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（2）矩形的性质与判定——八年级数学北师大版（2012）暑假作业
一、知识详解
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）.
性质 数学语言 图形
角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形，
对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形，
对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴
3.矩形的判定
判定方法 数学语言 图形
角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ， 是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， ， 四边形是矩形.
对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ， 是矩形
二、练习
1.如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
2.如图，把矩形沿 翻折， 点B恰好落在边的处且， 则是( )
A. B. C. D.
3.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.对角线相等且互相垂直
4.如图所示，为的中位线，点F在上，且，若，BC=8，则的长为( )
A.1 B.2 C.1.5 D.2.5
5.下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是( )
A.测量得出对角线相等 B.测量得出对角线互相平分
C.测量得出两组对边分别相等 D.测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等
6.如图,在矩形ABCD中,,,点E为BC上一点,把沿DE翻折,点C恰好落在AB边上的F处,则CE的长是( )
A.1 B. C. D.
7.如图,矩形的对角线,相交于点O,过点O作交于E,若,的面积为5,则的长度为( )
A.3 B.4 C.5 D.8
8.如图，在平行四边形中，对角线与交于点O.添加一个条件：__________，则可判定四边形是矩形.
9.如图，矩形中，，，将矩形绕点B旋转得到矩形，若恰好经过点C，则的长为______.
10.矩形的两条对角线的夹角为,较短的边长为,则矩形的对角线长为______.
11.如图，在矩形ABCD中，若，则线段的长为_________.
12.如图，四边形为矩形，过点A作交的延长线于点E.求证：.
13.如图,在中,,D为边上一点,以,为邻边作平行四边形,连接.
(1)求证：；
(2)若点D是中点,说明四边形是矩形.
答案以及解析
1.答案：C
解析：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故选：C.
2.答案：A
解析：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴
故选：A.
3.答案：C
解析：A、矩形和菱形的对角线都互相平分,故此选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定垂直,菱形的对角线垂直,故此选项不符合题意；
C、矩形的对角线相等,菱形的对角线不一定相等,故此选项符合题意；
D、菱形和矩形的对角线都不一定相等且互相垂直,故此选项不符合题意；
故选：C.
4.答案：A
解析：∵是的中位线，，
∴，D是的中点，
∵，
∴，
∴，
故选A.
5.答案：D
解析：A、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形,
∴对角线相等的四边形不是矩形,故选项A不符合题意；
B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形,
∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形,故选项B不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故选项C不符合题意；
D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等,
∴对角线互相平分且相等,
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形,故选项D符合题意；
故选：D.
6.答案：D
解析：设,则,
由折叠性质可知,
,
在中,,,
∴,
∴,
在中,,
即,
解得,
故选：D.
7.答案：C
解析：连接.
∵四边形是矩形,
∴O是的中点,
又∵,
∴为对角线的垂直平分线,
∴,,
∴.
∴,
又∵,
∴
∴,
故选：C.
8.答案：（或）（答案不唯一，正确即可）
解析：若使变为矩形，可添加的条件是：
；（对角线相等的平行四边形是矩形）
等.（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：或.
9.答案：1
解析：∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转性质可知，，，，
∴，
∴，
故答案为：1.
10.答案：24
解析：如图.
∵四边形是矩形,
∴.
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∴.
故答案为24.
11.答案：
解析：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
12.答案：见解析
解析：四边形是矩形，
∴，，
∵，
四边形是平行四边形，
，
.
13.答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)证明：∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴.
∵,,
∴,,
∴.
在和中,
,
∴.
(2)∵四边形是平行四边形,
∴,,
∵,点是中点,
∴,,
∵,,
∴四边形为平行四边形,
又∵,
∴四边形为矩形.（1）菱形的性质与判定——八年级数学北师大版（2012）暑假作业
一、知识详解
1.菱形：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，总结见下表.
性质 数学语言 图形
边 菱形的四条边都相等 四边形是菱形， .
对角线 菱形的两条对角巷互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形是菱形， ,
对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴
3.菱形的判定
判定方法 数学语言 图示
边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）. 在中， 是菱形.
四条边相等的四边形是菱形. 在四边形中， 四边形是菱形.
对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， 是菱形.
二、练习
1.如图，在菱形中，，.若菱形的周长24，则的长为( )

A.5 B.4 C.3 D.2
2.如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为( )

A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图所示，已知四边形为菱形，点E为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点B与点C恰好重合在一起.已知菱形的边长为4，则线段的长为( )
A. B.4 C. D.
4.下列条件中,能判断四边形是菱形的是( )
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直平分
5.如图，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是( )

