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复数（B卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数z对应的点为，则( )
A. B. C. D.
3.已知复数为纯虚数，则实数m的值为( )
A. B.1 C.或1 D.2
4.若复数z满足，则( )
A. B. C. D.
5.复数（i为虚数单位）的虚部为( )
A.2 B.-2 C. D.
6.复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.复数( )
A.8 B. C. D.
8.已知i是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则复数z为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知i为虚数单位，虚数z满足，则( )
A. B. C. D.
10.（多选）已知复数，，则下列结论正确的是( )
A.若，则z的实部为25 B.若，则z的虚部为
C.若z为实数，则 D.若z为纯虚数，则
11.已知i是虚数单位，化简的结果为________.
12.已知、，且，（其中i为虚数单位），则______.
13.已知，且是纯虚数，则_________.
14.已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为A.
（1）若点A位于虚轴上，求实数m的值；
（2）若点A位于第二或第四象限，求实数m的取值范围.
15.已知复数，其中i为虚数单位.若z满足下列条件，求实数m的值：
（1）z为实数；
（2）z为纯虚数；
（3）z在复平面内对应的点在直线上.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，
故选:B.
2.答案：A
解析：依题意可知，
所以，
故选：A
3.答案：B
解析：由题可得.
故选：B
4.答案：B
解析：由题意，，
则，
故选B.
5.答案：B
解析：复数的虚部为b，即虚部为.
故选:B.
6.答案：A
解析：，故z在复平面内对应的点为，
位于第一象限.
故选：A.
7.答案：C
解析：.
8.答案：A
解析：由题可得:.则有.
故选:A
9.答案：AC
解析：由得，，
所以或(舍)
选项A，因为，所以，A正确；
选项B，，B错误；
选项C，，
所以C正确；选项D，，所以D错误.
故选：AC
10.答案：AC
解析：若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误.
若z为实数，则，得，C正确.
若z为纯虚数，则得，D错误.
故选：AC.
11.答案：
解析：，
故答案为：
12.答案：
解析：.
故答案为：.
13.答案：
解析：设，因为，所以.因为为纯虚数，所以，即.又，所以，所以.
14.答案：（1）3
（2）
解析：（1）若点A位于虚轴上，则，解得，
故实数m的值为3.
（2）若点A位于第二或第四象限，
则，即，
解得或，
故实数m的取值范围为.
15.答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）z为实数，，解得：；
（2）z为纯虚数，；
（3）z在复平面内对应的点在直线上，
或.三角函数与解三角形（B卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.( )
A. B. C. D.
2.半径为2，圆心角为1弧度的扇形的面积是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若，则( )
A. B. C. D.4
4.在中，已知，，，则的面积是( )
A. B. C.或 D.或
5.已知，函数的最小正周期为T，若，且的图象关于直线对称，则( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则( )
A.为直角三角形 B.为锐角三角形
C.为钝角三角形 D.的形状无法确定
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若与的图象关于x轴对称，则的一个单调递增区间为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知函数的图象在上有且仅有两个对称中心，则下列结论正确的是( )
A.的取值范围是
B.函数在上单调递增
C.不可能是函数的图象的一条对称轴
D.的最小正周期可能为
10.（多选）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是( )
A.若，则
B.若，则是钝角三角形
C.若，则为等腰三角形
D.若，，，则符合条件的有两个
11._______.
12.已知，则________.
13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为_________.
14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求B的大小；
（2）若，且AC边上的中线长为，求的面积.
15.已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递增区间;
(2)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：.
故选:.
2.答案：B
解析：由扇形面积的计算公式可得，
故选:B
3.答案：C
解析：
.
故选：C
4.答案：C
解析：在中，，
，，
由余弦定理得：，
即，
解得：或，
当时，，即，
此时，的面积，
当时，满足，即为直角三角形，
的面积.
则面积是或.
故选：C
5.答案：D
解析：因为，所以，解得.又的图象关于直线对称，
所以，，解得，.因为，所以，
所以.
6.答案：A
解析：由及正弦定理可得，则，，，即，
由，知C只能为锐角，解得，因为，所以，.故选A.
7.答案：A
解析：
.故选A.
8.答案：C
解析：由题意可得，因为与的图象关于x轴对称，
所以，令，，解得，，取，则，故选C.
9.答案：AC
解析：A选项，时，，由函数的图象在上有且仅有两个对称中心得，，解得，A正确；B选项，时，，由A可知，故，而，故函数在上不一定单调，B错误；
C选项，假设为函数图象的一条对称轴，令，，解得，，又，故，又，故无解，故不可能是函数的图象的一条对称轴，C正确；
D选项，，故的最小正周期，故的最小正周期不可能为，D错误.
故选AC.
10.答案：ABD
解析：对于A，当时，，根据正弦定理得，整理得，故A正确；
对于B，因为，所以由正弦定理得，所以，因为，所以，即C为钝角，所以是钝角三角形，故B正确；
对于C，由及正弦定理可得，即，所以或，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形，故C错误；
对于D，由正弦定理得，则，因为，所以，A为锐角，所以存在满足条件的有两个，D正确.
故选ABD.
11.答案：
解析：
，
故答案为：
12.答案：
解析：设，则，，
所以.
故答案为:
13.答案：
解析：因为，所以由正弦定理可得，即，又，所以，则，则，所以.
14.答案：（1）
（2）
解析：（1），
由余弦定理的推论得，
化简得，.
，.
（2）令AC的中点为D，则，，
平方得，.
整理得，解得（负值舍去）.
.
15.答案：(1)，;
(2).
解析：(1)依题意，，
所以函数最小正周期;
由，，解得，，
所以的单调递增区间为.
(2)当时，，则，
函数的值域为，方程，，
由方程在上有解，得，
所以实数m的取值范围是.数列（A卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.在等差数列中，，，则( )
A.10 B.17 C.21 D.35
2.已知等差数列的前n项和为，且，，则( )
A.40 B.45 C.60 D.75
3.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.12
4.已知数列满足，且，则( )
A.182 B.173 C.164 D.155
5.已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则( )
A.0 B.54 C.49 D.42
6.数列中，，，若是数列的前n项积，则的最大值( )
A. B. C. D.
7.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛如图现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
8.设数列的前n项和，若，则( )
A.3059 B.2056 C.1033 D.520
9.（多选）在数列中，，，下列结论正确的是( )
A.数列是等比数列
B.数列是等差数列
C.
D.数列是递增数列
10.（多选）已知在首项为1，公差为的等差数列中，，，是等比数列的前三项，数列的前n项和为，则( )
A. B.
C.是公差为3的等差数列 D.
11.记为等比数列的前n项和，若，，则__________.
12.记为等差数列的前n项和，，，则___________.
13.已知数列中，且，则__________.
14.已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求前n项和.
15.记数列的前n项和为，已知.
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：B
解析：设等差数列的公差为d，则，
所以.
故选：B.
2.答案：D
解析：由，得，
则.
故选：D.
3.答案：A
解析：在等比数列中，，
则，
设等比数列的公比为，
则，
所以，，同号，又，
所以.
故选：A.
4.答案：D
解析：因为，则，
，
，…，，
将这个式子相加，可得，
化简得，又，
，则.
故选：D.
5.答案：C
解析：由等比数列的性质可知，因为，所以，，，选C.
6.答案：A
解析：依题意得，，，所以，
所以
，
因为，所以当或8时，取得最大值为，
故选:A.
7.答案：C
解析：除最中心1根圆钢外，由中心向外数第n圈的圆钢个数为根，所以前n图总共的圆钢个数为，今，由于， 所以n最大为5，所以为5圈，共91根圆钢，剩余8根圆钢.
8.答案：C
解析：由题设，则，
所以，则
又，则，
所以是首项、公比均为2的等比数列，则，
所以，则.
故选:C
9.答案：BC
解析：由，整理得，
故数列是以3为首项，6为公差的等差数列，则B选项正确，A选项错误，
由等差数列可得，所以，，则C选项正确，
由通项公式可知数列是递减数列，D选项错误.
故选：BC.
10.答案：ABD
解析：因为，即，
又，所以，
整理得，又因为，解得，故A正确；
由得，所以，所以，故B正确；
所以，所以是首项为1，公差为的等差数列，故C错误；
，，，即的公比为4，故，故D正确.
故选：ABD.
11.答案：
解析：设公比为q.因为，所以，又因为，所以，，从而，又，所以，所以.
12.答案：
解析：因为是等差数列，所以，
所以，
可得，
，
故答案为：
13.答案：
解析：因为，
所以，
即，又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，所以.
故答案为：.
14.答案：(1)
(2)
解析：(1)因为是等差数列，设其公差为d，
由题知，
解得，
所以的通项公式为.
(2)由题知，
所以.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，当时，，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，即，
所以，数列是首项为3，公比也为3的等比数列，故.
（2）由（1）可得，
所以，
则，
上述两个等式作差得
，
因此，.不等式（A卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.一元二次不等式的解集是( )
A.或 B.
C.或 D.
2.设，且，则( )
A. B.
C. D.
3.若，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.已知集合，，，则p的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则的最小值为( )
A. B.10 C. D.12
7.“不等式在R上恒成立”的m的取值范围( )
A. B. C. D.
8.若存在，使不等式成立，则实数a的( )
A.最大值是-2 B.最小值是6 C.最小值是-2 D.最大值是6
9.（多选）已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
10.（多选）已知，则下列不等式一定成立的有( )
A. B. C. D.
11.若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围为__________.
