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2025届高三 5月保温模拟考试
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合A= x+3 x x-2 ≥0 ,B= x 3p-2≤x≤2p-1 ,B RA，则 p的取值范围是 ( )
A. - 1 ,1 B. - 1 3 3 3 , 2 C. -
1
3 ,
3
2 D. -
1
3 ,+∞
2. 3π π在等差数列中，a2+ a6= 2 ，则 sin 2a4- 3 = ( )
A. 3 B. 1 C. - 3 D. - 12 2 2 2
3. 已知 a,b是非零平面向量，则“a b< a2”是“ b < a ”的 ( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. α tanα=- 4已知角 终边在第二象限，且 3 ，则 1+sin2α+ 2-2cos2α的值为 ( )
A. 1 B. 75 C.
9
5 D.
13
5
5.从正六边形ABCDEF的顶点和该正六边形的中心O这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构
成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是 ( )
A. 13 3 24 2616 B. 4 C. 35 D. 35
6. 1 2已知曲线E:
x2
+ 2 = 1，则曲线E上的点P x,y 到原点距离的最小值为 ( )y
A. 3+ 2 2 B. 2+ 1 C. 3- 2 2 D. 2- 1
7.已知圆台的上、下底面圆的半径分别为 2，5，侧面积为 35π，则以该圆台外接球的球心为顶点，上、下底面
圆为底面的两个圆锥的体积比为 ( )
A. 125 B. 127148 148 C.
127
125 D.
148
125
8. 已知数列 a 满足 a + -1 n -1n n+1 an-1= 3n- 4(n≥ 2且n∈N *)，a1= 1，则 a5= ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
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二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.设 z1，z2为复数，则下列结论中错误的是 ( )
A. 若 z2 2 21+ z2> 0，则 z1>-z22 B. z1-z2 = z1+z 22 -4z1z2
C. z2+ z21 2= 0 z1= z2= 0 D. z - z

1 1是纯虚数或零
10. 已知函数 f(x) 1的定义域为R，且 f 2 ≠ 0，若 f(x+ y) + f(x)f(y) = 4xy，则下列结论正确的是 ( )
A. f - 12 = 0 B. f
1
2 =-2
C. 1 1函数 f x- 2 是偶函数 D. 函数 f x+ 2 是减函数
11. 用平面 α截圆柱面，圆柱的轴与平面 α所成的角记为 θ，当 θ为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学
家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分
别位于 α的上方和下方，并且与圆柱面和 α均相切，切点分别为F1,F2．下列关于截口曲线的椭圆的结论
中正确的有 ( )

A. 椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B. 椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距 O1O2 相等
C. 所得椭圆的离心率 e= cosθ
D. θ其中G1G2为椭圆长轴，R为球O1的半径，有R= AG1 tan 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.已知一组数据 0，9，7，4，5，从 1到 10中的整数里随机选择 2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据
与原数据中位数相同的情况有 种．

13.

已知向量 a，b满足 a = b ，且 b在 a- b上的投影向量为单位向量，则 a-b = .
14.已知函数 f(x) = |ex- 1|，x1< 0，x2> 0，函数 f(x)的图象在点A(x1，f(x1))和点B(x2，f(x2))的两条切线
|AM |
互相垂直，且分别交 y轴于M，N两点，则 | | 的取值范围是 ．BN
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. (本题满分 13分)
已知△ABC为锐角三角形，角A、B、C的对边分别为 a、b、c， a+b+c a-b+c = 3ac，b= 2.
(1)求 a+ c的取值范围；
(2)求△ABC的内切圆半径 r的最大值.
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16. (本题满分 15分)
已知函数 f x = 1 22 x - a-2 x- 2alnx，a∈R．
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当 a> 0 5时，证明：f x ≥ lna- a2+ 2 ．
17. (本小题满分 15分)
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点A1在底面ABCD的射影为点D，AD= 1，AB=AA1= 2，
∠DAB= π3 ．
(1)求证：平面A1BD⊥平面ADD1A1；
(2)已知点E在线段C1D上 (不含端点)，且平面A1BE与平面BCC π1B1的夹角的余弦值为 4 ，求BE与平
面BCC1B1所成角的正弦值．
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18. (本小题满分 17分)
x2 y2
设双曲线C: 2 - 2 = 1 a>0,b>0 的左、右焦点分别为F1,F2，直线 l与C的渐近线不平行，且与C恰a b
有一个公共点P，点Q在 l上．当PF2⊥ x轴时， PF1 = 5, PF2 = 3．
(1)求C的方程；
(2)若P不在 x轴上，满足QF2⊥PF2，求Q的横坐标；
(3)若QF2⊥ l，证明Q的轨迹为圆，并求该圆的方程．
19. (本小题满分 17分)
某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试 (测试Ⅰ)通过率为 p(0< p< 1)，未通过测试Ⅰ的芯
片进人第二次测试 (测试Ⅱ)，通过率为 q(0< q< 1).通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废.
（1）若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当 p= 0.8,q= 0.6时，求X的期望与方差；
（2）已知一枚芯片合格，求其是通过测试Ⅰ的概率 θ；
k
（3）为估计 (2)中的 θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中 k枚为通过测试Ⅰ.记 θ= m .若要使得

