资源简介

三角函数（B卷）
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
1.( )
A. B. C. D.
2.下列区间中，函数单调递减的区间是( )
A. B. C. D.
3.已知锐角满足，则( )
A. B. C. D.
4.设函数在区间的最小值和最大值分别为m和M，则( )
A.2 B. C. D.
5.以下变换中，能将函数的图象变为函数的图象的是( )
A.每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度
B.每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
D.向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
6.已知函数在上的图像大致如图所示，则的最小正周期为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称.若，则( )
A. B. C. D.
8.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.（多选）已知点在第二象限，则角的终边可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10.（多选）已知函数，则( )
A.当时，的图象关于直线对称
B.当时，在上的最大值为
C.当为的一个零点时，的最小值为1
D.当在上单调递减时，的最大值为1
11.函数的定义域为___________.
12.函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为_________.
13.已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_________.
14.(1)化简：;
(2)已知，求的值.
15.已知函数（其中a为常数）
(1)求的单调递减区间;
(2)若时，的最大值为4，求a的值;
(3)在(2)条件下方程在上有两个不相等的实数解，，求m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，
故选:A
2.答案：A
解析：令，
解得，
令，可得.
故选：A.
3.答案：B
解析：因为，所以，
因为，所以.
故选：B.
4.答案：B
解析：若，则，
由正弦函数的性质可知，
当时，函数取得最小值，即，
当时，函数取得最大值，即，
所以.
故选：B
5.答案：B
解析：对于A，变换后的函数为
，故A错误;
对于B，变换后的函数为
，故B正确;
对于C，变换后的函数为
，故C错误;
对于D，变换后的函数为
，故D错误.
故选：B.
6.答案：B
解析：由图可知，，则.
，.
解得，，故，
则，
所以，
故的最小正周期为.
故选：B
7.答案：B
解析：若角的终边在第一象限，设终边上一点，则P关于对称点在终边上，
此时;
若角的终边在第二象限，设终边上一点，则P关于对称点在终边上，
此时.
故选:B
8.答案：A
解析：将函数的图象先向右平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数，
由函数在上没有零点，则，则，
由，可得，
假设函数在上有零点，
则，则，
由，可得，，，
又，则
则由函数在上没有零点，且，可得，
故选：A.
9.答案：ACD
解析：因为点在第二象限，
所以，所以，
所以，
当时，，
即，所以的终边在第一象限，
当时，，
即，所以的终边在第三象限，
当时，，
即，所以的终边在第四象限，
综上，角的终边可能在第一象限，或第三象限，或第四象限，
故选：ACD.
10.答案：ACD
解析：当时，，因为，所以的图象关于直线对称，故A正确；当时，由可得，所以在上的最大值为，故B错误；若，则，，解得，，且，所以的最小值为1，故C正确；由，，，得，，因为在上单调递减，所以，，所以，所以的最大值为1，故D正确.故选ACD.
11.答案：
解析：由，，得，，
所以函数的定义域为;
故答案为：.
12.答案：
解析：时，则，
由于在区间上不单调，
则，故，
故答案为：
13.答案：
解析：令，得，或，.
由题意可知，，，则，，
，又的图象过，
，结合五点作图法得，，结合不妨取，
，.
14.答案：(1)0;
(2)
解析：(1)原式;
(2)因为，，
所以
.
15.答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由，，
解得，.
函数的单调减区间为.
(2)，，
.
的最大值为，
.
(3)由(2)得：
.
又，，
，，
.平面向量及其应用（B卷）
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
1.已知向量,,满足,则( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.如图,四边形中,,E为线段的中点,F为线段上靠近B的一个四等分点,则( )
A. B.
C. D.
3.已知向量,,满足,,,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知向量和向量，若，则实数( )
A. B.0 C.1 D.2
5.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，若，则( )
A. B. C.1 D.2
7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在中,若,,,则此三角形( )
A.无解 B.有两解 C.有一解 D.解的个数不确定
9.（多选）下列结论恒为零向量的是( )
A. B.
C. D.
10.（多选）已知向量，，，其中m，n均为正数，，则( )
A.
B.a与b的夹角为钝角
C.
D.向量a在向量b方向上的投影数量为
11.在中,,则的形状是_______________.
12.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为________.
13.已知，，若与的夹角是钝角，则实数x的取值范围是___________.
14.设两个非零向量，不共线，，，.
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定使和共线的实数k的值.
15.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，__________？
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为,,
所以.
故选：C.
2.答案：D
解析：由题意,,E为线段的中点,
则
.
故选：D.
3.答案：A
解析：由可得,
将,代入可得,
所以,故,由于,所以,
故选：A.
4.答案：D
解析：因为，所以，即，所以.
故选：D.