12.若关于x的不等式 的解集为空集，则实数k的取值范围是___________.
13.若，则，的最大值为___________________.
14.已知关于实数x的函数.
(1)若的解集为，求的值;
(2)解关于实数x的不等式.
15.已知函数.
(1)解不等式;
(2)当，时，若，求的最小值，并求出取最小值时a，b的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由可得，
故得.
故选：B.
2.答案：C
解析：对于A，由，因，故得，即A错误；
对于B，由两边同除以，可得 ，故B错误；
对于C，因，，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确；
对于D，由，因，故得，故D错误.
故选：C.
3.答案：A
解析：由已知，当时，，
，
当且仅当时，等号成立，
故“”是“”的充分条件；
当时，，此时，
故“”不是“”的必要条件；
即“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4.答案：A
解析：由题意可知，，且有，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为4.
故选：A.
5.答案：D
解析：因为，所以，所以或，
所以或，所以，
当时，，解得，满足；
当时，要使，则，解得，
综上，，即p的取值范围是.
故选：D.
6.答案：D
解析：由得，
因，，故，
，
当且仅当，即，时等号成立，
故选：D.
7.答案：A
解析：关于x的不等式在R上恒成立，
若，即，不合题意，
若，则，
解得.
故选：A.
8.答案：A
解析：因为存在，使不等式，
所以，其中为的最大值，
时，，所以，
而，当且仅当时取等号，
所以
所以
故选：A.
9.答案：AD
解析：因为，，.所以，，
即，得（当且仅当，时，等号成立），故A正确;
当，时，满足，此时，故B错误;
（当且仅当，时，等号成立），故C错误;
由得，
所以
（当且仅当，时，等号成立），故D正确.
故选：AD.
10.答案：ACD
解析：对于A，因为，所以，故A正确;
对于B，当时，，故B错误;
对于C，，故C正确;
对于D，因为，所以，
所以，，所以，故D正确;
故选：ACD.
11.答案：
解析：由题意知，不等式有解，即不等式有解，则，即，解得或.实数m的取值范围为.
12.答案：
解析：由题意得，关于x的不等式 的解集为空集，
当时，，符合题意；
当时，则须满足，即，解得，
综上所述，k的取值范围是，
故答案为：.
13.答案：
解析：因为，所以，
故，当且仅当，
即时取等号，所以的最大值为.
故答案为：.
14.答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)若的解集为，则，，
，，
;
(2)整理可得，配方得
分以下情况讨论：
1)时，，解得或
2)时，，解得
3)时，，解得或
综上所述：当时解集为或;当时解集为;当时解集为或.
15.答案：(1)答案见解析
(2)时，的最小值为4.
解析：(1)不等式可化为，，
即：，
①当，即时，解不等式得，
②当，即时，解不等式得，
③当，即时，解不等式得，
综上所述，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为;
(2)由(1)和可知，
即：，因为，，
所以，
当且仅当时等号成立，
即当时，的最小值为4.函数与导数（B卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是( )
A. B. C. D.
2.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则( )
A. B. C.2 D.
4.若函数有三个零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.设，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
7.函数在区间内有零点，则实数k的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是( ).
A.与 B.与 C.与 D.与
9.（多选）下列导数运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.（多选）设函数且在区间上单调递减，则a的取值可以为( )
A. B. C. D.
11.已知函数在处有极大值，则_________.
12.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______________.
13.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
14.已知函数在处取得极值7.
（1）求a，b的值;
（2）求函数在区间上的最值.
15.已知函数，，.
(1)求的单调区间.
(2)若的最大值为1，证明：对任意的，.
(3)当时，若恒成立，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为函数是减函数，又，，
所以，由零点存在性定理可得， 包含零点的区间(2，3).
故选：C.
2.答案：A
解析：由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D；
当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0，
再小于0，最后大于0，排除B.
故选：A.
3.答案：B
解析：因为曲线，所以
所以在点处的切线斜率为，
直线的斜率为2，又因为两直线垂直，所以，所以.
故选：B.
4.答案：A
解析：当时，，且，
由可得，所以，
即在上单调递增，
且，时，，
所以时，有唯一零点;
当时，，且，
令可得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以是函数的极小值点，即最小值点，
则最小值为，
因为函数有三个零点，且时，有唯一零点，
所以时，有两个零点，
则，即，解得.故选:A
5.答案：B
解析：比较和，采用作差法，将和转化为同底数形式来比较.
利用换底公式，则，.
计算.
根据基本不等式，对于和，有.
而，即.
所以，也就是，即.
比较b与c的大小，同样利用换底公式，，.
计算.
由基本不等式，对于和，.
且，即.
所以，也就是，即.
综上可得.
故选：B.
6.答案：C
解析：当时，函数的值域为，
函数的值域为，
所以时，函数的值域为，
又因为函数的值域为R，
所以，解得，
当时，函数的值域为，
函数的值域为，
所以时，函数的值域为，与题意矛盾，
综上所述，a的取值范围是.
故选：C.
7.答案：D
解析：当时，由
可得，
令，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为函数在区间内有零点，
则函数在区间内有零点，
所以，，
解得，
因此，实数k的取值范围是.
故选：D.
8.答案：C
解析：易知，有三个零点
因为为二次函数，所以，它有两个零点
由图像易知，当时，；
当时，，故是极小值
类似地可知，是极大值.
故答案为C
9.答案：AC
解析：令，，
因为，，所以，故A正确；
因为为常数，所以，故B错误；
令，，
因为，，所以，故C正确；
因为，所以，故D错误.
故选：AC.
10.答案：AC
解析：令，，
，
当时，;当时，;
在，上单调递增，在上单调递减;
令，解得:或，
的大致图象如下图所示，
当时，若在上单调递减，则在上单调递减，
，解得:;
当时，若在上单调递减，则在上单调递增，
或，解得:;
综上所述:实数a的取值范围为，可能的取值为和.
故选:AC.
11.答案：3
解析：，，
因为函数在处取得极大值，所以，
，得或，且
当时，，
在区间和单调递增，
当时，，
在区间单调递减，
所以当时函数取得极大值，即，即.
故答案为：3
12.答案：
解析： ， ，
设切点为，则，切线斜率，
切线方程为：，
切线过原点， ，
整理得：，
切线有两条， ，解得或，
的取值范围是，
故答案为：.
13.答案：
解析：令，因为外层函数为减函数，且原函数在上单调递增，
所以内层函数在上为减函数，
且对任意的，恒成立，
所以，解得.
因此，实数a的取值范围是.
故答案为:.
14.答案：（1），;
（2）最大值为7，最小值为.
解析：（1）由题设，，又处取得极值7
所以，可得，.经检验，满足题意.
（2）由（1）知:，
在上，递增;在上，递减;
在上的最大值为，
而，，故在上的最小值为，
综上，上最大值为7，最小值为.
15.答案：(1)在单调递增，在单调递减
(2)证明见详解
(3)
解析：(1)的定义域为，，令得，
令得，令得，
在单调递增，在单调递减.
(2)由(1)知，，
，要证，即证，
即证，即证，
构造函数，，则，
令得，令得，
在单调递增，在单调递减，
，即恒成之，当且仅当时等号成立.
，，，使得，
恒成立，故对于任意的，.
(3)当时，，若恒式立，
即恒式立，即，即恒成立，
由(2)可知恒成立，当且仅当时等号成立，
令，，则恒成立，
在单调递增，
，，使得成立，
，，
所以.空间向量与立体几何（A卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.已知向量,,满足,则x的值为( )
A. B.3 C. D.1
2.空间中，已知两条直线m，n，其方向向量分别为，，则“”是“m与n所成角为”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
3.已知，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A.平面平面 B.平面平面
C.平面平面 D.平面平面
5.如图，在正方体中，E是棱的中点，点F在棱上，且，若平面，则( )
A. B. C. D.
6.如图,P为平行四边形所在平面外一点,E为的中点,F为上一点,当平面时,( )
A. B. C. D.
7.在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，，，点M在PB上，且平面PBC，若PC上存在一点N使得平面平面AMN，则( )
A.1 B. C. D.
9.（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A、B的任一点，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C.平面 D.平面平面
10.（多选）已知点A，B为不同的两点，直线，，为不同的三条直线，平面，为不同的两个平面，则下列说法正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，，则
D.若，，，，则直线
11.已知m,n为空间中两条不同的直线,,为两个不同的平面,若,,则是的_____________条件.（填：“充分非必要” “必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）
12.已知一平面截球O所得截面圆的半径为2，且球心O到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为________.
13.如图，在棱长为3的正方体中，M在线段上，且，N是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为________.
14.如图，在三棱锥中，，是正三角形，E是PC的中点，F是AC的中点，且.
（1）证明：平面PAC；
（2）求二面角的正弦值.
15.如图,在多面体中,底面为菱形,,平面,平面,.
（1）求证:平面;
（2）求直线与平面所成角的正切值;
（3）求点C到平面的距离.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由条件可知,,得.
故选：A.
2.答案：A
解析：由，可以推出m与n所成角为，
但m与n所成角为时，或，
所以是m与n所成角为的充分不必要条件.