P θ-θ ≥0.05 总能不超过 0.1，试根据参考内容估计最小样本量m(m∈N ).
参考内容：设随机变量X的期望为E(X)，方差为D(X)，则对任意 ε> 0，均有P X-E(X) ≥ε ≤
D(X)
2 .ε
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参考答案
1. D
x+3 ≥ x+3 x-2 ≥0【解析】因为 x-2 0，所以 - ≠ ，所以 x≤-3或 x> 2，x 2 0
所以A= x x≤-3或 x>2 ，所以 RA= x -3当B= 时，3p- 2> 2p- 1，解得 p> 1，满足B RA；
3p-2≤2p-1
当B≠ 时，要使B RA，则 2p-1≤2
1
，解得- 3 < p≤ 1，
3p-2>-3
1 1
综上，p>- 3 ，即 p的取值范围是 - 3 ,+∞ . 故选：D
2. D
【解析】等差数列中，a2+ a = 3π6 2 ，则 2a4= a2+ a =
3π
6 2 ，
则 sin 2a - π = sin 3π - π4 3 2 3 = sin
7π
6 =-sin
π
6 =-
1
2 . 故选：D
3. B

b < a

a b= a

【解析】由 ，得 b cos a ,b < a a cos a ,b ≤ a 2，故必要性成立；
a

由 b< a 2 ，得 a b cos a ,b < a a b cos a ，得 ,b < a ，

b < a 不一定成立，故充分性不成立.

所以“a b< a 2”是“ b < a ” 必要不充分条件.
故选：B
4. C
【解析】由 tanα=- 43 ，角 α终边在第二象限，
4
sin2α= 2sinαcosα= 2sinαcosα = 2tanα
2× - 3 = =- 24则 2 2 ，sin α+cos α tan2α+1 4 2 - +1 253
4 2
2 2
cos2α= cos2α- sin2α= cos α-sin α 1-tan
2α 1- -
2 2 = =
3 =- 7 ，
sin α+cos α tan2α+1 2 - 43 +1
25
所以 1+sin2α+ 2-2cos2α= 1- 24 7 925 + 2-2× - 25 = 5 .
故选：C.
5. 从这七个点中任选三个点，共有C37= 35种，其中三点共线的情形有 3种，
即A、O、D或B、O、E或C、O、F，
其中能构成的等边三角形的有：△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、
△OFA、△ACE、△BDF，共 8个，
8 3
因此，构成的三角形不是等边三角形的概率是 1- 35-3 = 4 .
故选：B.
6. B
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【解析】曲线E: 1 22 + 2 = 1，x y
x2+ y2= x2+y2 1 + 2
2 2 2 2
则 2 2 = 3+
y 2x y 2x
x y x2
+
y2
≥ 3+ 2
x2
2 = 3+ 2 2，y
y2 = 2x
2
当且仅当 2 2 ，即 x
2= 1+ 2，y2= 2+ 2时取等号，
x y
所以 x2+y2≥ 3+2 2 = 2+1 2 = 2+ 1，
所以曲线E上的点P x,y 到原点距离的最小值为 2+ 1.
7. D
【解析】解：因为圆台的上、下底面圆的半径分别为 2，5，侧面积为 35π
记圆台的上、下底面半径分别为 r1= 2，r2= 5，设圆台的母线为 l，
则侧面积为 π(r1+ r2)l= 35π，故 l= 5，
则圆台的高 h= 52-(5-2)2= 4，
依题意画出轴截面，
记外接球球心到上底面的距离为 x，
则 x2+ 4= (x- 4)2+ 25 37，解得 x= 8 ，
1 2 37
3 πr1 8 148
故两个圆锥体积之比为 1 = ．πr2 37 1253 2 8 -4
8. D
【解析】a + -1 n -1n+1 an-1= 3n- 4中，令n= 2k得 a2k+1- a2k-1= 3× 2k- 4= 6k- 4，
所以 a2k+1= 6k- 4+ a2k-1= 6k- 4+ 6 k-1 - 4+ a2k-3= = 6k- 4+ 6 k-1 - 4+ +6× 1- 4+ a1
k 1+k= 6× 2 - 4k+ a1= 3k
2- k+ a1，故 a5= 11.
9. ABC
【解析】对于A，当 z1= 4+ i，z2= 2- 2i时，z21= 15+ 8i，z22=-8i，满足 z21+ z2> 0，但 z22 1与-z22都是虚数，
不能比较大小，故A中结论错误；
对于B，因为 z -z 2 不一定等于 z -z 21 2 1 2 ，所以 z 21-z2 与 z1+z2 -4z1z2不一定相等，如 z1= i,z2=
-i时，(z1+ z2)2- 4z1z2=-4， z1-z2 2= 4，故B中结论错误；
对于C，当 z1= 2+ i，z2= 1- 2i时，z21= 3+ 4i，z22=-3- 4i，满足 z2+ z21 2= 0，但 z1= z2= 0不成立，故C
中结论错误；
对于D，设 z1= a+ bi(a,b∈R)，则 z

