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确；
在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确；
所以甲乙的说法都是正确的，
故选：C.

2．D
【分析】由平行四边形ABCD得，根据题意得是得垂直平分线，则，得，即求得的度数．
【详解】∵解：四边形是平行四边形，
∴，，则，
∵以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，
∴是得垂直平分线，则，
所以，
那么，
故选：D．
3．12或18
【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12；
当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18；
故答案为：12或18．
4．(2，2)，(8，-2)，(-4，-8)
【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标．
【详解】解：如图，当四边形ACBD为平行四边形时，
D(2，2)；
当四边形ABCD为平行四边形时，
D(8，-2)；
当四边形ABDC为平行四边形时，
D(-4，-8)；
故答案为：(2，2)，(8，-2)，(-4，-8)．
5．解：证明：选择方法一：
如图，连接，

四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
在与 BCA中，
，
，
，
即平行四边形的对角相等．
6.(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵、分别平分、，
，，
，
∴，
∴，，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
(2)
解：作过E作 交于点H，
∵平行四边形ABCD的周长为28，
，
∵平分，，
∴，
．
7.(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)解：由(1)知，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴四边形的周长为24．

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