故选：A.
3.答案：A
解析：根据面面垂直的判定定理，
可知若，，则成立，满足充分性；
反之，若，，则l与的位置关系不确定，即不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4.答案：A
解析：如图所示，
在正方体中，，，，又平面，平面，，又，平面，又平面，平面平面，故A选项正确.
对于B选项，易得平面，且与平面相交，故平面平面不成立，故B选项错误；
对于C选项，直线与必相交，且平面，平面，故平面与平面有公共点，故平面与平面不平行，故C选项错误；
对于D选项，连接，，易知，，由线面平行的判定定理得平面，平面，又，、平面，平面平面，又点既在平面内，又在平面内，平面与平面不平行，故D选项错误，故选A.
5.答案：C
解析：【方法一】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则，，，，，可得，.
设是平面的一个法向量，则
令，则，，即.
由，且，
可得.
又因为，所以.
由平面，
可得，
解得.
【方法二】如图，取CD中点M，连接BM，EM，易证，所以平面即为平面.易知当F为的中点时，，平面，平面，所以平面，所以.故选C.
6.答案：D
解析：连接交于G,连接,
平面,平面
平面平面,
,
故:①
又,E为的中点,
②
由①②可得:
故选:D.
7.答案：B
解析：由空间直角坐标系中有棱长为2的正方体，
点分别是和的中点，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
所以，
设直线与平面所成角，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故选：B
8.答案：D
解析：如图所示，取PC的中点E，连接BE，令N位于PE的中点处.平面，平面，，，为PB的中点.，E为PC的中点，所以，M，N分别为PB，PE的中点，，.平面，平面，，，平面，平面PCD，所以平面平面.为PC的中点，N为PE的中点，，.故选D.
9.答案：BD
解析：因为平面，平面，所以，，
因为点C是以为直径的圆上且异于A、B的任一点，，则，
因为，、平面，
所以，平面，
因为平面，所以，平面平面，B对D对；
因为平面，平面，则，则为锐角，
即与不垂直，故与平面不垂直，C错；
若，又因为，，、平面，
所以，平面，与C选项矛盾，A错.
故选：BD.
10.答案：AC
解析：若，则垂直于任一条平行于的直线，又，所以，故A正确；若，，则与可能平行，也可能异面，所以B错误；若，则，，又，故，故C正确；若，，则AB为内的一条直线，所以AB与不一定平行，故D错误.故选AC.
11.答案：充要
解析：充分性：因为,,,
所以m,n共面,
又因为,为两个不同的平面,,
所以,
所以,故充分性成立;
必要性：因为,,所以,
又因为,所以,故必要性成立,
所以是的充要条件.
故答案为：充要.
12.答案：
解析：由球的截面圆性质可知球的半径，
则该球的体积为.
故答案为：.
13.答案：
解析：如图，
线段上取一点E，使得，在线段上取一点F，使得，连接，，，
因为，所以，，
又，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理，因为平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面，因此，N在线段上.
因为，，
所以线段的最大值为.
故答案为：
14.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在正三棱锥中，取BC的中点M，连接PM，AM.
是正三角形，，
，.
又，，平面PAM，
平面PAM.
平面，.
是PC的中点，F是AC的中点，.
，.
又，，平面PBC，
平面PBC.
又平面，.
同理，在正三棱锥中，有.
又，，平面PAC，
平面PAC.
（2）由（1）知平面，平面PAC，，
则，.
以P为坐标原点，PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，，
，，.
设平面ABF的法向量为，
则即
令，则，，.
设平面BFE的法向量为，
则即
令，则，，.
设二面角的平面角的大小为，
则.
又，.
故二面角的正弦值为.
15.答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）取的中点M,连接.因为四边形为菱形,,
所以为等边三角形,所以.因为,所以.
因为平面,所以,,两两垂直.
如图,以D为原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
因为,,,,,
所以,,,
显然平面的法向量为,因为,
所以,又平面,所以平面.
（2）设平面的法向量为,
由得
令,则,,所以,,
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
直线与平面所成角的正切值为.
（3）,所以点C到平面的距离为:
.
所以点C到平面的距离为.三角函数与解三角形（A卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.下列区间中，函数单调递减的区间是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.记函数的最小正周期为T.若，且的图象关于点中心对称，则( )
A.1 B. C. D.3
7.已知函数在上的图像大致如图所示，则的最小正周期为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，D为BC边上一点，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
9.（多选）得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标( )
A.向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B.向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
D.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
10.（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是( )
A.
B.若，，则有两解
C.当时，为直角三角形
D.若为锐角三角形，则的取值范围是
11.计算________.
12.已知，则________.
13.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则__________.
14.记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求C的大小；
(2)若，的面积为，求a.
15.已知函数（其中a为常数）
(1)求的单调递减区间;
(2)若时，的最大值为4，求a的值;
(3)在(2)条件下方程在上有两个不相等的实数解，，求m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：.
故选：B.
2.答案：D
解析：因为，
即，所以，
所以.
故选:D.
3.答案：A
解析：令，
解得，
令，可得.
故选：A.
4.答案：B
解析：
.
故选：B.
5.答案：A
解析：因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，即，由正弦定理得，又，所以，所以，又，，则，所以或，即或（舍去），则，所以解得，则.
，即的取值范围是.故选A.
6.答案：A
解析：，，，①.
又的图象关于点中心对称，
从而②，由①②知（取），
，.
7.答案：B
解析：由图可知，，则.
，.
解得，，故，
则，
所以，
故的最小正周期为.
故选：B
8.答案：D
解析：因为在中，，
又D为边上一点，且，
所以
，
又，
所以，
所以，
解得，
所以.
故选:D.
9.答案：AD
解析：先平移后伸缩：
函数的图象向左平移个单位长度，得，
再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得;
先伸缩后平移：
函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向左平移个单位长度，得，即．
故AD符合题意.
故选：AD．
10.答案：ACD
解析：对于A，因为，所以由及正弦定理得，由诱导公式得，因为，故，所以，则，即，所以或，即（舍）或，故A正确；
对于B，方法一：由余弦定理，得，得，由，得（舍负），即有一解，故B错误；
方法二：因为，且，大边对大角，所以，所以有一解.
对于C，将两边平方得，
由余弦定理得，
由两式消去得，，解得或（舍去），
由，，解得，
故为直角三角形，故C正确；
对于D，因为为锐角三角形，且，所以，
即，因为，
所以，故D正确.故选ACD.
11.答案：
解析：
.
故答案为:
12.答案：
解析：，
.
故答案为：.
13.答案：
解析：由得.由，结合得到，.
14.答案：(1)或.
(2)
解析：（1）因为，
由余弦定理可得，
因为，可得，又因为，可得，
因为，所以或，所以或.
（2）由及（1）可得，.
因为，
由正弦定理得，得，，
所以.
又因为已知的面积为，可得，解得.
15.答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由，，
解得，.
函数的单调减区间为.
(2)，，
.
的最大值为，
.
(3)由(2)得：
.
又，，
，，
.平面解析几何（A卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.已知直线l经过点，且倾斜角为，则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
2.设曲线在点处的切线与直线平行，则( )
A.2 B.-2 C. D.
3.直线和直线垂直，则实数m的值为( )
A.1 B.0 C.2 D.或0
4.过点的直线l与曲线有两个交点，则直线l斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为( )
A.4 B.5 C. D.
7.若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则( )
A. B.1 C. D.
8.已知圆C的方程为，则“”是“函数的图象与圆C有四个公共点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.（多选）已知双曲线，则( )
A.m的取值范围为
B.双曲线C的焦点坐标为
C.当时，双曲线C的两条渐近线的夹角为
D.当双曲线C为等轴双曲线时，
10.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是( )
A.离心率e的取值范围为
B.当时，的最大值为
C.存在点Q，使得
D.的最小值为1
11.已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为__________.
12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a的值为______________.
13.已知点P是椭圆上的一点，，分别为椭圆的左 右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为__________.
14.已知直线与圆交于A，B两点.
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）若，求m的值；
（3）在（2）的条件下，求过点的圆C的切线方程.
15.已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，且满足.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）已知直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴交于点N（N异于M），记点O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意知，直线l的斜率为1，又经过点，
故直线l的方程为，即.
故选：D.
2.答案：D
解析：对曲线求导，可得 ，在点P处切线的斜率为
直线方程可化为
若与直线平行，则两条直线的斜率相等
所以
所以选：D.
3.答案：D
解析：由两直线垂直可得:，
解得或.
故选D.
4.答案：B
解析：由题意易知直线l的斜率存在且不为0，设直线，
曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示），
设曲线M的下端点为，要使l与曲线M有两个交点，则l应位于直线PN和切线PQ之间，所以，易知，
由PQ与曲线M相切，得，解得，所以，所以直线l斜率的取值范围为.故选B.
5.答案：B
解析：设圆心为，半径为r，圆与x轴，y轴都相切，，又圆经过点，且，，解得或.
①时，圆心，则圆心到直线的距离；
②时，圆心，则圆心到直线的距离.故选B.
6.答案：C
解析：可知点关于x轴的对称点，
又圆，
即，则圆心，半径，
故，
根据对称性可知，
光线经过的路程即为，
故选：C.
