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2024 学年第二学期浙江省县域教研联盟学业水平模拟考试
数 学
考生须知：
1．本卷满分 100分，考试时间 80分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
一、单项选择题（本大题共 12题，每小题 3分，共 36分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题
目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．设集合 = 1, , = 1, ，若 = ，则 + =（ ▲ ）
A．1 B． 1 C．0 D．2
2．函数 ( ) = 2 的最小正周期是（ ▲ ）

A． B．π C．2π D．4π
2
3．下列函数中定义域为 R 的是（ ▲ ）
A． = 2 B． = 3 C． = ln D． = 2
4．已知复数 满足(1 + ) = 2（ 是虚数单位），则 =（ ▲ ）
A．1 B． 2 C．2 D．2 2
5．已知角α 的终边与单位圆交于点 (0，1)，则 + =（ ▲ ）
2
A． 1 B．0 C．1 D．2
6．“ < ”是“ < | |”的（ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7 4．已知 > 0，则 + 的最小值是（ ▲ ）
1+
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知向量 ， 的夹角是 60°，且 = 5， = 2，则 在 方向上的投影向量是（ ▲ ）
1
A． 1B． 1 1C． D．
2 2 5 5
9．某箱子中有 4个大小、质地完全相同的小球，其中 2个白球，2个红球，从中随机摸取 2个小球，则摸
到 2个红球的概率是（ ▲ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
高二数学学考模拟试题 第 1 页（共 4 页）
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10．在平面四边形 中， ⊥ ， ⊥ ， = 2， = 3， ， 分别为 ， 的中点，则
=（ ▲ ）
5 13A． 5 B． C． D．13
2 2
11．已知函数 ( )的定义域为 R，且 = (1 )为奇函数，当 < 1时， ( ) = 2 4，则 (1) + (2) =
（ ▲ ）
A． 7 B． 4 C． 3 D．4
12．现有两个函数模型如下，
1 t
模型一：如果C0是碳 14的初始质量，那么经过 t年后，碳 14的质量为 C(t) = C0( )5730 ；2
模型二：马尔萨斯自然状态下人口增长模型 = 0 ，其中 表示经过的时间， 0表示 = 0 时的人口
数， 是常数.（ 是自然对数的底）
则下列说法错误的是（ ▲ ）
A．经过 5730年，碳 14的质量变为初始质量的一半
B．碳 14的年衰减率与初始质量有关
C 2
3
．设 ，碳 14的第 年，第 + 1 年，第 + 2 年的衰减量分别为 1， 2， 3，则 = 1 2
D．以上两个模型都可以归结为模型“ = + ”（其中 为自变量， ， 为常数， 是自然对数的底）
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18分。每小题列出的四个备选项中，有多个是符合
题目要求的，全部选对得 6分，部分选对得相应部分的分数，多选、错选均不得分）
13．已知事件 A、B、C 满足 ( ) > 0， ( ) > 0， ( ) > 0，则下列说法正确的是（ ▲ ）
A．若 ，则 ( ) ≤ ( )
B．若 ( ) ≤ ( )，则
C．若 AB= ，则 ( ∪ ) = ( ) + ( )
D．若 AB= ，则 ， 不独立
14．从盛有 1L 1 1纯酒精的容器中倒出 L，然后用水填满；再倒出 L，又用水填满，连续进行若干次，容器
3 3
中的酒精浓度可能是（ ▲ ）
2 1 4 4
A． B． C． D．
3 9 9 27
15．在棱长为 2的正四面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， = ， ∈ (0,1)， = ，
∈ (0,1)，则下列说法正确的是（ ▲ ）
A． = 2
B 1．当 = = 时， 与 异面
2
C．当 + = 1时，多面体 的体积为定值
D．过 作平面 ⊥ ，平面 分别交 ， ， 于点 ， ， ，
则四边形 面积的最大值为 1
高二数学学考模拟试题 第 2 页（共 4 页）
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三、填空题（本大题共 4小题，每小题 3分，共 12分）
16．已知向量 = (1，0)， = (1，1)，则|2 + | = ▲ .
17．若长方体的长，宽，高的长分别为 3，4，5，则此长方体的外接球直径长为 ▲ .
18．函数 ( ) = 4 2 +1的单调递增区间是 ▲ .
19．平面四边形 中， = 1 = 3 = 6， ， ，∠ = 60°，∠ = 120°，则⊿ 的面积为
5
▲ .
四、解答题（本大题共 3小题，共 34分）
20．（本题满分 10分）
某市组织 120名学生参加数学竞赛，所得分数情况的频率分布直方图如下，根据此图：
（I）求 的值；
（II）若分数不少于 90分的都被认定为一等奖，请估计获一等奖的学生人数；
（III）若分数从高到低排序后，分数在前 40%的均可获奖，请估计获奖的最低分数线.
21．（本题满分 12分）
如图，在直三棱柱 中， = = = 1， ⊥ .
