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2024-2025学年湖北省“新八校”协作体高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数其中为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形如图所示，则顶点对应的点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
4.在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数的最小正周期为，则在上的值域为( )
A. B. C. D.
6.古时“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台现有一个可盛米的“方斗”容器如图所示，已知，，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的时，“方斗”中米的总质量为( )
A. B. C. D.
7.我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，则( )
A. 不垂直 B. ，使得共线
C. 当时， D. 当时，在方向上的投影向量为
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 在区间上单调递减
C. 的图象可由向右平移个单位得到
D.
11.定义“真指数”：为自然对数的底数，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是关于的实系数二次方程的一个根，且，则实数的所有可能取值的和为 ．
13.在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为 ．
14.已知平面向量、、、，且，若，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是平面内两个不共线向量，，且三点共线．
求实数的值；
已知，若，，且四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
16.本小题分
已知关于的二次方程对恒成立．
求的取值范围；
当取得最小值时，求的值．
17.本小题分
如图，等腰中，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段的一点，且过点的直线与边分别交于点，已知，．
求的值；
若，求的值．
18.本小题分
锐角中，内角的对边分别为，且若在线段上的点满足且．
求；
求证：；
求的取值范围．
19.本小题分
已知在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转得到点，则满足公式．
已知点，将点绕坐标原点逆时针旋转得到点，求的坐标；
已知曲线．
请利用公式说明曲线和函数的图象之间的关系，并证明直线与曲线相切；
当时，试严格证明方程组，至少有组解．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.，
因为三点共线，所以存在使得，
即，
因为是平面内两个不共线向量，
所以，解得．
当，时，
，
设，则，
因为四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以，则，解得
所以．
16.因为关于的二次方程对恒成立，
所以，解得，
即解得，
故的取值范围为．
当取得最小值时，．
．
17.因为三点共线，
所以存在使得，
又，
因为不共线，所以
两式消去得．
由得，所以，
由得，联立解得．
所以，
在中，由余弦定理得，
所以在中，由余弦定理得，
因为为边的中点，所以，
所以．
又，
所以
．
18.由题设及正弦定理得，，
在中，，所以，则，
所以，
所以，则，
因为，所以，所以，
因为，所以．
因为，，
所以，，
设，则，又，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
两式消去得，，所以．
由及正弦定理知，
所以．
又
因为锐角，所以所以，
所以，所以，
所以，即
所以的取值范围为．

19.设，则所以．
，
取满足，
设为平面直角坐标系任意一点，将点绕坐标原点逆时针旋转得到点，
则
设在曲线上，
则，所以，
即，所以点在曲线上
将曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转，
再关于轴对称即可得到的图象．
设在直线上，其绕原点逆时针旋转得到，
则解得
所以，整理得，
即直线绕原点逆时针旋转得到直线，
而曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转得到曲线，
且恰为函数的最大值，
所以直线与曲线相切．
联立消有，设，则，
原问题等价于关于的方程解的个数，
设，
当时，易知为增函数，且，
则存在唯一，使得；
当时，由，
故至少存在，使得；
当，易知为增函数，由，，则存在唯一，使得．
综上可知方程组至少有组解．

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