5.答案：C
解析：方法一：，
，
，（舍去），
又，，又，，故选C.
方法二：由得，即，
，又知，
，又，.
.故选C.
6.答案：D
解析：方法一：因为，所以，则，即，解得，故选D.
方法二：因为，又，所以，则，解得，故选D.
7.答案：C
解析：因为，所以，
又，
因为，所以，
所以，解得，
故.
8.答案：B
解析：因为,,,,
所以,
因为,所以,
所以满足的B有两个,所以此三角形有两解.
故选：B.
9.答案：BCD
解析：对于A,,A错;
对于B,,B正确;
对于C,,C正确;
对于D,,D正确.
故选：BCD.
10.答案：AD
解析：对于A，因为，故A正确；对于B，因为，所以a与b的夹角不可能为钝角，故B错误；对于C，由题意得，因为，所以，即，故C错误；对于D，向量a在向量b方向上的投影数量为，故D正确.故选AD.
11.答案：等腰三角形
解析：由诱导公式可得,由正弦定理可得,
所以,
由,可得,即,
因为A,,
所以或（舍去）,
故三角形为等腰三角形.
故答案为：等腰三角形.
12.答案：
解析：因为已知，
由余弦定理可得，
因为，又因为，得，
当且仅当时等号成立，则面积为，
当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为.
故答案为：.
13.答案：
解析：因为与夹角为钝角，
可以得出，
解得：，
且，不平行，则，
即且，
即.
故答案为：
14.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：，
.
又与有公共点B，
，B，D三点共线.
（2）设存在实数，使，
则，
非零向量，不共线，
.
15.答案：选条件①时问题中的三角形存在，此时；选条件②时问题中的三角形存在，此时；选条件③时问题中的三角形不存在
解析：方案一：选条件①.
由和余弦定理得.
由及正弦定理得.
于是，由此可得.
由①，解得，.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时.
方案二：选条件②.
由和余弦定理得.
由及正弦定理得.
于是，
由此可得，，.
由②，所以，.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时.
方案三：选条件③.
由和余弦定理得.
由及正弦定理得.
于是，由此可得.
由③，与矛盾.
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.立体几何初步（B卷）
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
1.直线l与平面不平行，则( )
A.l与相交 B.
C.l与相交或 D.以上结论都不对
2.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，则该四棱锥的体积为( )
A.1 B.2 C. D.
3.已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
4.设，为两个平面，m，n为两条直线，且.下述四个命题：
①若，则或
②若，则或
③若且，则
④若n与，所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
5.下列说法正确的是( )
A.若直线平面，直线平面，则直线直线b
B.若直线平面，直线a与直线b相交，则直线b与平面相交
C.若直线平面，直线直线b，则直线平面
D.若直线平面，则直线a与平面内的任意一条直线都无公共点
6.设，是两个不同的平面，m是直线且，，若要使成立，则需增加条件( )
A.n是直线且， B.n，m是异面直线，
C.n，m是相交直线且， D.n，m是平行直线且，
7.在四棱锥中，已知底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )
A.平面平面PAD B.平面平面PBC
C.平面平面PCD D.平面平面PAD
8.已知平面，满足，且，不垂直，直线，那么下列命题中错误的是( )
A.对任意直线，都有 B.存在直线，使得
C.存在直线，使得 D.m与平面一定不垂直
9.（多选）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中错误的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.（多选）如图，在三棱柱中，，，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A. B.四边形MNEF为梯形
C.四边形MNEF为平行四边形 D.平面
11.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E是上一点，当点E满足条件：________时，平面.
12.已知a，b，c为三条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，，则；
②若，，，，，则；
③若，，，则.
其中正确的命题是____________（填序号）.
13.如图，在棱长为3的正方体中，M在线段上，且，N是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为________.
14.如图，已知在多面体EABCDF中，四边形ABCD是正方形，平面，，且.
（1）求证：平面ABE；
（2）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明.
15.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E是PC的中点.求证：
(1);
(2)平面ABE.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由直线与平面的位置关系概念，可得直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交三种位置关系，
因为直线l与平面不平行，所以l与相交或.
故选：C.
2.答案：B
解析：如图：取，的中点E，F，连接，，
则，且，
平面，
故平面，
平面，故平面平面，
平面平面，
过P作的垂线，垂足为O，
即，平面，
故平面，
由题意可知，
，
由余弦定理可得，
，
故，
所以四棱锥的高为1，则四棱锥的体积为
故选：B
3.答案：C
解析：依题意圆锥高，设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，解得，
可知，
所以圆锥的外接球球的表面积.
故选:C.
