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2025年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试题（七）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入20元记为元，那么支出30元记为（ ）
A．元 B．30元 C．元 D．50元
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．一个几何体按如图所示水平放置，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．如图，在中，，，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
7．点在直线上，坐标(x，y)是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，正方形的顶点在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若与互为相反数，的倒数是，则的值为 ．
10．将抛物线向下平移3个单位长度后，经过点，则 ．
11．如图，在中，，，是的中点，分别以，为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
12．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为 （结果精确到0.1）（参考数据：，，）
三、解答题
13．（1）解不等式：；
（2）若，请从小刚和小明的对话中确定的值，并对进行化简求值．
14．为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分数 80 85 90 95 100
人数 3 3 3
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
平均数 中位数 众数 方差
八年级（1）班 95
八年级（3）班 91 90
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)填空：_____，_____；
(3)请你分析比较两个班哪个成绩更好；
(4)从5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在不同的班级的概率．
15．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的32万人增加到2024年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加20套，售价每套可降低80元．但最低售价不得少于900元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
16．在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点A逆时针旋转得到，如图1．小明发现：与相切，请予以证明：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图2，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．请求出当时，长的最大值；
【问题解决】
在图2中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
17．某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值；
(2)如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，且，求的值；
(3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)连接，若点为轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度；
(3)点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标．
《2025年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试题（七）》参考答案
1．A
解：收入20元记作元，那么支出30元记作元，
故选：A．
2．D
解：A、∵，∴，故本选项不符合题意；
B、∵，∴，故本选项不符合题意；
C、∵，∴，故本选项不符合题意；
D、∵，∴，故本选项符合题意；
故选：D．
3．A
解：由题意知，该几何体的主视图为．
故选：A．
4．D
解：延长与直线b交于点M，
∵，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
5．A
解：由统计图可知，该班40名同学一周参加体育锻炼时间出现次数最多的是小时，故众数是9，
处在第、位的是，故中位数是，
故选：A．
6．C
解：由作图知，，
∵在中，，，．
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：．
故选：C．
7．A
解∶ 联立方程组，
解得，
∴P的坐标为，
∴点P在第一象限，
故选：A．
8．B
解：如图：过点A作轴于点M，过点C作轴于点N，
，
，
∵四边形是正方形，，，
∴，
．
∴．
∴，，
∵两点的横坐标分别为，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
．
故选：B．
9．
解：因为与互为相反数，的倒数是，
所以，
所以；
故答案为：．
10．
解：抛物线向下平移3个单位长度后得到
，
把点代入得到，，
得到，
∴，
故答案为：5
11．
解：∵在中， ，
∴，
又∵，且点是的中点，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积是．
故答案为：．
12．38.5
解：过点A作，垂足为，则，
，，
，
，
在中，，
．
点A到的距离约为38.5．
故答案为：38.5
13．（1）；（2），
解：（1），
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：．
（2）
，
由对话可得，且为整数，
∴，
原式．
14．(1)补全图形见解析
(2)91，
(3)见解析
(4)
（1）解：由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统计图如图所示：
（2）解：由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，，
∴，
一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名的平均数，
．
（3）解：八年级（1）班和八年级（3）班的平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比八年级（3）班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此八年级（1）班成绩较好．
（4）解：设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，则随机抽两名学生的所有情况如下：
(1)班 　（3）班 A B C X Y
A
B
C
X
Y
一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有共8种，则不在同一班级的有种，
∴所抽取的2名学生恰好在不同一个班级的概率为： ．
15．(1)
(2)200套
（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为．
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为m套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元，符合题意；
当时，售价元（不符合题意，故舍去）．
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
16．操作发现：见解析；实践探究：有最大值为；问题解决：见解析
解：操作发现：
证明：如图：连接并延长交于点M，连接，
∵是直径，
∴，
，
由旋转的性质得：，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴与相切．
实践探究：
解：由旋转的性质得：，
∴，即：，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
设，则，
，
∴，
，
∴当时，有最大值为；
问题解决：
证明：如图：过点E作交于点N，
由旋转的性质知：，
，
∴，
，
，
由旋转的性质得：，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
17．(1)1
(2)
(3)见解析
（1）解：猜想，理由如下：
设与的交点为G，
∵四边形是正方形，，
，
，
，
，，
．
在和中
，
，
，
；
（2）解：∵四边形是矩形，
，
，
∴，
，
∴；
（3）解：如图，过点F作，
∴，
，
∴四边形是矩形,
，
又，
，
∴,
，
，
∴，
∴．
18．(1)
(2)或
(3)或
（1）解∶由，则当时，．
即点B坐标为，故．
，
，．
∴点A、B、C的坐标分别为、、．
将A、C两点坐标代入，
解得
此抛物线的表达式为；
（2）解：，
．
如图，当点D在点B上方时，
依题意得，
．
．
．
当点D在点B下方时，
，
，
．
．
综上所述，线段的长度为或；
（3）解：如图所示
设所在直线的函数解析式为
、， 代入解析式得
解得
∴线段所在直线的函数解析式为，
设点，则点，
则．
当四边形为平行四边形时，
则．
即，
解得，
则点P的坐标为或

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