1= a- bi，故 z

1- z1= 2bi，当 b= 0时，z1- z

1= 0

，当 b≠ 0时，z1- z1
是纯虚数，故D中结论正确. 故选：ABC.
10. x= 1解：令 2 、y= 0
1 1
，则有 f 2 + f 2 × f(0) = f
1
2 [1+ f(0)]= 0，
f 1又 2 ≠ 0，故 1+ f(0) = 0，即 f(0) =-1，
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x= 1令 2 ，y=-
1
2 ，则有 f
1 - 12 2 + f
1 1 1 1
2 f - 2 = 4× 2 × - 2 ，
即 f(0) + f 12 f -
1
2 =-1，由 f(0) =-1
1 1
，可得 f 2 f - 2 = 0，
f 1 ≠ 0 f - 1又 2 ，故 2 = 0，故A正确；
令 y=- 12 ，则有 f x-
1 1 1
2 + f(x)f - 2 = 4x× - 2 ，即 f x-
1
2 =-2x，
故函数 f x- 12 是奇函数，
有 f x+1- 12 =-2(x+ 1) =-2x- 2，即 f x+
1
2 =-2x- 2
1
，即函数 f x+ 2 是减函数，
令 x= 1，有 f 12 =-2× 1=-2，故B正确、C错误、D正确．
故选：ABD．
11. ABC
【解析】设P为截口曲线的椭圆的一点，如图，过点P作线段EF,EF分别与球O1,O2切于点F,E，
故有 PF1 + PF2 = PF + PE = EF = O1O2 ，
由椭圆定义可知，该椭圆以F1，F2为焦点， O1O2 为长轴长，故B正确．

设椭圆长半轴长为 a，半焦距为 c，设O为O1O2的中点，
PF1与球O1切于点F1，O1F1⊥ α，OF1 α，故O1F1⊥OF1，
有 O1F1
2= OO 21 - OF 2= a2- c21 = b2，则 2b= 2 O1F1
即椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确．
c OF
由题意可得 θ=∠O1OF1，则 e= a =
1 = cosθ，故C正确．
OO1
2
由题意知 AG1 = F1G1 ,θ=∠O1OF1=∠AO1F1(这是因为C= 3 π)，
θ FG AG= 1 θ 1 1 1 则 2 2 ∠AO1F1=∠G1O1F1，故 tan 2 = R = R ，
AG
= 1 即R ，故D错误．
tan θ2
故选：ABC．
12. 29
【解析】数据 0，9，7，4，5，从小到大排列为 0，4，5，7，9，可得其中位数为 5，
从 1到 10中的整数里随机选择 2个不同的数加入这组数据有C210= 45种选法，
要使得新数据与原数据中位数相同，则可分为两类：
若两数中不含 5，不同的选法有C1C14 5= 20种；
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若两数中含 5，则不同的选法有C14+C15= 9种，
所以共有 20+ 9= 29种不同的选法，所以共有 29种..
13. 2

b a
-b
【解析】因为 b在 a- b上的投影向量为单位向量，所以 a 2 a-b = 1，-b

b a -b b a -b2
所以 2 a-b = 1，所以 = 1， a-b a-b

设 b a=m， a = b =n，可得 m-n2 = a -b ，

两边平方得 m-n2 2= a 2- 2a b+ b2，所以 m-n2 2 =n2- 2m+n2，
令m-n2= x，则 x2=-2x，解得 x= 0或 x=-2，