7.答案：C
解析：圆
化为标准方程为，
则圆心为，半径，
由题意得，解得.
故选：C.
8.答案：B
解析：由圆C的方程为可得圆心为，半径，
若圆与直线相交，则圆心到直线的距离，即，
若函数的图象与圆C有四个公共点，则原点在圆的外部，即，解得，
综上，若函数的图象与圆C有四个公共点，则，所以“”是“函数的图象与圆C有四个公共点”的必要不充分条件，故选B.
9.答案：AD
解析：选项A：令，
解得，A正确；
选项B：由于，，
故该双曲线的焦点在x轴上，
而，得，
所以焦点坐标为，B错误；
选项C：当时，C的标准方程为，
已知渐近线方程为.
若双曲线C的两条渐近线的夹角为，
则渐近线的斜率为或，C错误；
选项D：当双曲线C为等轴双曲线时，，
解得，D正确.
故选：AD
10.答案：ABD
解析：对于A，因为点在椭圆内部，所以，得，则，故A正确.
对于B，，当Q在x轴下方，且P，Q，三点共线时，有最大值，
由，得，，所以得，所以的最大值为，故B正确.
对于C，设，若，则，则，即点Q在以原点为圆心，c为半径的圆上，
又由A项知，得，由，得，所以，所以该圆与椭圆无交点，故不存在点Q，使得，故C项错误.
对于D，，当且仅当时取等号，故D项正确.故选ABD.
11.答案：4
解析：由双曲线，得渐近线方程为，结合题设得，，双曲线C的方程为，的焦距为.
12.答案：1
解析：双曲线，则，所以双曲线的焦点在x轴上，
所以，又，故解得.
故答案为：1.
13.答案：
解析：由椭圆的定义可得：，
结合，得，
又，则在中，
，
即，
化简得，
故，
故答案为：
14.答案：（1）
（2）
（3）或
解析：，，，.
（1）线段AB的垂直平分线方程为，
.
（2）C到的距离，
，.
（3），易知P在圆外.
①当所求切线的斜率存在时，
设过P的圆C的切线方程为，
.
到l的距离，
，
.
②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为.
综上，所求切线方程为或.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1），，
，解得，
，离心率.
（2）由（1）知椭圆方程为.
由题可知直线l的斜率存在且不为0，设，
由椭圆的对称性，不妨设，，如图.则有.
联立得
则有，，
由根与系数的关系得，代入直线l的方程，有.
，解得，
设直线OM的倾斜角为，
，，故，
，解得，
，可得，椭圆的标准方程为.不等式（B卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.已知x，y都为正数，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.设集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知集合，若，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.若，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6.函数，若，则的最小值为( )
A. B.4 C. D.1
7.已知函数，若，则的最小值为( )
A. B.3 C.2 D.
8.已知x，，则使成立的充分条件为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知正数x，y满足，则( )
A. B.
C. D.
10.（多选）已知函数，下列结论中正确的是( )
A.不等式的解集可以是
B.不等式的解集可以是
C.函数在上可以有两个零点
D.“方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”
11.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________.
12.已知集合，不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，则实数a的值可以为___________.（写出满足条件的一个a的值即可）
13.二次不等式的解集为或，则关于x的不等式的解集为_____________________.
14.关于x的不等式的解集为或.
（1）求关于x的不等式的解集；
（2）求关于x的不等式的解集.
15.已知关于x的不等式.
（1）当时，解关于x的不等式;
（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：x，y都为正数，，
由基本不等式得，
当且仅当，即，时，等号成立，
故答案为：
2.答案：B
解析：因为，
，所以.故选：B.
3.答案：C
解析：不等式，可化为，所以，
所以或，故或，
不等式的解集为，
所以，所以.
故选：C.
4.答案：A
解析：由，解得，则.
因为，所以，解得，故a的取值范围为.
故选：A.
5.答案：D
解析：因为，，
对于A选项，，A错；
对于B选项，不妨取，，，，
则，B错；
对于C选项，取，则，C错；
对于D选项，由题意可知，，
由不等式的基本性质可得，D对.
故选：D.
6.答案：C
解析：因为的定义域为，
，
所以在为增函数，
，
所以，
又，在为增函数，
所以，即，
因为，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
7.答案：A
解析：因为，所以.当时，，所以在上单调递增.，所以由，所以.所以，当且仅当时等号成立，则的最小值为.故选A.
8.答案：D
解析：选项A：当时，由得，此时，
当时，由得，不一定有，
所以不是成立的充分条件;
选项B：当，时，满足，此时不一定有，
所以不是成立的充分条件;
选项C：由可得，
当，，且时满足，此时不一定有，
所以不是成立的充分条件;
选项D：由可得，即，此时，
所以是成立的充分条件;
故选：D.
9.答案：AC
解析：对于选项A：因为，则，当且仅当，
即，时取等号，故选项A正确;
对于选项B：，
当且仅当，即，时取等号，故选项B错误;
对于选项C：由选项A可知，所以，
当且仅当，即，时取等号，故选项C正确;
对于选项D：因为，当且仅当，
即，时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误.
故选：AC.
10.答案：BCD
解析：对于A选项，若不等式的是，则且，可得，
由，解得，与题意不符，A错；
对于B选项，取，，则，此时不等式的解集为，B对；
对于C选项，取，，则，
由可得，解得或3，C对；
对于D选项，若方程有一个正根和一个负根，则，可得，
即“方程有一个正根和一个负根”“”，
若，对于方程，则，
故方程有两个不等的实根、，则，
此时方程有一个正根和一个负根，
又方程有一个正根和一个负根“”，
因此，“方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，D对.
故选：BCD.
11.答案：
解析：由题得解得且.
12.答案：1（答案不唯一，写2，等内的任意一个数均可）
解析：，因为是的必要不充分条件，所以，由得，当时，，有，显然等号不会同时成立，所以，当时，，显然，不符合题意.所以实数a的取值范围是.故答案可以为1，2，等内的任意一个数.
13.答案：
解析：由题意可知所以
所以不等式为，又，
所以，解得.
故答案为：.
14.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为不等式的解集为或，
所以解得
所以不等式化为，解得，
所以所求不等式的解集为.
（2）由（1）知不等式可化为，
即，即，即，
解得，所以所求不等式的解集为.
15.答案：（1）答案见详解;
（2）.
解析：（1）不等式可化为，
①当时，原不等式可化为，则;
②当时，则，解得:;
③当时，原不等式可化为，解得:;
④当时，则，解得:;
⑤当时，则，解得:或;
综上所述:当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为;当时，;当时，解集为.
（2）当时，不等式恒成立，则有
在恒成立，
又函数在上递减，所以当时取得最小值，所以.空间向量与立体几何（B卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则x的值为( )
A.0 B. C. D.
3.如图，已知正四棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为，则从A点出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程为( )
A. B. C. D.6
4.如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则( )
A. B.
C. D.
5.在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是( )
A.直线AB与AC异面 B.直线AC与相交
C.直线与AC异面 D.直线与相交
6.已知空间中两条直线l，m，及平面，且满足，“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
7.如图，在正方体中，M，N分别为，的中点，异面直线MN与所成角为( )
A. B. C. D.
8.正方体中，与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.（多选）在正四棱柱中，，点M是棱上的动点（不含端点），则( )
A.过点M有且仅有一条直线与直线，都垂直
B.过点M有且仅有一条直线与直线，都相交
C.有且仅有一个点M满足和的面积相等
D.有且仅有一个点M满足平面平面
10.（多选）如图，已知正方体的棱长为a，则下列选项中正确的有( )
A.异面直线与的夹角的正弦值为
B.二面角的平面角的正切值为
C.四棱锥的外接球体积为
D.三棱锥与三棱锥体积相等
11.正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，P，Q分别是异面直线和BD上的任意一点，则P，Q间距离的最小值为__________.
12.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E是上一点，当点E满足条件：________时，平面.
13.如图，在棱长为2的正方体中，F是的中点，则______________.
14.如图，在直三棱柱中，，.
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求点B到平面的距离.
15.已知直四棱柱中，，，.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：设圆锥母线长为l，可得底面圆的周长为，
由题意可得，解得，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角为.
故选：D.
2.答案：D
解析：根据可得存在实数满足，即，
即可得，解得.
故选:D
3.答案：D
解析：把正四棱锥的侧面沿着SA剪开，得到它的侧面展开图(如图).
要使路程最短，必须沿着线段前行.
在中，，，则.
作于H，则，，.
故选:D.
4.答案：B
解析：连接，如下图所示：
因为N为的中点，则，
即，
所以，，
因为点M在上，且，则，
因此，
.
故选：B.
5.答案：C
解析：
如图，连接，，，，，
对于A，因，故直线AB与AC相交，不异面，故A错误;
对于B，因，，故得，则有，
故直线AC与不可能相交，故B错误;
对于C，因平面，平面，平面，
故直线与AC异面，即C正确;
对于D，因，，故得，则，
而与相交，故直线与异面，故D错误.
故选:C.
6.答案：B
解析：充分性:只有当l垂直于内的两条相交直线，才可推出，由题可知，垂直于内的一条直线m，可能与平面斜交，平行，或在平面内，
故无法推出，充分性不满足;
必要性:，又，则，故必要性成立;
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
7.答案：B
解析：
连结，，因为在正方体中，
M，N分别为，的中点，
所以，
因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，
即，显然为.
