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2025年内蒙古自治区包头市昆区中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．紫砂壶，被誉为中国非物质文化遗产的瑰宝，以其独特的成型工艺和多样的造型式样著称，陶器所散发的古朴典雅之色更是引人入胜．如图所展示的是一把精湛工艺紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是此紫砂壶的俯视图的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．＝﹣3 B．a2 a4＝a6 C．（2a2）3＝2a6 D．（a+2）2＝a2+4
4．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于 x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．3
6．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．小明周末从家出发，步行去公园游玩的行程如图所示，记他所行走的路程为S米，离开家的时间为t分钟．下列图像中，能近似刻画S与t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，在距离铁轨的B处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上，后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为 （写出一个即可）．
10．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，此时的电流的值为 ．
11．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为长为，贴纸部分的宽为，则贴纸部分的面积为 （纸扇有两面，结果保留）．
12．小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则线段的长为 ．
三、解答题
13．计算：
(1)
(2)
14．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛，比赛由10名教师评委和10名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98
b．学生评委打分：85 87 89 90 90 90 90 90 91 98
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委 91 91
学生评委 90 90
根据以上信息，回答下列问题：
(1)直接写出、的值；
(2)若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______91（填“＞”“＝”或“＜”）；
(3)对于学生评委的打分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中平均数、中位数和众数这三个数据中，哪些数据没有发生变化，说明理由．
15．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车，若购买种电动车25辆、种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买种电动车60辆、种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．
(1)求、两种电动车的单价分别是多少元？
(2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车共200辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．
①设购买种电动车辆，求的取值范围；
②当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
16．如图，为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，求的长．
17．如图，在菱形中，．
(1)过点D作于点E，交于点M．
①如图①，求证：；
②如图②，过点D作于点F，交于点N，求的长；
(2)如图③，于点E，于点F，将以点D为旋转中心旋转，其两边'分别与直线相交于点G、P．连接，当的面积等于时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
18．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
(1)求点A、B、C的坐标，并直接写出的度数；
(2)若点D是和线段垂直平分线的交点，则与的周长之比为多少？
(3)在满足（2）的条件下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
《2025年内蒙古自治区包头市昆区中考二模数学试题 》参考答案
1．D
解：根据俯视图的定义，选项D中的图形符合题意，
故选：D．
2．D
解：，，，，且．
离标准最近．
故选：D．
3．B
A、＝3，故错误：
B、正确；
C、（2a2）3＝8a6，故正确；
D、（a+2）2＝a2+4a+4，故错误；
故选B．
4．C
解：如图：
，
，
，
，
故选：C．
5．C
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
由数轴可知，不等式组的解集为，
∴，
∴，
故选：C．
6．A
解：列表如下：
共有6种等可能的情况，必须闭合开关灯泡才亮，能让灯泡发光的有4种情况，
则能让灯泡发光的概率是．
故选：A．
7．C
解：开始出发时，他所行走的路程从0米开始增加，故选项B、D不合题意；
步行到达公园游玩的过程中，他所行走的路程不变，在公园回家过程中，路程随时间的增加而增大，故选项A不合题意，选项C符合题意．
故选：C．
8．A
解：过点B作于点M，
∴，
∵当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上，后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这列动车的平均车速为．
故答案为：A．
9．5（答案不唯一，只有即可）
解：一元二次方程化为x2+6x+9-c=0，
∵△=36-4（9-c）=4c≥0，
解上式得c≥0．
故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）．
10．12
解：设反比例函数的解析式为，把代入得
，
故，
当时，．
故答案为：12．
11．
解：∵，
∴，
∴贴纸部分的面积为；
故答案为：．
12．/
解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可得：，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
即，
故答案为：．
13．(1)7
(2)
（1）解：
．
（2）
．
14．(1)，
(2)
(3)中位数，众数，见解析
（1）解：依题意，出现4次，且出现次数最多
∴，
∵有10名学生评委，
∴中位数排在第和位，
结合数据，排在第和位的数分别是，
则
∴，．
（2）解：依题意，
故答案为：
（3）解：∵学生评委的打分，如果去掉一个最高分和一个最低分，
∴数据是87，89，90，90，90，90，90，91，
此时中位数排在第和位
∴中位数仍为，
90出现的次数最多，即众数仍为，
∴去掉一个最高分和一个最低分对中位数和众数没有影响，
此时平均数，
∴去掉一个最高分和一个最低分对平均数有影响．
15．(1)A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元
(2)①；②当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元
（1）解：设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元，
由题意得，
解得：，
答：A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元；
（2）解：①设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车辆，
∵，
∴；
②设所需购买总费用为w元，
则，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵m取正整数，
∴时，最少，
∴（元），
答：当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元．
16．(1)见解析
(2)3
(3)
（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）解：过点O作于F，如图，
∵，
∴设，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴为的中位线，
∴，
∴．
（3）解：连接，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
由（1）可知，，
在中，，
∵，
∴，
∴．
在（2）的条件下，，
∴．
∴，．
∴在中， ，
∴．
17．(1)①见解析；②
(2)顺时针或逆时针旋转60度
（1）解：①证明：∵，
∴，
∵中，，
∴，
∵菱形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
在菱形中，，
∴，
∵中，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，又，
∴，
当顺时针旋转时，
由旋转的性质可知，，
，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴的面积，解得，，
则，
∴，
∴当顺时针旋转时，的面积等于，
同理可得，当逆时针旋转时，的面积也等于，
综上所述，将以点D为旋转中心，
顺时针或逆时针旋转时，的面积等于．
18．(1)，，，
(2)
(3)存在，或
（1）解：令，则，
解得：，，
，，
，
令，则，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，，
综上所述，，，，．
（2）解：，，，
，，
，
点D是和线段垂直平分线的交点，
点D是的外心，
，，
是等腰直角三角形，
由（1）得，是等腰直角三角形，
，
与的周长之比等于相似比，
与的周长之比为．
（3）解：存在．理由如下：
作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，
则，
，
由抛物线的对称性可得，
四边形是等腰梯形，
，
由（2）得，、是等腰直角三角形，
，
，即，
当点与点重合时满足条件，
；
作点关于直线的对称点，
，
，
由对称性得，，，
，，
当点在直线上时满足条件，
设直线的解析式为，
代入和得，，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或
综上所述，点P的坐标为或．

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