A. B. C. D.
6.如图,在中,点D、E、F分别是边、、的中点,要判定四边形是菱形,下列所添加条件不正确的是( )
A. B. C.平分 D.
7.如图，在中，，点E，F分别是边，的中点，连接，，若四边形是菱形，则菱形的面积是( )
A. B. C.4 D.8
8.如图，在菱形中，，，则菱形的面积是________.
9.如图,菱形的对角线交于原点O,若点B的坐标为,点D的坐标为,则的值为______.
10.如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件_________，使四边形是菱形.
11.如图,菱形中,,,于点H,且与交于G,则______.
12.如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，.求证：四边形是菱形.
13.已知：如图，在菱形中，E，F是对角线上两点，连接，，．求证：．
答案以及解析
1.答案：C
解析：四边形是菱形，
，
，
，
是的中位线，
，
故选：C.
2.答案：B
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选：B.
3.答案：C
解析：四边形是菱形，
，
线段沿折叠后点B与点C恰好重合在一起，
，，
，
故选：C.
4.答案：D
解析：因为对角线互相平分的四边形为平行四边形,且对角线互相垂直的平行四边形为菱形,
所以对角线互相垂直平分的四边形是菱形,
故选D.
5.答案：A
解析：对角线，交于点O，则为直角三角形
则.，
，
菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算，
即，
∴，
故选：A.
6.答案：A
解析：当时,四边形是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点,
∴,,
∴四边形DBFE是平行四边形,
∵,,
∴,
∴四边形DBFE是菱形.
故B正确,不符合题意,
当BE平分时,∴
∵,
∴
∴
∴
∴四边形DBFE是菱形,
故C正确,不符合题意,
当,
∵
∴,
∴四边形DBFE是菱形,
故D正确,不符合题意,
故选A.
7.答案：B
解析：作于点M，如图所示，
点E是边的中点，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
故选：B.
8.答案：24
解析：连接，交于点O，根据菱形的性质可得，，
由勾股定理可得，
所以，
即可得菱形的面积是.
故答案是：24.
9.答案：
解析：∵四边形是菱形,且对角线交于原点O,
∴点与点关于原点成中心对称,
,,
.
故答案为：.
10.答案：(答案不唯一)
解析：添加(答案不唯一)，
∵在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
故答案为：(答案不唯一).
11.答案：
解析：四边形是菱形,,,
,,,
∴在中,,
,,
,
.
故答案为.
12.答案：见解析
解析：证明：如图，设交于点O，
∵，四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形.
13.答案：见解析
解析：∵四边形是菱形，E，F是对角线上两点，
∴，．
∵，
∴，
即．
在和中，，
∴，
∴．（3）正方形的性质与判定——八年级数学北师大版（2012）暑假作业
一、知识详解
1.正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.
元素 性质
边 对边平行，四条边都相等
角 四个角都是直角
对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
3.正方形的判定
1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.
2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形.
二、练习
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.四个角都是直角
2.如图推理中,空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是( )
A.①② B.①④ C.③④ D.②③
3.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是OB的中点,连接AE,若,则线段AE的长为( )
A. B.3 C. D.
4.如图,在正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,且,则( )
A.20.5° B.30.5° C.21.5° D.22.5°
5.如图,四边形是平行四边形,下列结论中错误的是( )
A.当时,是矩形
B.当时,是菱形
C.当是正方形时,
D.当是菱形时,
6.如图,在正方形中,点G在边上,连接,于点E,于点F,若,,则的长为( )
A.5 B.8 C.12 D.2
7.如图，正方形中，，点P为线段上一点，且，点K为上的任意一点，则的最小值为( )
A.5 B. C.7 D.4
8.如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，且，则_______
9.如图，四边形是矩形，则只须补充条件______（用字母表示，只添加一个条件）就可以判定四边形是正方形.
10.如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形，的边长分别为3，4，H为线段的中点，则图中阴影部分的面积是_________.

11.如图，在正方形中，E是对角线上的一点，，连接.若，则的面积为________
12.如图，在正方形中，P是上的点，且，Q是的中点，求证：.
13.如图,在中,,平分交于点P,过点P作于点M,于点N,求证：四边形为正方形.
答案以及解析
1.答案：A
解析：矩形具有的性质为对角线互相平分,对角线相等,四个角都是直角,
正方形具有的性质为对角线互相平分且垂直,对角线相等,四个角都是直角,
故选：A.
2.答案：D
解析：∵对角线相等的平行四边形是矩形,对角线相等的菱形是正方形,
故选：D.
3.答案：C
解析：在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,,
∴,,
∴,
∵点E是OB的中点,
∴,
在中,,,
∴,
故选：C.
4.答案：D
解析：设AC与BD交于点O,
在四边形ABCD中,,.
∵,
∴.
∴.
故选：D.
5.答案：D
解析：A、当时,由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形,故该选项不符合题意；
B、当时,由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形,故该选项不符合题意；
C、当是正方形时,由正方形的对角线可得,故该选项不符合题意；
D、当是菱形时,可得,不能得到,故该选项符合题意.
故选：D.
6.答案：A
解析：四边形是正方形,
,,
∵,,
∴,
∴,
,
在和中,
,
,
,,
.
故选：A.
7.答案：A
解析：如图，作点P关于的对称点，连接，
则的长即为的最小值，
，
，
，
则的最小值为5，
故选：A
8.答案：22.5°
解析：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
故答案为：
9.答案：（答案不唯一）
解析：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，
故答案为：（答案不唯一）.
10.答案：6
解析：如图所示，连接，
∵点A，B，E在同一条直线上，正方形，的边长分别为3，4，
∴，，
∴
∴是直角三角形，
∴，
∵H为线段的中点，
∴图中阴影部分的面积是，
故答案为：6.
11.答案：
解析：过点E作，
，
∵正方形，，，
∴，，
设，则，，
∴，解得：，
∴的面积：，
故答案为：.
12.答案：见解析
解析：正方形，
，；
，
设，
则，
Q是的中点，
，
，
.
13.答案：详见解析
解析：∵平分交于点P,
∴,
∵过点P作于点M,于点N,
∴,
∵,
∴四边形为矩形,
∴,
∴,
∴,
∴四边形为正方形.

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