故选：B
8.答案：D
解析：试题分析：因为，所以与平面所成角的余弦值等价于与平面所成角的余弦值.设正方体棱长为a，易知平面且设垂足为E，所以即为所求角.由已知可得，从而，所以.故选D.
9.答案：AB
解析：因为AC与是异面直线，所以过空间中任一点有且只有一条直线与它们垂直，故A正确；因为AC与是异面直线，且M不与端点重合，所以过M点有且仅有一条直线与直线，都相交，故B正确；因为，且M到AC的距离大于，M到的距离小于，所以不存在使与的面积相等的点M，故C错误；因为平面，平面MAC，所以有无数个点M满足平面平面，故D错误.故选AB.
10.答案：ACD
解析：对于A：因为，
在中，就是异面直线所成的角，
且，
则，故A正确；
对于B：连接交于点O，连接，
因为平面ABCD，
BD平面ABCD，则BD，
又因为，，，
平面，可得平面，
且平面，则，
可知为二面角的平面角，
在中，，故B错误；
对于C，显然四棱锥的外接球即为正方体的外接球，
因为正方体外接球的半径，
所以正方体的外接球体积为，故C正确；
对于D，因为，
三棱锥的高与三棱锥的高相等，
底面积，
故三棱锥与三棱锥体积相等，故D正确
故选：ACD.
11.答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.
设且即令，则，，所以，所以异面直线和BD的距离，所以P，Q间距离的最小值为.
12.答案：答案表述不唯一)
解析：连接交于O，连接OE，
平面，平面，平面平面，
.
又底面为平行四边形，O为对角线与的交点，
故O为的中点，为的中点，
故当E满足条件:时，面.
故答案为:答案表述不唯一)
13.答案：6
解析：棱长为2的正方体中，
连接，则是边长为的等边三角形，
.
故选：
14.答案：(1)；
(2)
解析：（1）依题意可知，，两两相互垂直，
以B为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
由于，所以.
（2），，，，
设平面的法向量为，
则，故可取，
所以点B到平面的距离为.
15.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）四棱柱是直四棱柱，平面ABCD.
平面ABCD，
，
在四边形ABCD中，，，.
又，平面.
（2）如图，连接，记，，连接，
则平面ABCD，且.
以O为坐标原点，分别以OA，OB，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则，，，.
，，.
设平面的法向量为，
则，即，取，则，，
是平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
是平面的一个法向量.
.
由图知，二面角为锐角，
故所求二面角的余弦值为.集合与常用逻辑用语（A卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
3.已知集合，，若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若集合，，则的元素的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.设集合，，则( )
A. B. C. D.
6.已知命题，，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.或
7.已知集合，若，则a的取值构成的集合为( )
A. B. C. D.
8.若集合，，则的子集个数是( )
A.4 B.8 C.16 D.32
9.（多选）已知集合，则下列说法正确的有( )
A. B. C.A中有3个元素 D.A有16个真子集
10.（多选）已知集合，，若，则实数a的值可以是( ).
A. B. C.0 D.
11.已知全集，集合，集合，则________.
12.已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________.
13.已知集合，，若，则m的最小值为_________________.
14.已知集合，.
(1)求集合；
(2)当时，求；
(3)若，写出一个符合条件的m的值.
15.已知集合，
(1)若，求和；
(2)若，求a的取值范围
答案以及解析
1.答案：B
解析：由集合，
又由集合，所以.
故选:B.
2.答案：A
解析：因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，
一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，
所以，全称命题，的否定为特称命题，，
故选：A.
3.答案：D
解析：，
因，则，则实数a的取值范围是.
故选：D.
4.答案：C
解析：因为集合，，
所以，
因此，的元素的个数是2.
故选：C.
5.答案：C
解析：不等式，可化为，所以，
所以或，故或，
不等式的解集为，
所以，所以.
故选：C.
6.答案：A
解析：因为命题p是假命题，
可得:，为真命题;
可得:，
解得:，
故选:A
7.答案：D
解析：由题得，因为，所以.
当时，，满足；
当时，，因为，
所以或，解得1或，
综上a的取值构成的集合为.
故选：D.
8.答案：C
解析：因为，，则，
所以，的元素个数为4，的子集个数是，
故选：C.
9.答案：AB
解析：由得：，又，;
对于A，由知：，A正确;
对于B，，，，B正确;
对于C，由知：A中有4个元素，C错误;
对于D，中有4个元素，有个，D错误.
故选：AB.
10.答案：BCD
解析：由方程，解得或，即，
当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意;
当时，由，可得 此时，
要使得，可得或，解得或.
综上可得，实数a的值为0或或.
故选：BCD.
11.答案：
解析：，
或，
则，
所以.
故答案为：.
12.答案：
解析：设，，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，
所以，
故答案为:.
13.答案：5
解析：由，故，
由，得，
故有，即，即，
即m的最小值为5.
故答案为：5.
14.答案：(1)或
(2)
(3)(区间里的任何实数都符合)
解析：(1)由可得或；
(2)当时，，则；
(3)由可得.，
因恒成立，故；
要使，需使，
解得，故区间里的任何实数都符合.
15.答案：(1)，
(2)
解析：(1)由得，
解得，
，
当时，
，
或，
.
(2)若，则，
(1)时，满足，
此时，解得；
(2)当时，有
解得，
.
综上所述:当时，.计数原理与概率统计（A卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
2.若的展开式中常数项为32，则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.某市20000名学生参加一次数学测试（满分150分），学生的测试成绩X近似服从正态分布，则测试成绩在内的学生人数约为( )
附:（若，则，）
A.2717 B.2718 C.6827 D.9545
4.某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有( )
A.30 B.45 C.60 D.75
5.已知某条线路上有A，B两辆相邻班次的（快速公交车），若A准点到站的概率为，在B准点到站的前提下A准点到站的概率为，在A准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为( )
A. B. C. D.
6.展开式中的系数为( )
A.15 B.20 C.30 D.35
7.甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
8.设，随机变量X的分布列是
X 0 a 1
P
则当a在内增大时，( )
A.增大 B.减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
9.（多选）某同学记录了连续5天的平均气温，已知这组数据均为整数，该组数据的中位数为20，唯一的众数为22，极差为5，则( )
A.该组数据中最小的数据可能为16 B.该组数据的平均数不大于20
C.该组数据的分位数是21 D.该组数据中第二小的数据是18
10.（多选）已知随机变量和满足：，且，若的分布列如下表，则下列说法正确的是( )
1 2 3
P a b
A. B. C. D.
11.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组）（单位：人）.学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为___________.
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
12.某校5名大学生分别从西班牙语、意大利语、葡萄牙语中选择1种进行学习，每种语言至少有1人且至多有2人选择，若学生A不选择葡萄牙语，则所有不同的学习方案种数为___________.
13.一个袋于中有4个红球，8个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为__________.
14.设为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，能正常工作的设备数为X.
（1）写出X的分布列；
（2）求出计算机网络不会断掉的概率.
15.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，解得，所以.
故选：B.
2.答案：A
解析：的展开式通项为.
故常数项为，得.
故选：A.
3.答案：C
解析：因为.
所以测试成绩在内的学生人数约为:.
故选:C
4.答案：C
解析：依题意，将5名学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法;
由于甲同学不去观看电影《哪吒2》，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法;
按照分步乘法原理，共有种方法.
故选:C
5.答案：B
解析：设事件A为“A准点到站”，事件B为“B准点到站”，
依题意，，，
而，解得，
而，
则，而，解得.
故选：B.
6.答案：C
解析：因为，
则展开式中含的项为；
展开式中含的项为，
故的系数为，
故选：C．
7.答案：C
解析：甲、乙两位同学选读课外读物可以分为两个步骤：先从6种课外读物中选择一本作为甲、乙两人共同的选择，再从剩下的5本中选择互不相同的两本，所以符合题意的选法共有（种）.故选C.
8.答案：D
解析：随机变量X的期望，
，当时，单调递减，当时，单调递增，故选D.
9.答案：BC
解析：设该组数据从小到大排列为a，b，c，d，e，因为中位数为20，唯一的众数为22，所以，.因为极差为5，所以，解得.易知该组数据中最小的数据为17，故A错误；易知该组数据从小到大排列为17，b，20，22，22，因为这组数据均为整数，所以或，所以该组数据的平均数，故B正确，D错误；，所以该组数据的分位数是，故C正确.
10.答案：BCD
解析：依题意，
解得，故A错误，B正确；
又，所以，故C正确；
因为，
所以，故D正确.
故选：BCD
11.答案：30
解析：依题意，篮球组60人抽取12人，则分层抽样的抽样比为，
由分层抽样的意义知，书画组40人抽取的人数为人，从而乐器组抽取的人数为，
于是得，解得，
所以a的值为30.
故答案为：30.
12.答案：60
解析：由题意可将5名大学生分为1人、2人、2人三组，共有（种）分法，若学生A不选择葡萄牙语，则学生A所在的组有2种选择，剩下的2组全排列，有（种）排法，故所有不同的学习方案种数为.
13.答案：
解析：方法一：
由已知，该试验是古典概型，
样本空间中样本点的个数，
设事件“第二次取到红球”，则事件A分为“第一次取到绿球，第二次取到红球”和“两次取到的均为红球”两类，
，
.