4.答案：A
解析：命题①，由，，得或，若，，，则，命题①正确；
在正方体中，如图1所示，
取平面为平面，平面为平面，则为直线m，若n是，则，但n不垂直于且n不垂直于，命题②错误；
若n是，则n与平面、所成角相等，但m不垂直于n，命题④错误；
命题③，如图2，过n作平面交于直线a，作平面交平面于直线b，由，，得，同理可得.则，
由，，得，又，，所以，所以，命题③正确，故选A.
5.答案：D
解析：A中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以A不正确；B中，直线b也可能与平面平行，所以B不正确；C中，直线b也可能在平面内，所以C不正确；根据直线与平面平行的定义可知D正确.
6.答案：C
解析：要使成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个平面平行，n，m是相交直线且，，，，由平面和平面平行的判定定理可得.故选C.
7.答案：C
解析：已知底面，底面ABCD，可得，.
又底面ABCD为矩形，，.
而，，
平面，平面PAD.
平面，平面PCD，
平面平面PAB，平面平面PAD.
又，平面PAB.
平面，平面平面PAB，故选C.
8.答案：C
解析：由可知m与内任意一条直线都垂直，故A正确；由，，可知且，所以当且时，，故B正确；由，相交且不垂直，，可得m与相交，故不存在直线，使，故C错误；若m与垂直，则，这与矛盾，所以m与一定不垂直，故D正确.故选C.
9.答案：ABD
解析：对于选项A，若，则或α与β相交，故错误;
对于选项B， 若，则m与n平行或相交或异面，故错误;
对于选项C， 若，则正确;
对于选项D， 若，则或α与β相交，故错误，选ABD.
10.答案：BD
解析：在中，，，.又平面，平面，平面ABC.又平面MNEF，平面平面，，又平面，平面，平面.，，，显然在中，，，四边形MNEF为梯形.故选BD.
11.答案：答案表述不唯一)
解析：连接交于O，连接OE，
平面，平面，平面平面，
.
又底面为平行四边形，O为对角线与的交点，
故O为的中点，为的中点，
故当E满足条件:时，面.
故答案为:答案表述不唯一)
12.答案：③
解析：如图，可知与不一定垂直，①错误；当直线b与c不相交时，与不一定垂直，②错误；因为，，所以，又，所以，③正确.
13.答案：
解析：如图，
线段上取一点E，使得，在线段上取一点F，使得，连接，，，
因为，所以，，
又，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理，因为平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面，因此，N在线段上.
因为，，
所以线段的最大值为.
故答案为：
14.答案：（1）证明见解析
（2）见解析
解析：（1）因为，平面，平面ABE，所以平面ABE.
在正方形ABCD中，，又平面，平面ABE，所以平面ABE.
由于，所以平面平面DCF，
又平面DCF，
所以平面ABE.
（2）设G，H，P分别是BE，AE，CD的中点，作图如图所示，
则平面ECF.
15.答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)在四棱锥中，
底面ABCD，平面ABCD， ，
，且，
平面PAC.
而平面PAC，.
(2)由，，得，
又，所以.
E是PC的中点，.
由(1)知，且，
平面PCD.
而平面PCD，.
底面ABCD，平面ABCD，.
又，且，
平面PAD，而平面PAD，.
又，平面ABE.暑假提前学：直线的方程
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
知识预习
一、直线的点斜式方程
1.方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是.
当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程是.
2.方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
二、直线的两点式方程
1.直线的两点式方程：直线l经过两点，（其中，），则，这就是直线的两点式方程，简称两点式.
2.直线的截距式方程：方程叫做直线的截距式方程，简称截距式. 其中a叫做直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距.
三、直线的一般式方程
关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
预习小练
1.已知直线l的倾斜角为，且经过点，则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知直线经过和两点，则该直线的斜率和截距分别是( )
A.-2，1 B.1，-2 C.2，-3 D.-3，2
3.已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
4.过点且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程是( )
A. B.
C.或 D.或
5.倾斜角为且在y轴上的截距为2的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知直线在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，则a的值可能是( )
A. B.0 C. D.-2
7.若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为________.
8.将直线绕点顺时针旋转得到的直线方程是____.
9.过点，的直线方程（一般式）为___________.
10.已知直线l的方程是.
（1）当时，直线l的斜率是多少？当时呢？
（2）系数A，B，C取什么值时，方程表示经过原点的直线？
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意知：直线l的斜率为，
则直线l的方程为.
故选：C.
2.答案：C
解析：由题意得，，因此斜率和截距分别是2，-3.
故选：C.
3.答案：C
解析：由l的一个方向向量为，则其斜率为，
所以直线l的方程为，则.
故选:C
4.答案：C
解析：当直线l过原点时，其方程是，符合题意;
当直线l不过原点时，设直线方程为，代入，
可得：，解得：，
所以方程是.
故选：C.
