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4.6《反证法》小节复习题
题型01 反证法证明中的假设
1．用反证法证明“若，，则”时，第一步应先假设( )
A．不平行于 B．不平行于 C． D．
2．用反证法证明“中至少有两个锐角”，第一步应为( )
A．假设中至多有一个锐角 B．假设中有一个直角
C．假设中有两个直角 D．假设中有两个锐角
3．用反证法证明命题“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60度”，应先假设( )
A．三角形三个内角中，有一个内角大于或等于60度；
B．三角形三个内角中，所有内角大于60度；
C．三角形三个内角中，没有一个内角大于60度
D．三角形三个内角中，没有一个内角小于60度
4．用反证法证明命题：“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步可以假设(　　)
A．等腰三角形的底角是直角
B．等腰三角形的底角是直角或钝角
C．等腰三角形的底角是钝角
D．底角为锐角的三角形是等腰三角形
5．用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设 ．
6．用反证法证明“若，则”时，应首先设 ．
7．用反证法证明命题“已知中，，求证：．”第一步应先假设 ．
8．用反证法证明命题“已知的三边长满足．求证：不是直角三角形．”时，第一步应先假设 ．
9．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
10．用反证法证明下列问题：
如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分．
题型02 用反证法证明命题
1．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有( )
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折 为，则下列结论一定正确的是( )
A． B． C． D．
3．公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员西伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》的开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开．”《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词—“面”“面”就是无理数．无理数中最具有代表性的数就是“”．下列关于的说法错误的是( )
A．可以在数轴上找到唯一一点与之对应 B．它是面积为2的正方形的边长
C．可以用两个整数的比表示 D．可以用反证法证明它不是有理数
4．如图，，点D在BC边上，，EC、ED与AB交于点F、G，则下列结论不正确的是( )
A． B． C． D．
5．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是 (填序号)．
6．用反证法证明：“a与b不平行”，第一步假设为 ．
7．数学课上，学生提出如何证明以下问题：
如图，．求证：．

老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下：
证明：假设，
如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．

∵，
∴．
∵，
∴，
这与“________”相矛盾，
∴假设不成立，
∴．
以上证明过程中，横线上的内容应该为 ．
8．小明在用反证法解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面的四个推理步骤：
①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
②所以．
③假设．
④由，得，所以．
请写出这四个步骤正确的顺序 ．
9．如图，在中，，是的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合．
10．如图，已知直线，，E、F在线段上，且满足，平分，

(1)与是否平行？说明理由；
(2)求的度数；
(3)若平行移动线段，是否存在？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
参考答案
题型01 反证法证明中的假设
1．A
【分析】本题考查反证法，解决问题的关键是掌握反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，得到结论成立．假设结论不成立即可．
【详解】解：原命题的结论是求证，
那么利用反证法时应该假设a和c相交，即不平行于，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查的是反证法的应用，根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明“中至少有两个锐角”，第一步应假设中最多有一个锐角，
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查的是反证法，反证法第一步是先假设结论不成立，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：反证法第一步是先假设结论不成立，
用反证法证明命题“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60度”，
第一步应先假设三角形三个内角中，没有一个内角大于60度．
故选C．
4．B
【分析】用反证法证明命题的第一步就是假设命题的反面成立，而锐角的反面就是直角或钝角，据此即可得出答案．
【详解】解：用反证法证明命题：“等腰三角形的底角是锐角”时，
第一步可以假设：等腰三角形的底角是直角或钝角．
故选：B．
5．
【分析】本题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．
【详解】
解：用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设，
故答案为：．
6．
【分析】此题主要考查了反证法．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：a，b的等价关系有两种情况，因而的反面是．
因此用反证法证明“”时，应先假设．
故答案为：．
7．
【分析】本题考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可．
【详解】解：第一步应先假设；
故答案为：．
8．为直角三角形
【分析】此题考查了反证法，根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可，解题的关键是正确理解反证法的意义及步骤．
【详解】反证法证明命题“已知的三边长满足，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设“是直角三角形”，
故答案为：为直角三角形．
9．证明：假设三角形的三个内角中有两个(或三个)直角，
不妨设，则，
这与三角形内角和为相矛盾，不成立，
所以一个三角形中不能有两个直角．
10．证明：连接，
假设和互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵在中，点D、E分别在上，
∴不可能平行于，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即和不可能互相平分．
题型02 用反证法证明命题
1．C
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分B，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；
②用反证法即可判断；
③延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；
④作的平分线交于点G，证明，可得，进而可以判断；
【详解】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故选C．
2．B
【分析】根据折叠的性质得，，，，然后逐项分析即可．
【详解】解：由折叠的性质得，，，，，
A．若，则
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵、是的两个内角，
又∵三角形三个内角和为，
∴不可能等于，
∴，不可能成立，故A不正确；
B．∵，，
∴，故B正确；
C．若，
∵，
∴，显然不一定成立，故不正确；
D．若，
∵，
∴，显然不一定成立，故D不正确．
故选：B．
3．C
【分析】根据实数与数轴、勾股定理、算术平方根、无理数的概念、反证法判断即可．
【详解】解：A．利用勾股定理，可以在数轴上找到唯一点与之对应，本选项说法正确，不符合题意；
B．面积为2的正方形的边长为，本选项说法正确，不符合题意；
C．是无理数，不可以用两个整数的比表示，本选项说法错误，符合题意；
D．可以用反证法证明它不是有理数，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】根据全等三角形的性质可判断A，根据全等三角形的性质和可判断B，根据全等三角形的性质和直角三角形两锐角互余可判断C，可假设EG=BG，通过推理说明D是错误的．
【详解】解：A.∵，
∴AC=CD，故A正确；
B.∵，
∴∠B=∠E，
∵，
∴，
∴∠ABC=90°，故B正确；
C.∵，
∴∠B=∠E，
∵∠B+∠BGD=90°，BGE=∠EGF，
∴∠E+∠EGF=90°，
∴∠EFG=90°，
∴AB⊥CE，故C正确；
D.若EG=BG，
又∵B=∠E， ∠BGD=∠EGF，
∴△BGD≌△EGF，
∴DG=FG，
∴BF=BG+GF=EG+DG=DE=BC，这与BF故选D．
5．③
【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据反证法，可证明①②④正确，通过举反例，可证明③错误．
【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以①正确；
②若三角形的三个内角最少有2个直角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以②正确；
③因为三角形的三个内角可以都等于，所以③错误；
④若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以④正确．
故答案为：③．
6．a与b平行
【分析】反证法的第一步假设结论的对立面成立，作答即可．
【详解】解：用反证法证明：“a与b不平行”，第一步假设为a与b平行；
故答案为：a与b平行．
7．三角形的外角和等于
【分析】先假设，通过证明假设不成立，从而得到正确的结论．
【详解】证明：假设，
如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．

∵，
∴．
∵，
∴，
这与“三角形的外角和等于”相矛盾，
∴假设不成立，
∴．
故答案为：三角形的外角和等于
8．③④①②
【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．
【详解】证明：假设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，这与三角形内角和定理相矛盾，
∴，
∴这四个步骤正确的顺序是③④①②．
故答案为：③④①②．
9．证明：假设点D与点E重合．
∵是的中线，，
∴垂直平分，
∴，与相矛盾，
∴点D与点E不重合．
10．(1)解：，理由如下：
，
，
，
，
；
(2)平分，
，
，
；
，
，
．
(3)不存在，理由如下：
假设存在，
，
，
；
由(1)得，
，
，
由(2)得，
，
，
整理得，即点与点重合，这与已知条件相矛盾，
假设不成立，
不存在．

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