方法二：
设事件表示“第i次摸到红球”，事件表示“第i次摸到绿球”，，
则
.
故答案为：.
14.答案：（1）分布列见解析
（2）
解析：（1）可以看出，X服从参数为3，0.9的二项分布，即.
因此，
，
，
，
从而X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
（2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即，
因此所求概率为.
15.答案：（1）
（2）分布列见解析，期望为13
解析：（1）记“甲学校在第i个项目获胜”为事件，“甲学校获得冠军”为事件E.
则
.
甲学校获得冠军的概率为.
（2）记“乙学校在第j个项目获胜”为事件.
X的所有可能取值为0，10，20，30.
则，
，
，
.
的分布列为
X 0 10 20 30
P
.复数（A卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.复数的虚部为( )
A. B.2 C. D.4
2.( )
A. B.0 C.2 D.
3.若复数是纯虚数，则实数m的值为( )
A.2 B.3 C.2或3 D.0或3
4.复数（i为虚数单位）的虚部为( )
A.2 B.-2 C.3 D.-2i
5.在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为( ).
A. B. C. D.
6.已知复数z在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
7.已知复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
8.若复数在复平面内对应的点位于y轴上，则实数( )
A.-2 B. C. D.2
9.（多选）对于复数，下列结论错误的是( )
A.若，则为纯虚数 B.若，则
C.若，则为实数 D.纯虚数的共轭复数是
10.（多选）若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则( )
A.
B.复数z的实部是2
C.复数z的虚部是1
D.复数在复平面内对应的点位于第一象限
11.若为实数.则_______________.
12.若复数z同时满足，，则___________.（i是虚数单位）
13.已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是________.
14.计算下列各式的值.
（1）；
（2）.
15.已知复数，且为纯虚数.
（1）设复数，求；
（2）设复数，且复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：，
则其虚部为4.
故选:D.
2.答案：B
解析：由题意知，.
故选：B
3.答案：A
解析：因为是纯虚数，
所以，则，所以.
故选：A.
4.答案：B
解析：由题意可得复数（i为虚数单位）的虚部为-2.
故选：B
5.答案：A
解析：复数，其对应的点在第二象限，
则，解得.
故选:A
6.答案：B
解析：由题意，因为，
所以，
故选：B.
7.答案：B
解析：复数，则，的虚部为.
8.答案：C
解析：因为在复平面内对应的点位于y轴上，
所以，此时满足题设.
故选：C.
9.答案：AB
解析：解：因为
当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确；
当时，复数为实数，故C正确；
对于B：，则即，故B错误；
故错误的有AB；
故选：AB.
10.答案：ABD
解析：，，，故选项A正确；复数z的实部是2，故选项B正确；复数z的虚部是-1，故选项C错误；复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选项D正确.故选ABD.
11.答案：6
解析：因为为实数，
所以，则，.
故答案为：6.
12.答案：
解析：设，
由，
所以，
又，
所以，
所以
所以，
故答案为：.
13.答案：
解析：由于，
故点位于第四象限，因此，解得，
即m的取值范围是.
故答案为:.
14.答案：（1）
（2）
解析：（1）根据复数的除法运算，化简可得
.
（2）根据复数的除法运算，化简可得
.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1），
.
为纯虚数，，解得，
，
.
（2），
在复平面内对应的点的坐标为.
又复数在复平面内对应的点在第四象限，
，解得，
实数a的取值范围为.集合与常用逻辑用语（B卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知实数，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知集合，，若，则实数( )
A. B. C.2 D.3或或
5.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
6.已知x，y为实数，，，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知集合，，若，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知x，y为正实数，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
9.（多选）若集合，，且，则n的值可以是( )
A. B.0 C.1 D.2
10.（多选）已知，集合，，若，则的可能取值为( )
A.1 B.4 C.6 D.7
11.若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围为__________.
12.已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是________.
13.已知全集，集合，，或，且，则实数a的取值范围为__________.
14.已知非空集合，.
（1）若，求;
（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围.
15.设集合，.
（1）求集合；
（2）记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：图中阴影部分所表示的集合为.
故选：B.
2.答案：A
解析：易知集合，，所以.故选A.
3.答案：C
解析：实数，则，
当时，，因此，
当时，而，则，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
4.答案：D
解析：因为，所以，所以或.当时，解得，则，，满足题意.当时，解得或.当时，，，满足题意；当时，，，满足题意.综上，或或，故选D.
5.答案：C
解析：由，得，解得，则，由题意得，则.故选C.
6.答案：B
解析：因为x，y为实数，当，时，满足，
但是，所以若p则q是假命题；
而由，当时，得；
当时，得，所以由得，
所以若q则p是真命题；
所以p是q的必要不充分条件.
故选：B.
7.答案：C
解析：，因为，所以，所以.
8.答案：D
解析：依题意，x，y为正实数，
由，得，所以，则充分性成立;
由，得，则，所以，则必要性成立.
综上可知，“”是“”的充要条件.
故选：D.
9.答案：ABD
解析：若，则或或，由元素的互异性，可得，所以n的值可以是，0，2，故选ABD.
10.答案：CD
解析：，，，或解得或或当，时，，，符合题意，此时.当，时，，不符合集合元素的互异性，故舍去.当，时，，，符合题意，此时.故选CD.
11.答案：
解析：由题意知，不等式有解，即不等式有解，则，即，解得或.实数m的取值范围为.
12.答案：
解析：不等式，解得，
依题意，，则，此时，
所以m的取值范围是.
故答案为:
13.答案：
解析：因为全集，集合，，，
所以或，所以.
又集合或，且，所以或，解得或，故a的取值范围为.
14.答案：（1）
（2）
解析：（1）已知集合，.
当时，，或
又，
;
（2）因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集，
又，，
所以，
所以;
当时，是Q的真子集;
当时，也满足是Q的真子集，
综上所述:.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）根据题意，可得或，
，
所以.
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，
所以C是A的真子集，
又或，
可得（等号不同时取到），解得，
即实数a的取值范围是.平面向量（B卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.正三角形中，D是线段上的点，，，则( )
A. B.6 C. D.12
2.已知向量，，满足，则( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.已知向量，，，若，则( )
A.18 B.2 C.-2 D.-18
4.若向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.若向量，，则“”是“向量，的夹角为锐角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.如图所示，在中，点D在线段上，且，若，则( )
A. B. C.2 D.
8.已知平面向量，则与方向相同的单位向量是( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知向量，，则下列结论正确的是( )
A.若a与b方向相反，则
B.若，则
C.若，则b在a上的投影向量的坐标为
D.若，则a与b的夹角的余弦值为
10.（多选）已知O为的外心，，则( )
A.与不共线 B.与垂直
C. D.
11.设向量，不平行，向量与平行，则实数_______.
12.已知，，若与的夹角是钝角，则实数x的取值范围是___________.
13.已知非零向量，满足，，则向量，夹角的余弦值为________.
14.已知向量，，，且向量与共线.
(1)证明：；
(2)求与夹角的余弦值；
(3)若，求t的值.
15.已知向量，.
(1)若与垂直，求实数k的值；
(2)已知O，A，B，C为平面内四点，且，，.若A，B，C三点共线，求实数m的值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意，
.
故选：C
2.答案：C
解析：因为，，
所以.
故选：C.
3.答案：A
解析：依题意，，
由，得，
所以.
故选：A
4.答案：A
解析：两个向量，的夹角是，是单位向量，，
．
，，
．
设向量与的夹角为，则，，．
故选：A．
5.答案：C
解析：因为，，且，
所以，解得，
所以向量在向量上的投影向量.
故选:C
6.答案：B
解析：向量，的夹角为锐角，则，且向量，不共线，
当向量，共线时，，
则，
若，则成立，反之不成立，
故“”是“向量，的夹角为锐角”的必要不充分条件，
故选:B
7.答案：B
解析：由向量的运算法则，
可得，
因为，所以，，从而求得，
故选:B.
8.答案：C
解析：由题意得，，则与方向相同的单位向量为，即.故选C.
9.答案：AC
解析：选项A：若a与b方向相反，则，解得，故A正确.
选项B：若，则，解得，故B错误.
选项C：若，则，，所以b在a上的投影向量的坐标为，故C正确.
选项D：若，则，，所以a与b的夹角的余弦值为，故D错误.
10.答案：BC
解析：选项A：由得，则与共线，故A错误.
选项B：因为O为的外心，所以，所以与垂直，因为与共线，所以与垂直，故B正确.
选项C：设，则，由得，所以，故C正确.
选项D：设的外接圆半径为1，由得，所以，两边同时平方得，即，所以，故D错误.
11.答案：
解析：因为向量与平行，
所以，
则所以.
12.答案：
解析：因为与夹角为钝角，
可以得出，
解得：，
且，不平行，则，
即且，
即.
故答案为：
13.答案：
解析：因为且，为非零向量，
设，则，
又，所以，则，
解得，
设向量，的夹角为，
则，
即向量，夹角的余弦值为.
故答案为：
14.答案：(1)证明见解析;
(2);
(3).
解析：(1)因为向量与共线，所以，
则，解得，
所以，，
因为，
所以.
(2)由(1)得，
所以，
即与夹角的余弦值为.