5.答案：A
解析：，所求直线的斜率为.又直线在y轴上的截距为2，由直线方程的斜截式得，故选A.
6.答案：AC
解析：依题意可得，
当时，直线l为，此时横纵截距都等于0，满足题意;
当时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上截距，
则，得或（舍去）
综上所述，a的值为或.
故选：AC.
7.答案：或
解析：当截距为0时，l过点和原点，所以l的方程为，即；
当截距不为0时，设l的方程为，由l过点，得，
解得，所以l的方程为.
故答案为：或
8.答案：
解析：因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为.
将其顺时针旋转，所得直线的倾斜角为，
所以所求直线的斜率为：.
所以所求直线方程为：即.
故答案为：
9.答案：
解析：直线过点，，，，
化简得.
故答案为：.
10.答案：（1）见解析
（2）且A，B不同时为0
解析：（1）当时，直线l的斜率是；
当时，直线l的斜率不存在；
（2）因为直线过原点，所以，
所以当且A，B不同时为0时，方程表示经过原点的直线.立体几何初步（A卷）
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
1.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆.若的面积为，，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
2.已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为( )
A. B. C. D.
3.已知m，n为异面直线，平面，平面，直线l满足，，，，则( )
A.且 B.且
C.与相交，且交线与l垂直 D.与相交，且交线与l平行
4.设m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是( )
A.，且 B.，且 C.，且 D.，且
5.平面与平面平行的充分条件可以是( ).
A.内有无穷多条直线都与平行
B.直线，，且直线a不在内，也不在内
C.直线，直线，且，
D.内的任何一条直线都与平行
6.如图，各棱长均为1的正三棱柱中，M，N分别为线段，上的动点，且平面，则这样的MN有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
7.已知，，，，，则的一个充分条件是( )
A.且 B.且 C.且 D.且
8.已知，，为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列条件中一定能得到的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
9.（多选）若a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，则下列命题正确的有( )
A.若，，则 B.若，，则
C.，，则 D.若，，则
10.（多选）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，，则
11.正六棱柱的高为，最长的对角线为，则它的侧面积为__________.
12.如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以为直角的等腰三角形，，，点D是的中点，点F在线段上，当__________时，平面.
13.在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是侧面四边形内（不含边界）一点.若平面AEF，则线段长度的取值范围是___________.
14.如图，棱锥中，底面是平行四边形，E为SD的中点.求证：平面AEC.
15.如图，在三棱锥中，，，，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面PAC；
（3）当平面BDE时，求三棱锥的体积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设圆的半径为r，球的半径为R，依题意，得，，为等边三角形，.
，根据球的截面性质得平面ABC，
，，
球O的表面积.故选A.
2.答案：B
解析：如图，将正四棱台补形为正四棱锥，记，O分别为正四棱台上、下底面的中心，连接，BD，PO，由题意，得，均为等腰直角三角形，，，，，所以，所以正四棱台的体积，故选B.
3.答案：D
解析：若，则由平面，平面，可得，这与m，n是异面直线矛盾，故与相交.
设，过空间内一点P，作，，则与相交，与确定的平面为.因为，，所以，，所以.
因为，，所以，，所以，，所以.
又因为，，所以l与a不重合，所以.
4.答案：B
解析：，且，则，故A错误；一条直线与一个平面垂直，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面，B正确；，且，则或或n与相交均有可能，故C错误；，且，则或或n与交均有可能，故D错误.故选B.
5.答案：D
解析：A：内有无穷多条直线都与平行，则面与面可能平行也可能相交，错误；
B：直线，，且直线a不在与内，则面与面可能平行也可能相交，错误；
C：直线，直线，且，，则面与面可能平行也可能相交，错误；
D：内的任何直线都与平行，内任取两条相交的直线平行于，由面面平行的判定知，正确.
故选：D.
6.答案：D
解析：如图，过M作，交AB于点Q，过Q作，交BC于点H，过点H作，交于点N.因为，所以，则平面平面，则平面.因为M、N分别为线段，上的动点，所以这样的MN有无数条，故选D.
7.答案：D
解析：对于A，若且，则，可能相交，故A错误；对于B，若且，要得出，必须满足m，n相交，故B错误；对于C，若且，要得出，必须满足m，n相交，故C错误；对于D，由平面与平面平行的判定定理，可知，故D正确.
8.答案：C
解析：在选项A中，，，，则和m可能平行或相交，故A错误；在选项B中，，，，则m与相交或或，故B错误；在选项C中，因为，，所以，又，所以，故C正确；在选项D中，由，，不能推出，所以由不能推出，故D错误.故选C.
9.答案：AB
解析：A项，空间中线线平行有传递性，如图1，故A项正确；B项，如图2，故B项正确；C项，如图3，故C项错误；D项，如图4，故D项错误.
