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2.相关系数的性质：
① 当r>0时，称成对样本数据正相关；
当r<0时，称成对样本数据负相关.
② |r|≤1；
1.样本相关系数：
温故知新：
注：若0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度很强；
若0.3≤|r|<0.75，则认为y与x的线性相关程度一般；
若|r|≤0.25，则认为y与x的线性相关程度较弱。
温故知新：
2.相关系数的性质：
① 当r>0时，称成对样本数据正相关；
当r<0时，称成对样本数据负相关.
② |r|≤1；
③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系；当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上.
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8.2.1 一元线性回归模型
通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等. 进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测.
下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题.
生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180
儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182
利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图，如右图所示.
由图可知散点大致分布在一条从左下角到右，上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关. 利用统计软件，求得样本相关系数为r≈0.886，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高.
思考：根据表8.2-1中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？
在表8.2-1的数据中，存在父亲身高相同而儿子身高不同的情况.例如，第6个和第8个观测的父亲身高均为172 cm，而对应的儿子身高分别为176 cm和174 cm；同样，第3，4两个观测中，儿子身高都是170 cm，而父亲身高分别为173 cm和169 cm．可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，也就不能用函数模型刻画。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180
儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182
图8.2-1中的散点大致分布在一条直线附近，表明儿子身高和父亲身高这两个变量之间有较强的线性相关关系，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型其中，随机误差是一个随机变量．
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180
儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182
我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.模型中的Y也是随机变量，其值虽不能由变量x的值确定，但却能表示为bx+a与e的和，前一部分由x所确定，后一部分是随机的. 如果e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.
思考2：你能结合具体实例解释产生模型(1)中随机误差项的原因吗
在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差e的原因有：
(1) 除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等；
(2)在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差；
(3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差e的原因.
在一元线性回归模型y＝bx＋a＋e中，随机误差e产生的原因有：
（1）所用的确定性函数不恰当引起的误差；
（2）忽略了某些因素的影响；
（3）存在观测误差．
总结：
1.说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归模型的例子.
解：函数模型刻画的是变量之间具有的函数关系，是一种确定性的关系.回归模型刻画的是变量之间具有的相关关系，不是一种确定性的关系，即回归模型刻画的是两个变量之间的随机关系.
例如，路程与速度的关系、正方体体积与边长的关系可以应用函数模型刻画；体重与身高的关系、冷饮销量与气温的关系可以应用回归模型刻画.
请看课本P107：练习1
2.在一元线性回归模型(1) 中，参数b的含义是什么
解：参数b的含义可以解释为解释变量x对响应变量Y的均值的影响，变量x每增加1个单位，响应变量Y的均值将增加b个单位.
例如，教科书中父亲身高为175 cm的儿子身高的均值比父亲身高为174cm的儿子身高的均值高出0.839cm.
注意：因为响应变量Y最终取值，除了受变量x的影响，还要受随机误差e的影响，所以不能解释成解释变量x每增加一个单位，响应变量Y增加b个单位.
请看课本P107：练习2
解：不能.
一是父亲的身高与儿子的身高之间是随机关系，不是函数关系；
二是这组数据仅是总体的一个样本，不一定能很好地描述两个变量之间的关系.
3.将图8.2-1中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是一个折线图，可以用这条折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？
请看课本P107：练习3
一元线性回归模型：
Y：因变量或响应变量， x：自变量或解释变量，
a：截距参数， b：斜率参数，
e：Y与bx+a之间的随机误差.
课堂小结：
学以致用：若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单元：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过多少？
解：因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型
y＝bx＋a＋e，
其中b＝0.7，a＝3，所以得到 y＝0.7x＋3＋e，
当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，
而|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，
所以年支出预计不会超过10.5亿元．

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