当 x= 0 m=n2 a 时，这时 ，此时 = b，此时 a- b= 0，不符合题意，
当 x=-2时，即m-n2=-2，

此时 a-b = a 2-2a b+b2= 2 n2-m = 2.
14.当 x< 0时，f(x) = 1- ex，导数为 f '(x) =-ex，
可得在点A(x1，1- ex_1)处的斜率为 k1=-ex_1，
切线AM的方程为 y- (1- ex_1) =-ex_1(x- x1)，
令 x= 0，可得 y= 1- ex_1+ x ex_11 ，即M (0,1- ex_1+ x ex_11 )，
当 x> 0时，f(x) = ex- 1，导数为 f '(x) = ex，
可得在点B(x ，ex_22 - 1)处的斜率为 k = ex_22 ，
令 x= 0，可得 y= ex_2- 1- x ex_2，即N (0,ex_2- 1- x ex_22 2 )，
由 f(x)的图象在A，B处的切线相互垂直，可得 k1k2=-ex_1 ex_2=-1，
即为 x1+ x2= 0，x1< 0，x2> 0，
|AM | 1+e2x1(-x ) 1+e-2x1 2 1
所以 |BN | = = = ∈ (0,1)．1+e2x2 x2 1+e2x e
x
2 2
故答案为：(0,1)．
15. (1) 2 3,4 (2) 33
【解析】(1)因为 a+b+c a-b+c = 3ac，则 3ac= a+c 2 - b2= a2+ c2- b2+ 2ac，
可得 a2+ c2- b2= ac，
a2+c2-b2 1
由余弦定理可得 cosB= 2ac = 2 ，
π
因为B为锐角，故B= 3 ，
0因为△ABC 2 π π为锐角三角形，则 0a c b 2 4 3 4 3
由正弦定理可得 = = sinB = = 3 ，故 a= 3 sinA，c=
4 3
3 sinC，sinA sinC 3
2
故 a+ c= 4 33 sinA+
4 3
4 sinC=
4 3
3 sinA+
4 3
3 sin A+
π
3
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= 4 3 sinA+ 4 3 13 3 2 sinA+
3
2 cosA = 2 3sinA+ 2cosA= 4sin A+
π
6 ，
π 故 a+ c= 4sin A+ π6 ∈ 2 3,4 ，
(2)又 a2+ c2- b2= ac，则 a+c 2 - 4= 3ac 1，由S△ABC= 2 a+b+c r=
1
2 acsinB，
2
r= 3 ac
a+c -4
得 2 a+c+2 =
1 3ac = 1 1a+c+2 a+c+2 = a+c-2 ，2 3 2 3 2 3
则当 a+ c= 4，即 a= c= 2 3时，rmax= 3 ，
所以△ABC的内切圆半径 r 3的最大值 3 .
16. (1)当 a≤ 0时，f x 在 0,+∞ 上单调递增；
当 a> 0时，f x 在 x∈ a,+∞ 上单调递增，在 x∈ 0,a 上单调递减
(2)证明见解析
x+2 x-a
【解析】(1)f x 的定义域为 x|x>0 ，f x = x+ 2- a- 2ax = x ，
当 a≤ 0时，f x ≥ 0，f x 单调递增，
当 a> 0时，令 f x = 0得 x= a，
所以 x> a时 f x > 0，f x 单调递增，
0< x< a时 f x < 0，f x 单调递减.
综上所述，当 a≤ 0时，f x 在 0,+∞ 上单调递增，
当 a> 0时，f x 在 a,+∞ 上单调递增，在 0,a 上单调递减；
(2)由 (1)a> 0时，f x 在 a,+∞ 上单调递增，在 0,a 上单调递减，
所以 f x ≥ f a = 1 a22 - a-2 a- 2alna，
5 1 5
要证明 f x ≥ lna- a2+ 2 ，只需证明 a
2
2 - a-2 a- 2alna≥ lna- a
2+ 2 ，
1
即证明 a22 + 2a- 2alna- lna-
5
2 ≥ 0 a>0 ，
1
令 g a = 2 a
2+ 2a- 2alna- lna- 52 a>0 ，
g a = a+ 2- 2 lna+1 - 1a = a- 2lna-
1
a ，
a-1 2
令 h a = a- 2lna- 1a a>
= 0 ，则 h a a ≥ 0，
所以 h a 在 a∈ 0,+∞ 上单调递增，即 g a 在 a∈ 0,+∞ 上单调递增，
因为 g 1 = 1- 2ln1- 11 = 0，
所以当 0< a< 1时 g a < 0，g a 单调递减，
当 a> 1时 g a > 0，g a 单调递增，
1
可得 g a ≥ g 1 = 2 + 2- 2ln1- ln1-
5
2 = 0，
即 f 5 x ≥ lna- a2+ 2 ．
17. (1) (2) 30证明过程请见解答； 10 ．
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【解析】(1)证明：因为点A1在底面ABCD的射影为点D，
所以A1D⊥平面ABCD，
又BD平面ABCD，所以A1D⊥BD，
△ABD AD= 1 AB= 2 ∠DAB= π在 中， ， ， 3 ，
由余弦定理知，BD2=AD2+AB2- 2AD ABcos∠DAB= 1+ 4- 2 1 2 12 = 3，即BD= 3，
所以BD2+AD2=AB2，即AD⊥BD，
又A1D AD=D，A1D、AD平面ADD1A1，
所以BD⊥平面ADD1A1，
又BD平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面ADD1A1．
(2)解：由 (1)知，A1D⊥平面ABCD，AD⊥BD，
故以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A (0，0， 3 )，B(0， 3，0)，C(-1， 3，0)，A(1，0，0)，
1
所以A1B= (0， 3，- 3 )，DC = (-1， 3，0)，CC1=AA1= (-1，0， 3 )，
设DE= λDC1= λ(DC +CC1) = λ(-2， 3， 3 )，λ∈ (0,1)，
则A1E=DE-DA1= λ(-2， 3， 3 ) - (0，0， 3 ) = (-2λ， 3λ， 3λ- 3 )，
m