10.答案：AD
解析：A选项，若，，则，又，则，A正确；
B选项，若，，，只有m与n相交，才能得出，B错误；
C选项，若，，，则m，n可能平行也可能异面，C错误；
D选项，由面面垂直的性质定理可知，D正确.故选AD.
11.答案：
解析：设正六棱柱的底面边长为，则底面上最长对角线长为，由，解得，所以侧面积为.
12.答案：1或2
解析：由已知得平面，又平面，所以.若平面，则必有.连接CD，设，则，，.由，得，解得或2，所以当或2时，平面.
13.答案：
解析：在正方体中，取，的中点M，N，连接，，，，，如图所示.
因为点E，F分别是棱，的中点，所以，又平面，平面AEF，所以平面AEF.显然四边形为矩形，有，，则四边形为平行四边形，则.因为平面，平面AEF，所以平面AEF.
又，平面，因此，平面平面AEF.因为平面AEF，所以平面.又点P在平面内，平面平面，所以点P在线段MN上（不含端点）.在中，，，等腰三角形底边MN上的高，于是，所以线段长度的取值范围是.
14.答案：证明见解析
解析：证明：连接BD交AC于O，连接EO，
为SD的中点，O为BD的中点，，
又面，面AEC，
面AEC.
15.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）证明：因为，，
且，平面，平面ABC，
所以平面ABC.
又因为平面ABC，所以.
（2）证明：因为，D为AC的中点，所以.
由（1）知，，且，平面，平面PAC，
所以平面PAC.
又平面BDE，所以平面平面PAC.
（3）因为平面，平面PAC，平面平面，
所以.
因为D为AC的中点，所以，.
由（1）知，平面ABC，所以平面ABC，
所以三棱锥的体积.复数（B卷）
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数z对应的点为，则( )
A. B. C. D.
3.若复数是纯虚数，则实数m的值为( )
A.2 B.3 C.2或3 D.0或3
4.已知i是虚数单位，化简的结果为________.
5.复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数( )
A.1 B. C.2 D.
7.在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为( ).
A. B. C. D.
8.已知复数z在复平面内对应的点与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数z的共轭复数( )
A. B. C. D.
9.（多选）若复数z满足（i是虚数单位），则下列说法正确的是( )
A.z的虚部为
B.z的模为
C.z的共轭复数为
D.z在复平面内对应的点位于第一象限
10.（多选）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则( )
A. B. C. D.
11.已知复平面内平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为，，，则向量所对应的复数是____________.
12.若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m的取值集合为__________.
13.关于x的不等式的解集为，则复数所对应的点位于复平面内的第________象限.
14.已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为A.
（1）若点A位于虚轴上，求实数m的值；
（2）若点A位于第二或第四象限，求实数m的取值范围.
15.在①，②z的实部与虚部互为相反数，③z为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：已知复数.
（1）若___________，求实数m的值；
（2）若m为整数，且，求z在复平面内对应点的坐标.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由，得.
故选：B.
2.答案：A
解析：依题意可知，
所以，
故选：A
3.答案：A
解析：因为是纯虚数，
所以，则，所以.
故选：A.
4.答案：
解析：，
故答案为：
5.答案：A
解析：，故z在复平面内对应的点为，
位于第一象限.
故选：A.
6.答案：D
解析：因为，则复数z在复平面内对应的点为，
又复数对应的点坐标为，所以.
故选：D
7.答案：A
解析：复数，其对应的点在第二象限，
则，解得.
故选:A
8.答案：D
解析：复数在复平面内对应的点为，关于虚轴对称的点为，所以复数z在复平面内对应的点为，即，所以.
9.答案：BCD
解析：由，所以，
所以z的虚部为2，故A错误;
，故正确;
z的共轭复数为，故正确;
z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.
故选:BCD.
10.答案：ACD
解析：因为在复平面内，复数z对应的点的坐标是，所以，所以，，.
11.答案：
解析：四边形ABCD为平行四边形，，，，，向量所对应的复数为.
12.答案：
解析：因为复数在复平面内对应的点位于虚轴上，所以，解得或.
13.答案：二
解析：不等式的解集为，由一元二次方程根与系数的关系，得解得即，，故复数所对应的点位于复平面内的第二象限.
14.答案：（1）3
（2）
解析：（1）若点A位于虚轴上，则，解得，
故实数m的值为3.
（2）若点A位于第二或第四象限，
则，即，
解得或，
故实数m的取值范围为.
15.答案：（1）方案一：选条件①：；方案二：选条件②：或；方案三：选条件③：
（2）
解析：（1）方案一：选条件①.
因为，
所以，解得.
方案二：选条件②.