(3)因为，，，
所以，解得.
15.答案：(1)
(2)2
解析：(1)，
则，
因为与垂直，
所以，
解得.
(2)，
，
，
，
因为A，B，C三点共线，
所以.
所以，
解得.计数原理与概率统计（B卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.数据1，2，2，3，3，4，4，5，5，6的第分位数是( )
A.2.5 B.4 C.4.5 D.5
2.用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有( )
A.240 B.360 C.480 D.600
3.在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是( )
A. B. C. D.7
4.已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( )
A.36种 B.30种 C.24种 D.20种
5.已知A与B是互斥事件，且，，则( )
A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.0.9
6.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为( )
A.0.5 B.0.65 C.0.75 D.0.8.
7.已知离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3
P m n
若，则( )
A.2 B.3 C.6 D.7
8.已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若X的数学期望，则( )
A.19 B.16 C. D.
9.（多选）已知随机变量X的分布列为
X 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 m 0.3 0.1
则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.（多选）随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是( )
A.随机变量X的取值为1，2，3 B.
C. D.
11.已知4件产品中有2件次品，逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为X.则__________.
12.已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P a
则随机变量Y的方差等于__________;
13.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为________.
14.甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9.
(1)若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；
(2)若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率
15.为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能地各取一件玩具进行交换.
（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；
（2）两人进行两次交换后，记X为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量X的分布列和数学期望.
答案以及解析
1.答案：C
解析：数据1，2，2，3，3，4，4，5，5，6已按从小到大顺序排列，
由于，故第分位数是，
故选：C
2.答案：C
解析：将区域标号，如下图所示:
因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法;
若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法;
所以共有种不同的涂色方法.
故选:C.
3.答案：C
解析：依题意知第五项的二项式系数最大，所以一共是9项，所以，二项式展开项的通项公式为，令，得，所以的系数为.故选C.
4.答案：D
解析：当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，
共有种方法;当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，
丁有4种方法，共有种方法，
综上，共有种方法.
故选：D.
5.答案：D
解析：由，可得.
由于A与B是互斥事件，
故.
故选：D
6.答案：C
解析：设事件“甲命中目标”，“至少命中一次”，
则，，
则已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为
故选:C
7.答案：C
解析：由题意知，
由得，解得，
故，
故，
故选：C.
8.答案：A
解析：由题知，设，则，所以离散型随机变量X的概率分布如表所示：
X 0 1 2 3
P a
故，
因为，所以，解得，
所以，
因此.故选A.
9.答案：AD
解析：由随机变量分布列的性质，知，解得，故A正确;
，故B错误;
，故C错误;
，故D正确.
故选：AD.
10.答案：CD
解析：由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，故A错误;
则，，故B错误，C正确;
又，，所以.故D正确.
故选：CD.
11.答案：
解析：X的可能取值为2，3，
，，
.
12.答案：
解析：因，所以，
，，
所以.
故答案为：.
13.答案：
解析：设事件、分别表示甲两轮猜对1个、2个成语，事件、分别表示乙两轮猜对1个、2个成语，
则，，，.
设事件A为“星队”在两轮活动中猜对3个成语，则，且与互斥，与、与分别相互独立，
.
故答案为:.
14.答案：(1)0.5
(2)0.64
解析：(1)设事件A表示甲获胜，
事件B表示和棋，
事件C表示甲不输
则.
因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，
得.
因为，
所以
(2)设事件A表示甲获胜，则表示甲未获胜
设下两次棋至少有一次获胜的事件为E，
则，
因为两盘棋之间的胜负互不影响，
且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的
所以
15.答案：（1）
（2）分布列见解析，数学期望为2
解析：（1）若两人交换的是玩具车，则概率为，
若两人交换的是玩偶，则概率为，
故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.
（2）X可取的值为0、1、2、3、4，
一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率为，
经过两次交换后，
，
，
，
，
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
.平面向量（A卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C.3 D.6
2.已知向量，，满足，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知非零向量，满足，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，则等于( )
A.12 B.10 C. D.
5.设与是两个不共线向量，且向量与共线，则( )
A.0 B. C. D.
6.如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则( )
A. B. C. D.
7.设向量，，则( )
A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件
8.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.（多选）设向量，满足，且，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D.向量，夹角为60°
10.（多选）已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C.向量与的夹角为 D.若在上的投影向量为
11.已知点，，若向量与的方向相反，则__________.
12.已知向量，.若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围为_______________.
13.如图，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为_____________.
14.已知向量，，若与的夹角为．
（1）求;
（2）当为何值时，向量与向量互相垂直
15.已知平面向量，，，.
(1)若，求x的值;
(2)若，求的值.
(3)若与的夹角是钝角，求x的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由已知，可得，，
解得，，故.
故选：A.
2.答案：A
解析：因为，所以，
所以，
又因为，
所以，
则在上的投影向量为
.
故选：A.
3.答案：B
解析：因为，且，
所以，即，
所以，
又，所以.
故选：B
4.答案：C
解析：由有，
所以，
所以，
故选:C.
5.答案：B
解析：因为向量与共线，
则存在，使，
又因与是两个不共线向量，则，解得.
故选:B.
6.答案：A
解析：因为点D是线段BC的中点，
E是线段AD的靠近A的三等分点，
所以
，
故选：A
7.答案：C
解析：对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对C，当时，，，故，所以，即充分性成立，故C正确；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
8.答案：A
解析：连接AE，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，则.，，则，故选A.
9.答案：AC
解析：，又因为，所以，故，所以A正确，D不正确;
，故，所以B不正确，，所以，正确.
故选:AC.
10.答案：AD
解析：因为，
所以，故A正确；
由已知可得，
，故B错误；
因为，
又，所以，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确.
故选：AD.
11.答案：
解析：由，，可得
向量与的方向相反，即与共线，
，解得:或，
当时，与相等，不符合题意，舍去;当时，，，与的方向相反，所以，
，，可得.
故答案为:.
12.答案：
解析： ，，，，
向量与的夹角为锐角，，
解得，又当时，两个向量方向相同，故答案为.
13.答案：
解析：解法1：因，所以，
又，
所以
因为点P，B，N三点共线，
所以，
解得：.
解法2：
因为，设，
所以，
因为，所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以解得：，
所以.
故答案为：.
14.答案：（1）
（2）
解析：（1），
.
（2）当向量与向量互相垂直时，，
即，即，解得，
所以当时，向量与向量互相垂直.
15.答案：(1)或3：
(2)1或
(3)
解析：(1)若，则.
整理得，解得或.
故x的值为或3.
(2)若，则有，即，解得或
当时，，，则，得;
当时，，则，得.
综上，的值为1或.
(3)因与的夹角是钝角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则
综上，x的取值范围为.数列（B卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.设是等差数列的前n项和，若，，则( )
A. B. C. D.
2.在正项等比数列中，若，则等于( )
A. B.8 C. D.4
3.在等差数列中，，，则( )
A.-3 B.0 C.3 D.6
4.已知等比数列为递增数列，若，，则( )
A. B. C.4 D.8
5.若数列满足，，则( )
A. B.11 C. D.
6.设等比数列的前n项和为，且满足，，若，则数列的前10项和是( )
A.-35 B.-25 C.25 D.35
7.已知数列是各项及公差都不为0的等差数列，若为数列的前n项和，则“，，成等比数列”是“为常数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知等差数列、的前n项和分别为、，若，则( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若和都为递增数列，则
10.（多选）已知数列的前n项和为，下列说法正确的是( )
A.若，则a、b、c成等比数列
B.若为等差数列，则为等差数列
C.若为等比数列，则为等差数列
D.若，，，则为等比数列
11.已知为等差数列的前n项和，若当时，，则__________.
12.已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为__________．
13.已知等差数列的前n项和为，，，则数列的前9项和________.
14.已知数列，满足，，m为常数，若为等差数列，且.
(1)求m的值及的通项公式；
(2)求的前项和.
15.已知数列的前n项和为，.
(1)求数列的通项公式;
(2)令，求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由是等差数列的前n项和，则，，成等差数列，
因为，，所以，，
所以，所以，所以.
故选：A.
2.答案：A
解析：由得，，
数列为正项等比数列，.
故选:A.
3.答案：B
解析：设等差数列的公差为d，
则，
解得.
故选：B.
4.答案：A
解析：已知等比数列，则，
因为，所以，则，
又，所以，或，，
因为等比数列为递增数列，则，，
且公比，所以，则，
故.
故选：A.
5.答案：D
解析：因为.
所以数列周期为3的数列.
所以
，所以，
故.
故选：D
6.答案：C
解析：设等比数列的公比为q，由题意易知，
则
解得
所以，所以，
所以数列的前10项和.
故选：C.
7.答案：C
解析：因为数列是公差不为0的等差数列，
设其公差为d，所以，
若，，成等比数列，则，解得，
此时，为常数，充分性成立；
反之，若为常数列，则，则，，
得，则，，，
易知，故必要性成立，
故“，，成等比数列”是“为常数列”的充要条件.
故选:C.
8.答案：C
解析：因为等差数列、的前n项和分别为、，且，
因为.
故选:C.
9.答案：BC
解析：若的公差为d，
则：A：由题设，故，则，错;
B：，对;
C：由，即，而，即，对;
D：由题设，又是递增数列，则，
所以，即对，，而的符号无法确定，错.