（I）求证： ⊥ ；
（II）求二面角 的正弦值.
高二数学学考模拟试题 第 3 页（共 4 页）
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22．（本题满分 12分）
已知定义域为 的函数 ( )，且存在定义域为 的单调函数 ( )，使得 [ ( ) + ( )] = ，（ 是常数）.
（I）若 = 1， ( ) = 1 ，求 ( )的解析式；
2，0 ≤ < 1
（II）若 ( ) = ，
( 1) + + 1，1 ≤ < 3
（i）求实数 的取值范围；
（ii）对于给定的实数 ，求实数 的取值的集合.
高二数学学考模拟试题 第 4 页（共 4 页）
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2024学年第二学期浙江省县域教研联盟学业水平模拟考试
数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A B B A C D A C D B
二、多选题
13 14 15
ACD AC ACD
三、填空题
16． 10 17．5 2
18．[0, + ∞) 2（注：(0, + ∞)也算对） 19． (4 3 3)
25
四、解答题
20．（I）由题意得：0.010 × 10 + 0.015 × 10 × 2 + × 10 + 0.025 × 10 + 0.005 × 10 = 1 .............（3分）
解得： = 0.030.........................................................（4分）
（II）0.005 × 10 × 120 = 6
故获一等奖人数为 6人...............................................（7分）
（III）80 10 × 1 ≈ 77，故获奖分数线约为 77分，（范围在[76，77]的任何数都算对）..........（10分）
3
21．解：（I）连 ，由 ⊥平面 ，得 ⊥ ，
又由 ⊥ ， ∥ 得： ⊥ ，.............................（3分）
故 ⊥平面 ，得： ⊥ ， ..................................（4分）
又由正方形 ，得： ⊥ ，
故 ⊥平面 ，得 ⊥ ； .........................................（6分）
（II）过点 作 ⊥ 于 ，过 作 ⊥ 于 ，连 ，
易得： ⊥平面 ，得 ⊥ ，又 ⊥ ，
故 ⊥平面 ，得 ⊥ ，
所以∠ 是二面角 的平面角， ....................................（9分）
易得： = 2 2 3， = 1，∠ 为直角，故 tan∠ = = ，得 sin∠ = .
2 2 3
.........................................................................（12分）
22．解：（I）方法一：由 [ ( ) + ( )] = 1，且 ( )是单调函数，
得：存在唯一的常数 ， ( ) + ( ) = （ 是常数），且 ( ) = 1， ..............（2分）
又由 ( ) + ( ) = ，得 1 + (1 ) = ，得 =1， ............................（3分）
故： ( ) = ( ) = ； .................................................（4分）
方法二：由 [ ( ) + ( )] = 1，且 ( )是单调函数，得： ( ) + ( )是常数 .......（2分）
又 ( ) = 1 ，故可设 ( ) = + ，代入 [ ( ) + ( )] = 1 得： ( + 1) = 1....（3分）
于是 2 + 1 = 1，解得 = 0，故 ( ) = ，...................................（4分）
注：若猜得答案 ( ) = ，没有过程，给 2分
第 1 页（共 2 页）
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（II）（i）由 [ ( ) + ( )] = （ 是常数），
得：存在唯一的常数 ，满足 ( ) + ( ) = ，且 ( ) = ，
又由 ( ) + ( ) = ，得 ( ) = ，故：
“存在定义域为[0，3)的函数 ( )，使得 [ ( ) + ( )] = ，（ 是常数）”等价于：
存在唯一常数 ，使得 ( ) = ，
即关于 的方程 ( ) = 有唯一解为 ，.......................................................................................（6分）
首先，由 ( ) + ( ) = ，且 ( )是单调函数，得： ( )也是单调函数，
2，0 ≤ < 1
于是由 ( ) = ， (1+) ≥ (1 )，得 + 1 ≥ 1，得 ≥ 0；
( 1) + + 1，1 ≤ < 3
.....................................................................（7分）
其次，根据 的方程 ( ) = 有唯一解，
2 ，0 ≤ < 1
而 ( ) = ， ( ) 的图像如下，
( 1) ( 1) + ，1 ≤ < 3
由图像可知：
当 = 0 时，关于 的方程 ( ) = 解不唯一，不合题意；
而当 > 0 1时，则 = 时，关于 的方程 ( ) = 总有唯一解，
4
所以实数 的取值范围是： > 0 ........................................................（9分）
（ii）结合 ( ) 的图像知：
1 1
①当 0 < ≤ 时，当 的取值为 ，2 时，关于 的方程 ( ) = 才有唯一解，得 的取值的
4 4
1
集合为{ ， 2 }.. ........................................................（11分）
4
1 1
②当 > 时，则当 的取值为 ，0， 1 1， ，2 ，2 时，关于 的方程 ( ) = 才有
4 4 4 4
1 1 1唯一解，得 的取值的集合为{ ，0， + ， ， 2 + ， 2 }................................（12分）
4 4 4
第 2 页（共 2 页）
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