因为z的实部与虚部互为相反数，
所以，解得或.
方案三：选条件③.
因为z为纯虚数，
所以，解得.
（2）因为，
所以，
所以.
因为m为整数，所以为平方数，为奇数.
因为或，
所以验证可得，即.
因为，所以，其在复平面内对应点的坐标为.复数（A卷）
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
1.( )
A. B. C. D.
2.若复数z满足，则( )
A. B. C. D.
3.若复数，则( )
A. B. C. D.
4.复数（i为虚数单位）的虚部为( )
A.2 B.-2 C.3 D.-2i
5.已知复数z在复平面内对应点的坐标为，则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.( )
A. B.5i C. D.5
7.已知i为虚数单位，若复数，且复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，则所对应的点为( )
A. B. C. D.
8.设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.1或3
9.（多选）已知复数，，则下列结论正确的是( )
A.若，则z的实部为25 B.若，则z的虚部为
C.若z为实数，则 D.若z为纯虚数，则
10.（多选）已知复数（，i为虚数单位），且，则( )
A.z不可能为纯虚数
B.若z的共轭复数为，且，则z是实数
C.若，则z是实数
D.可以等于
11.复数的虚部为________.
12.复数在复平面内对应的点到原点的距离是___________.
13.若复数为纯虚数，则实数m的值为___________.
14.分别求实数m的取值范围，使得复数对应的点
（1）在第三象限；
（2）在第二象限或第四象限.
15.设实部为正数的复数z，满足，且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.
（1）求复数z；
（2）若为纯虚数，求实数m的值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：
.
故选：C
2.答案：B
解析：由题意，，
则，
故选B.
3.答案：B
解析：，
故选:B.
4.答案：B
解析：由题意可得复数（i为虚数单位）的虚部为-2.
故选：B
5.答案：C
解析：复数z在复平面内对应点的坐标为，则，所以，所以.
6.答案：B
解析：，故选B.
7.答案：B
解析：由题意，得，所以.故选B.
8.答案：C
解析：复数是纯虚数，
则，
解得.
故选：C.
9.答案：AC
解析：若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误.
若z为实数，则，得，C正确.
若z为纯虚数，则得，D错误.
故选：AC.
10.答案：BC
解析：当，时，为纯虚数，故A错误；若，则，因此，故B正确；由是实数且，知z是实数，故C正确；若，则，又，因此，，无解，即不可以等于，故D错误.故选BC.
11.答案：
解析：复数的虚部为.
故答案为:.
12.答案：2
解析：复数在复平面内对应的点的坐标为，所以复数在复平面内对应的点到原点的距离是.
13.答案：
解析：由题可得为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：.
14.答案：（1）
（2）
解析：（1）由复数在第三象限，则，可得；
所以实数m的取值范围为.
（2）由复数在第二象限或第四象限，而复数对应坐标为，
，可得.
所以实数m的取值范围为.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）设，a，，，
由题意知，.①
，
得.②
①②联立，解得，，
得.
（2），
所以且，
解得.三角恒等变换（B卷）
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
1.( )
A. B. C. D.
2.已知，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A.-m B.m C. D.
4.已知，，则( )
A. B.7 C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.( )
A.2 B.4 C.-1 D.-3
7.已知是锐角，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
9.（多选）下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10.（多选）已知，，，，则( )
A. B.
C. D.
11._______.
12.已知，则_________.
13.若，则的值是___________.
14.已知向量，，函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的对称轴方程.
15.已知函数的最小值为-3.
（1）求常数k的值及图象的对称轴方程；
（2）若，且，求的值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由诱导公式和逆用两角和的正弦公式有，
.
2.答案：C
解析：，，，，
.
故选:C.
3.答案：A
解析：
故选：A
4.答案：C
解析：.
故选：C.
5.答案：B
解析：由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
6.答案：B
解析：
，
故选：B
7.答案：B
解析：由得，
由得，
化简得，得
故选:B.
8.答案：D
解析：因为，所以，而，
所以，即，所以，
所以.故选D.
9.答案：ABD
解析：对于A，，A正确;
对于B，，B正确;
对于C，，C错误;
对于D，，D正确.
故选：ABD.
10.答案：BC
解析：因为，所以，又，故有，，所以，即，得，故A错误；，因为，所以，所以，故B正确；因为，所以，又，所以，所以，所以.又，，即，所以，故C正确；由，得，又，所以，故D错误.故选BC.
11.答案：
解析：
，
故答案为：
12.答案：
解析：
.
故答案为：
13.答案：
解析：
，
所以.
故答案为：
14.答案：(1)，
(2)
解析：(1)，
令，，解得：，，
故的单调递减区间为，；
(2)
由题意得：，
令，，解得：，，
故的对称轴方程为
15.答案：（1）；函数图象的对称轴方程为，
（2）
解析：（1）
，
当时，取得最小值，为k，
.