= ( ) A 1E =-2λx+ 3λy+( 3λ- 3)z=0设平面A1BE的法向量为m x，y，z ，则 ，m A1B= 3y- 3z=0
y= 1 z= 1 x= 2 3λ- 3 m = 2 3λ- 3取 ，则 ， ，所以 ，1，1 ，2λ 2λ

易知平面BCC1B1的一个法向量为n= (0，1，0)，
π
因为平面A1BE与平面BCC1B1的夹角的余弦值为 4 ，
|cos
> |= |m n| 1所以 ，n = = cos π 1，解得 λ= ，
|m | |n | 2 3λ- 3
2 4 2
2λ +2×1

此时DE= -1 3 3，2 ，2 ，

所以BE=DE-DB= -1 3 3，2 ，2 - (0， 3，0) = -1
3 3
，- 2 ，2 ，
设BE与平面BCC1B1所成角为 θ，

3
= | < > |= |BE n
| - 2
则 sinθ cos BE，n = = 30 ，
|BE| |n | 1+ 3 + 3 × 104 4 1
故BE 30与平面BCC1B1所成角的正弦值为 10 ．
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2
18. ( y1)x2- 3 = 1(2)
1
2 (3)证明见解析，x
2+ y2= 1
【解析】(1)
当PF2⊥ x轴时，由双曲线的定义可知 PF1 - PF2 = 2a= 2，所以 a= 1,
在Rt△PFF 中，有 PF 21 2 1 = PF 2 22 + F1F2 ，即 25= 9+ 4c2，解得 c= 2，
2
所以 b= c2-a2= y3，故双曲线C的方程为 x2- 3 = 1．
(2)设P x0,y0 ,l的方程为 y= kx+m，其中m= y0- kx0,k≠± 3．
y=kx+m联立 y2 ，消去 x得 3-k2 x2- 2kmx- m2+3 = 0，x2- 3 =1
由题意可得Δ= 12 m2+3-k2 = 0，把m= y0- kx0代入得 y0-kx 20 + 3- k2= 0，整理得 x2-1 k20 -
2x0y0k+ 3+y20 = 0，
y22- 0 = 2- = y
2
x 1 x 1 0因为 0 3 ，所以 0 3 ,3+ y
2
0= 3x20，
y2 20
从而有 k2- y 3x3 2x0y0k+ 3x
2= 0 00 ，即 k- 3x0 = 0，解得 k= 0y y0≠0 ，3 0
= 3xl y 0 x-x + y x x- y0y所以 的方程为 y 0 0，化简得 0 3 = 1，0
- y0y故 l的方程为 x0x 3 = 1．
由 ( y1)可知F2 2,0 0 ，所以直线PF2的斜率为 x -2 ，0
因为点P不在 x轴上且QF2⊥PF2，
2-x0 ≠ = 2-x所以直线QF2的斜率为 y y0 0 ，直线QF2的方程为 y
0 x-2 ，
0 y0
x0x-
y0y
3 =1 1 1
联立 = 2-x ，解得 xQ= ，故点Q的横坐标为 ．y 0y x-2 2 20
( 3x3)由 (2)可得当 y0≠ 0时，直线 l的斜率为 0y ，0
y y
因为QF2⊥ l，所以直线QF 0 02的斜率为- 3x ，直线QF2的方程为 y=-0 3x
