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山东省潍坊市三县2024-2025学年高一下学期5月期中检测数学试题
一、单选题
1．若角，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在基底下，（ ）

A． B． C． D．
4．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知扇形的周长为6cm，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B．3 C． D．6
6．在中，，是线段上的一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，将绕原点沿逆时针方向旋转到的位置，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知非零向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则与共线
D．若，则在上的投影向量为
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．的定义域为
C．在区间上单调递增
D．方程在区间上有2个实根
三、填空题
12． .
13．已知命题存在，使得.若为真命题，则 ， .（写出满足条件的一组数据即可）
14．如图，点为边长为1的正六边形的边上一点，若点与点重合，则 ，若点在边上（边除外）运动，则的取值范围为 .

四、解答题
15．已知向量，.
(1)求；
(2)若与垂直，求实数的值.
16．已知.
(1)求，的值；
(2)若，为锐角，且，求.
17．已知函数.
(1)若角的终边经过点，求的值；
(2)填写下表，并用五点法作出在的图象；
0
(3)当时，求的值域.
18．已知是偶函数，且其图象关于点对称.
(1)求的解析式；
(2)若将图象上的所有点向右平移个单位，再将得到的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，证明：有且只有一个零点，且.
19．已知向量集（且），记向量，若存在向量，使得，则称是的“平衡向量”.
(1)已知向量，，，若是向量集的平衡向量，求实数的取值范围；
(2)若向量集，，且，则中是否存在平衡向量？若存在，求出所有的平衡向量，若不存在，请说明理由；
(3)已知向量，，均为向量集的平衡向量，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列，其中，且，，，求.
参考答案
1．C
【详解】因为，则为第三象限角，
所以的终边在第三象限.
故选：C
2．D
【详解】由题意可得：，
解得：，
故选：D
3．C
【详解】由图像可知：，
故选：C
4．B
【详解】由题意得，所以，
即，所以，所以.
故选：B.
5．A
【详解】设扇形的半径和弧长分别为，则，可得，
所以扇形的面积为.
故选：A
6．C
【详解】设，
由得，
，
又，则，，
解得，.
故选：C.
7．B
【详解】解：因为，
所以，
又因为当 时，，
因为函数在区间上有且只有两个零点，
当时，的零点只能是，
所以，
解得，
所以的取值范围为是.
故选：B.
8．D
【详解】由，且绕原点沿逆时针方向旋转到，
所以，
而，
，
所以.
故选：D.
9．AC
【详解】对于A，，可得，即，正确；
对于B，，但方向不定，故不一定相等，错误；
对于C，由得，可得，
即非零向量，方向相同，故与共线，正确；
对于D，因为，为非零向量，
所以在上的投影向量为，错误；
故选：AC
10．ACD
【详解】对于AB，函数的部分图象，
可得，，所以，则．
又，所以，，
所以，，又，
所以，所以，故A正确，B错误；
对于C，，，所以，故C正确；
对于D，，
此时函数取到最小值，故，故D正确，
故选：ACD
11．BCD
【详解】由解析式可知函数定义域需满足，
所以，即，B正确，
对于A，定义域关系原点对称，且，故为奇函数，A错；
对于C：当时，，且单调递增；
又在上也单调递增，由复合函数的单调性可知，在区间上单调递增，故C正确；
对于D：方程，即，
即，
可得：，
当时，，
由正弦函数的性质可知，在区间上有两个根，故D正确.
故选：BCD
12．/
【详解】由.
故答案为：
13． （答案不唯一） （答案不唯一）
【详解】不妨取，由，
得显然对于任意的都成立，
取，则得到符合题意的一组结果：，，
故答案为：（答案不唯一）.
14． 2
【详解】如图，延长交于点，则是等边三角形，
当点和点重合时，；

当点在边上（边除外）运动，则，
显然的最小值是点到的距离，为，
当点由点运动到点，变大，这段运动过程的最大值是，
中根据余弦定理可知，，
显然，所以由点运动到点的过程中，当点是的中点时，，此时最短，这段过程的最大值是，
由点到点的运算过程，显然变小，所以这段过程的最大值为，
所以点由点到点的过程中的最大值为，
所以的取值范围为.
故答案为：2；
15．(1)
(2)1
【详解】（1）由，，
可得：，
所以
（2），，
因为与垂直，
所以，
所以
16．(1)或
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，即，又，
所以，则或；
（2）由，，
可得，
因为，为锐角，所以，所以．
17．(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）若角的终边经过点，则，，
所以；
（2）
0
0
0 2 0
根据表格数据描点作图
（3）当时，，
当时，即时，函数取得最小值，
当时，即时，函数取得最大值，
所以函数的值域是.
18．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）函数是上的偶函数，
∴又∵∴，
∴，∵图象关于点对称，
∴.
∴，∴，，
∴，所以；
（2）若将图象上的所有点向右平移个单位得出，
再将得到的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数，
所以，，
因为单调递增，，
所以，所以只有一个零点，
当，所以无零点，
当，所以无零点，
故函数有且只有一个零点，
因为，且单调递增，所以.
19．(1)
(2)存在；.
(3).
【详解】（1）因为，，，
故，，
由于是向量集的平衡向量，所以
即，即，
解得：，
（2）因为，由于均为周期函数，
且周期为，而,
故，
若中是存在平衡向量，则存在，使得
故，
即，
故，故,
解得，，，
当时，；当时，；当时，，
即,
故存在平衡向量，平衡向量为.
（3）向量，，均为向量集的平衡向量，故，
即，，
即，同理，，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由，，，
得，所以，设,，
因为，，，
则依题意得：，
即，
得，
，……，
，
以上个式子相加化简得：，
又，
所以，
，所以，
.

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