令，，得，，
函数图象的对称轴方程为，.
（2）由（1）及，可得，即.
，，
，
.三角恒等变换（A卷）
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
1.( )
A. B. C. D.1
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C.4 D.8
4.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.设，，且，，则( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知，，则( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D
10.（多选）已知，，，则( )
A. B. C. D.
11.________.
12.计算________.
13.已知是锐角，若，则________.
14.设.
(1)求f（x）的单调增区间及对称中心；
(2)当时，，求cos2x的值.
15.已知函数，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：.
故选:C.
2.答案：A
解析：.
故选:A.
3.答案：D
解析：因为，解得.
故选：D.
4.答案：C
解析：由题意可得:
本题选择C选项.
5.答案：B
解析：由，可得，
则，
则，又，所以，
故选：B.
6.答案：A
解析：因为，
所以，
且，
所以，则
故选：A.
7.答案：D
解析：由已知得，，即，则，故选D.
8.答案：C
解析：
因为
所以分子分母同除以，可得：原式=
故选：C.
9.答案：ABC
解析：因为，两边平方整理可得，
且，则.
对于选项A：若，则，所以，故A正确;
对于选项B：若，则，，
可知为方程的根，
又因为的根为，所以，故B正确;
对于选项C：若，则，
可得，
且，，可知，所以，故C正确;
对于选项D：例如，则，故D错误;
故选：ABC.
10.答案：AD
解析：，，则，，
，A选项正确;
，B选项错误;
C选项错误;
由，有，
，D选项正确.
故选：AD
11.答案：/
解析：
故答案为:
12.答案：
解析：
.
故答案为:
13.答案：
解析：由得，，
因为是锐角，所以，所以，
整理得，解得或（舍）.
故答案为：
14.答案：(1)单调递增区间是；对称中心
(2)
解析：（1）由题意得：，
由，可得；
所以的单调递增区间是；
令，，解得：，，此时函数值为-1，
所以对称中心为.
（2）
，
，，
当时，，
，
.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）
.
（2）
.
若，则，即.
，.
又，
.
，
.暑假提前学：平面直角坐标系中的距离公式
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
知识预习
一、点到直线的距离公式
点到直线的距离
二、两条平行直线间的距离
1.两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
2.两条平行直线与间的距离为.
预习小练
1.两平行直线之间的距离为( )
A. B.3 C. D.
2.在平面直角坐标系中，点到直线的距离为( )
A.1 B. C. D.
3.已知，，三点，且，则实数a的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.平行直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.若点到直线的距离等于4，则实数a的值为( )
A. B.2 C.或2 D.以上都不正确
6.（多选）直线上与点的距离等于的点的坐标是( )
A. B. C. D.
7.若直线与直线间的距离为，则_________.
8.已知点，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为__________.
9.已知直线，，若，则与的距离为_______.
10.已知的三个顶点分别为，，，求：
（1）若BC边的中点为D，求直线AD的方程；
（2）求的面积.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意，即为直线，，
所以两平行直线之间的距离为.
故选：C.
2.答案：B
解析：直线，即，则点到直线的距离为.故选B.
3.答案：A
解析：由两点间的距离公式，及可得，解得.
4.答案：C
解析：因为，所以，，解得，所以，故两平行直线间的距离.故选C.
5.答案：C
解析：由题意，得，解得或.
6.答案：BC
解析：设所求点的坐标为，则，解得或，所以所求点的坐标为或.故选BC.
7.答案：
解析：已知直线与直线平行，将直线的方程化为，两直线，间的距离，得或.，.
8.答案：或
解析：设点P的坐标为，由，得，解得或，所以点P的坐标为或.
9.答案：
解析：直线，，
当时，，解得；
当时，与重合，不满足题意；
当时，，此时，；
所以，与的距离为.
故答案为：.
10.答案：（1）
（2）10
解析：（1），，
边的中点D的坐标为，
直线AD的方程为.整理，得.
（2），，
.
又由两点式得直线BC的方程为，即，
点A到直线BC的距离，
的面积为.暑假提前学：两条直线的平行与垂直
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
知识预习
一、两条直线平行
1.两条直线都有斜率且不重合时的平行
已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2 k1=k2且b1≠b2.
2.特殊情况下的两条直线的平行
若两条平行直线中的一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率也不存在,反之,若两条不重合直线的斜率都不存在,则这两条直线平行.
特别提醒：讨论两条直线平行时,要分斜率存在和斜率不存在两种情形,缺少任何一种情形都有可能发生错误.
二、两条直线垂直
如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;反之,如果它们的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.即l1⊥l2 k1·k2=-1.
