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2024-2025学年湖北省华中科技大学附属中学高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等比数列的公比，前项和为，则( )
A. B. C. D.
2.过点作函数图像的切线，则切线方程为( )
A. B. C. D.
3.某人射击枪命中枪，这枪恰有枪连中的不同种数为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒瓶装的饮料中有瓶有奖，消费者从中随机取出瓶，记为其中有奖的瓶数，则( )
A. B. C. D.
7.若为函数的零点，则( )
A. B. C. D.
8.设两个相关变量和分别满足下表：
若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为( )
参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知在一次数学测验中，某校名学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有 参考数据：；；
A. 平均分为 B. 及格率超过
C. 得分在内的人数约为 D. 得分低于的人数和优秀的人数大致相等
10.研究变量，得到组成对数据，，，，，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是( )
A. 相关系数不变 B. 变量与的相关性变强
C. 线性回归方程不变 D. 回归系数不变
11.已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在区间上单调递减
C. 无最大值，有最小值
D. 若函数有两个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设的个位数为，则 ．
13.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物株，设为其中成活的株数，若的方差，，则__________．
14.若恒成立，则实数 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，，，．
设，求证：数列是等比数列；
求数列的前项和．
16.本小题分
的展开式中，偶数项的二项式系数之和为，且前三项系数成等差数列．
求的值；
若，展开式有多少有理项？写出所有有理项．
17.本小题分
甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试笔试共有道专业理论题与道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数考生能够正确作答的概率均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对道题或答错道题，面试结束已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立．
当时，求；
求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值；
已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望．
18.本小题分
预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物数量较大进行试验，从该试验群中随机抽查了只，得到如下的样本数据单位；只：
发病 没发病 合计
接种疫苗
没接种疫苗
合计
能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？
从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值．
若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取只动物，记抽取的只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望．
附：，其中．
19.本小题分
已知，且在处取得极小值．
求的值；
若，且在处取得极大值，求的取值范围；
证明：对于任意的，有恒成立．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：
又
数列是首项为、公比为的等比数列；
由可知，即，
．
16.因为偶数项的二项式系数之和为，所以，解得，
所以二项展开式为
第一项：，系数为，
第二项：，系数为，
第三项：，系数为，
由前三项系数成等差数列得：，解得或．
若，由得，故二项展开式为，
可展开式的通项为，其中
由于，要成为有理项，则，
当时，；当时，；当时，
所以展开式有项为有理项，分别是．
17.由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立，
所以甲笔试满分的概率为，则，
又，所以．
由题意，甲至少答对道题才能够进入面试，
所以甲能够进入面试的概率，
由知，则，
则，
整理得，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为．
由知，面试时每道题的难度系数是，则甲答对每道面试题的概率，
由题意，甲累计答对道题或答错道题，面试结束，
所以甲面试结束时的答题数的可能取值为，，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以的分布列为：
数学期望为：．
18.根据列联表可得
，
所以，在犯错误的概率不超过的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关．
由于．
所以，，
，
由列联表中的数据可得，，所以．
由题可知，抽取的只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为只和只，所以从没发病的动物中随机抽取只，抽取的是接种了疫苗的概率为，
则由题意可知，且，
，，
，，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为．
19.，则，解得，
当时，，
当时，单调递增，又由，可知当时，，
当时，对求导，得到，可知单调递增，有
理由：，只需证，
可知当时，单调递增，又由，可知当时，，
由可知时，函数在处取得极小值；
，则，对求导得到，
当时，若单调递增，当时，不可能是的极大值点，
当时，当时，单调递增，若，可得当时，单调递增，由知不可能是的极大值点，
若时，存在，使当时，，当时，，又由，可知当时，时，故是函数的极大值点，由上知的取值范围为；
时显然成立，
时，，
不妨设，且，
直线，
设，则，
当时，对求导得到，
则在上单调递增，又，
若，则在上单调递增，，矛盾，
若，则在上单调递减，，矛盾，
故，即在上先单调递减，后单调递增，
则时，，此时，
则，
综上所述：
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