故选：BC.
10.答案：BD
解析：对于A，当时有，
此时a、b、c不成等比数列，A错；
对于B，设等差数列的公差为d，
则，
所以，，
则，
因此，若为等差数列，则为等差数列，B对；
对于C，若为等比数列，取，
则当n为正奇数时，无意义，C错；
对于D，因为，
所以，
而，，，，
因此数列是首项为1，公比为的等比数列，D对
故选：BD.
11.答案：
解析：当时，，得，
在等差数列中，，
所以，得.
故答案为：.
12.答案：
解析：设的公差为d，
因为，
所以，
又，故，解得，所以，
又，所以．
故答案为：.
13.答案：36
解析：设等差数列的公差为d，因为，，
可得，解得，
所以，，所以，
所以，所以数列为等差数列，
所以，可得，
故答案为：36.
14.答案：(1)m的值为
(2)
解析：(1)由题意知，，
因为，
所以，
设等差数列的公差为d，
则，
解得，
所以，
所以m的值为，的通项公式为；
(2)由(1)知，，，
所以
.
所以的前项和.
15.答案：(1)
(2)
解析：(1)由题得，
当时，，得，
当时，，
两式作差得，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以
(2)由(1)得.
.函数与导数（A卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
2.若函数在处可导，且，则( )
A. B. C.1 D.2
3.设曲线在点处的切线与直线平行，则( )
A.2 B.-2 C. D.
4.已知，若，恒成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数与的部分图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
8.已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知（），则( )
A.当时，是的极值点
B.存在a使在上单调递增
C.直线是的切线
D.当时，的所有零点之和为0
10.（多选）已知函数，的零点分别为，，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数则函数的零点个数为___________.
12.若直线与曲线相切，则_______.
13.若函数在时取得极小值，则的极大值为__________.
14.已知函数.
(1)若，求函数在的切线方程;
(2)讨论的单调性.
15.已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上不单调，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，
令，且，易得:
所以单调递减区间是，
故选:B
2.答案：C
解析：.
故选：C.
3.答案：D
解析：对曲线求导，可得 ，在点P处切线的斜率为
直线方程可化为
若与直线平行，则两条直线的斜率相等
所以
所以选：D.
4.答案：A
解析：令函数在上单调递减，且，
则，即，而，于是，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，所以，即.
故选:A
5.答案：B
解析：因为，可知在内有2个变号零点，
由可得，可知：与在内有2个交点，
又因为，
令，解得;令，解得;
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且，，，
结合图象可得，所以实数a的取值范围为.
故选：B.
6.答案：A
解析：令，则，
令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即.
令，，
，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选A.
7.答案：B
解析：由题图可知，与在区间上单调递增，所以，.
在区间上，的图象比的图象更陡，
所以，.故选B.
8.答案：C
解析：由题意知，问题等价于在区间上有解，即有解，，由二次函数的性质知，即.故选C.
9.答案：ACD
解析：A：，
当时，，
令，或，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
则是的极小值点，故A正确；
B：若在上单调递增，
则在上恒成立，
当时，不成立，
所以不存在a使得在上单调递增，故B错误；
C：设切点为，则，
所以切线为，
即，
若直线为切线，
则，
由解得，
此时切点为，故C正确；
D：当时，，
令，得或，
对于方程，，
方程有2个不同的实根，
由韦达定理得，
所以3个根之和为0，即所有的零点之和为0，故D正确.
故选：ACD
10.答案：ACD
解析：对于A，由题得，，所以，即，所以，故，因此A正确；
对于B，由，得，，则函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点，，如图1，2，由图象可知，，
由，得，
所以，因此B错误；
对于C，由，即，以及得，因此C正确；
对于D，因为，，，所以，因此D正确.故选ACD.
11.答案：5
解析：令，解得或.当时，单调递增，且时，，时，，当时，的图象开口向上，.作出函数的大致图象如图所示.
易得有两个解，有三个解，故函数的零点个数为5.
12.答案：1
解析：设直线与曲线相切的切点坐标为，
由，求导得，
于是，解得，.
故答案为：1
13.答案：e
解析：，由题意得，解得，所以，
故当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为.
14.答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)当时，，所以，则，，
故当，函数在的切线方程为，即.
(2)因为，其中，
当时，，由得;由得.
当时，令，
令得，，
当时，由得;由得.
当，即时，由得;
由得.
当，即时，对任意的恒成立;
当，即时，由得，
由得.
综上，当时，函数的增区间为，减区间为;
当时，函数的增区间为、，减区间为;
当时，函数的增区间为，无减区间;
当时，函数的增区间为、，减区间为.
15.答案：（1），
（2）
解析：（1）当时，，故.
令，解得或.
当x变化时，，的变化情况如表：
x 1
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以，.
（2），
令，解得，.
当时，，解得，
所以若函数在区间上不单调，则，且或，
解得或且.
故a的取值范围为.平面解析几何（B卷）
——高二数学北师大版（2019）暑假作业
1.以为焦点的抛物线标准方程是( )
A. B. C. D.
2.已知直线，，若，则实数a的值为( )
A.1 B. C. D.-2
3.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.若直线被圆截得的弦长为4，则m的值为( )
A. B. C. D.
5.设O为坐标原点，直线与抛物线交于D，E两点，若，则C的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
6.设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为( )
A. B.3 C. D.2
7.点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段AB的中点P的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
8.设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且.若的面积为4，则( )
A.1 B.2 C.4 D.8
9.（多选）已知点P在圆上，点，，则( )
A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2
C.当最小时， D.当最大时，
10.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆E交于A，B两点（A点位于B点上方），且.延长，，分别交椭圆E于点C，D，连接CD交x轴于点P.若的面积是的面积的3倍，则下列说法正确的有( )
A.椭圆E的离心率为 B.的周长为
C. D.直线l的斜率是直线CD的斜率的5倍
11.抛物线上的动点P到直线的距离最短时，P到C的焦点的距离为__________.
12.已知直线被动圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为__________.
13.已知第一象限内的点P，Q分别在双曲线的渐近线与双曲线的渐近线上，若O为坐标原点且，则两双曲线的离心率之积为___________.
14.已知直线与关于抛物线的准线对称.
(1)求C的方程；
(2)若过C的焦点的直线l与C交于A，B两点，且，求l的斜率.
15.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意，抛物线方程形如，
因，解得，
故以为焦点的抛物线标准方程是.
故选：D.
2.答案：A
解析：由.
故选：A.
3.答案：C
解析：方法一：双曲线，，，所以双曲线的渐近线方程为.故选C.
方法二：令，得，所以双曲线的渐近线方程为.
故选C.
4.答案：A
解析：由题知，圆C的圆心为，半径为，
由弦长为，
解得.
故选：A
5.答案：B
解析：由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方.由得，，，，，的焦点坐标为，故选B.
6.答案：B
解析：由题易知，，，又，
为直角三角形，易知，
，
又，
，，故选B.
7.答案：A
解析：线段AB的中点P设为，则，
点A在圆上运动时，
线段AB的中点M的轨迹方程是，
整理得.
故选：A.
8.答案：A
解析：设，，则，.由，得，，.，，解得，即.故选A.
9.答案：ACD
解析：由题意可知直线AB的方程为，即，
则圆心到直线AB的距离，直线AB与圆相离，点P到直线AB的距离的取值范围为，
，，A正确，B错误.
过点B作圆的两条切线，切点分别为，，如图，当点P在切点的位置时，最小，当点P在切点的位置时，最大，易知，圆心到点B的距离为，圆的半径为4，所以，故选项C，D均正确.故选ACD.
10.答案：AC
解析：选项A：的面积是的面积的3倍，.设，则，，，，则由余弦定理得，得，，，，，.由知A为椭圆E的上顶点，，，，故A正确.
选项B：由椭圆的定义得的周长为，故B错误.
选项C：由选项A知，，直线的方程为，与椭圆E的方程联立，可解得，.易知，直线的方程为，即，与椭圆E的方程联立，可解得，直线CD的方程为，令，解得，，故C正确.
选项D：由选项C知直线l和CD的斜率分别为，，，故D错误.故选AC.
11.答案：2
解析：设，则点到直线的距离为，当，即时，抛物线上的动点P到直线的距离最短，则P到C的焦点的距离为.
12.答案：
解析：，即，由解得即直线l过定点，动圆的圆心为，半径为，动圆圆心C在定直线上，要使直线l被截得的弦长为定值，则动点C到l的距离为定值，则，故l的斜率为2，故直线l的方程为，即.
13.答案：
解析：双曲线的渐近线与双曲线的渐近线关于直线对称，由及，得，所以两双曲线的离心率之积为.
14.答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得C的准线方程为.
由，得，
所以C的方程为.
(2)易得l的斜率存在，C的焦点为.
设，，，
联立得，
得
则
得，即l的斜率为.
15.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设双曲线的方程为（，），
由题意可知，
又离心率，，
，双曲线C的方程为.
（2）证明：由题意知直线MN的斜率不为0，
所以可设直线MN的方程为，，，
由（1）知，，.
联立消去x，得，
，，.
易知直线的方程为，①
直线的方程为，②
联立①②可得，，
，，
点P在定直线上.

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