x-2 ，
0
y y 9x0+2y20
x0x-
0
3 =1
xQ= 9x20+y2联立 ，解得 0 y * ，y=- 0 x-2 = 6x0y0-3y03x0 yQ 9x2 20+y0
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y2
因为点P满足 x2- 00 3 = 1，
x +2
x = 0Q
所以 y2= 3x20 0- 3，代入 * 2x0+1 式，化简得 yy = 0Q 2x0+1
2 + 2 = x0+2
2 y 2
则 xQ yQ 2x0+1 +
0
2x +1 = 1，即 x2+ y2= 1；0
当 y0= 0时，Q ±1,0 ，也符合上式，
故点Q的轨迹为圆，该圆的方程为 x2+ y2= 1．
19. (1)每个芯片通过测试的合格率为 0.8+ (1- 0.8) × 0.6= 0.92，则X~B(n,0.92)，
E(X) = 0.92n,D(X) = 0.0736n.
(2)解法一：记事件A:通过测试Ⅰ；事件B:通过测试Ⅱ；事件C:芯片合格.
则P(C) = 1- (1-P(A)) (1-P(B)) = p+ q- pq，
= = P(AC) = p则 θ P A C
P(C) p+q-pq .
解法二：记事件A1:经过测试Ⅰ；事件A2:经过测试Ⅱ；事件B:芯片合格.
则P B A1 = p,P B A2 = q,P(A1) = 1,P(A2) = 1- p.
则P(B) =P(A1)P B A1 +P(A2)P B A2 = p+ q- pq，
则 θ= P(A1B) pP A1 B = =P(B) p+q-pq .
(3)因为 k~B(m,θ)，所以E(k) =mθ,D(k) =mθ(1- θ).

解法一：E(θ) =E km =
1
m E(k) = θ,D( ) =
1 θ(1-θ)θ 2 D(k) = m ，m

∴ > θ(1-θ)

ε 0，P θ-θ ≥ε ≤ 2 ，又 θ 1-θ≤ 1 14 ，∴ ε> 0，均有P θ-θ ≥ε ≤ ，mε 4mε2

取 ε= 0.05，则P θ-θ ≥0.05 ≤ 1 ，根据题意要使得P θ-θ4m (0.05)2 ≥0.05 总能不超过 0.1，
1
当 ≤ 0.1，即m≥ 1000时满足条件.
4m (0.05)2
所以最小样本量大约为 1000.
mθ(1-θ) θ(1-θ)
解法二：由已知得对 δ> 0，有P k-mθ ≥δ ≤ 2 ，则Pδ
k
m -θ ≥
δ
m ≤ . δ
2
m m
δ = θ(1-θ)记 ε m ，则 ε> 0，有P θ-θ ≥ε ≤ 2 ，又 θ 1-θ≤
1
mε 4 ，

∴ ε> 0 1，均有P θ-θ ≥ε ≤ 2 ，取 ε= 0.05，则P θ-θ ≥0.054mε ≤
1
4m (0.05)2
，

根据题意要使得P θ-θ ≥0.05 总能不超过 0.1 1，当 2 ≤ 0.1，即m≥ 1000时满足条件.4m (0.05)
所以最小样本量大约为 1000.
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