特别提醒：l1⊥l2 k1·k2=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在.
预习小练
1.已知直线,且,则实数a的值为( )
A.5 B.1 C.5或-1 D.-1
2.已知直线，，则直线与的位置关系是( )
A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直
3.已知直线的倾斜角为30°，直线，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
4.直线与直线垂直，则( )
A.4 B.5 C.6 D.
5.若直线与直线平行，则实数m的值为( )
A. B.1 C.1或 D.-1
6.（多选）直线，的斜率，是关于k的方程的两个根，则下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若则 D.若，则
7.与直线平行且过点的直线方程是___________.
8.过两直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为______.
9.已知直线，，若，则实数__________.
10.在平面直角坐标系中，已知，线段AC的中点M；
（1）求过M点和直线BC平行的直线方程；
（2）求BC边的高线所在直线方程.
答案以及解析
1.答案：D
解析：直线,,由解得或,
当时,直线与重合,不符合题意,
当时,直线与平行,
所以实数a的值为-1.
故选：D.
2.答案：B
解析：由直线，的方程，得它们的斜率都等于，而截距不相等，所以.故选B.
3.答案：D
解析：因为直线的倾斜角为30°，所以斜率为.又，所以直线的斜率为.
4.答案：D
解析：由已知，直线与直线垂直，
所以，解得.
故选：D.
5.答案：A
解析：因为直线与直线平行，
所以，解得或，
当时直线为，显然不成立，故舍去；
当时直线为，符合题意；
故选：A.
6.答案：AD
解析：直线，的斜率，是关于k的方程的两根，，
若，则，得；
若，则，，得，
故选：AD.
7.答案：
解析：方法一：因为直线的斜率，所以直线l的斜率也为.又因为直线过点，所以直线l的方程为，即.
方法二：将直线方程变为斜截式，设直线l的方程为.因为直线过点，所以，解得，所以直线l的方程为，即.
方法三：与直线平行的直线方程可设为.因为直线l过点，所以，解得.故所求的直线方程为.
8.答案：
解析：根据题意可得，解得，则两直线交点坐标为，
又所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率为，
则所求直线方程为，整理得，
故答案为：.
9.答案：0或1
解析：，
，
即，解得或1.
故答案为：0或1.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）解：因为，，，
所以，，
所以过M点和直线BC平行的直线方程为，
即；
（2）因为，
所以BC边的高线的斜率为-3，
所以BC边的高线所在直线方程，
即.暑假提前学：直线的倾斜角、斜率及其关系
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
知识预习
一、直线的倾斜角与斜率
1.当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
2.直线的倾斜角的取值范围为.
3.一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.倾斜角是90°的直线没有斜率.
4.如果直线经过两点，那么斜率公式为.
5.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
预习小练
1.已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知点，在直线l上，则直线l的倾斜角的大小为( )
A. B. C. D.
3.在下图中，用能表示直线l的倾斜角的是( )
A. B. C. D.
4.下列关于倾斜角的说法中正确的是( )
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为
C.若直线的倾斜角为0，则该直线与x轴重合
D.若直线的倾斜角为，则
5.已知直线l经过点，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知两点，，若直线MN的斜率为，则________.
8.若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是_______.
9.已知点，，，若经过点P的直线l与线段AB（含端点）总有交点，则l的倾斜角的取值范围是_______.
10.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求出斜率.
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由斜率公式得，直线l的斜率为.故选B.
2.答案：D
解析：设直线l的倾斜角为.直线l的斜率，则.由，得.故选D.
3.答案：D
解析：借助图形，严格按照倾斜角的定义进行判断.故选D.
4.答案：A
解析：直线的倾斜角的取值范围为，所以，故B，D错误；若直线的倾斜角为0，则该直线与x轴重合或平行，故C错误.
5.答案：D
解析：如图，可知当直线位于阴影部分所示的区域内时，满足题意，又当直线倾斜角为0时，，当直线经过原点时，，所以直线l的斜率满足.故选D.
6.答案：AD
解析：由图象可得，，，则，故选AD.
7.答案：
解析：因为两点，，且直线MN的斜率为，所以，且，解得.
8.答案：
解析：设直线l的倾斜角为，由题意，则，因为，所以解得，
故答案为：.
9.答案：
解析：如上图所示：，，设直线l的倾斜角为，
要想点P的直线l与线段AB（含端点）总有交点，
只需，
故答案为：.
10.答案：（1）存在，
（2）存在，
（3）存在，
（4）斜率k不存在
解析：（1）存在，.
（2）存在，.
（3）存在，.
（4）该直线的倾斜角，斜率k不存在.三角函数（A卷）
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
1.下列与角终边相同的角为( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A.锐角是第一象限的角 B.终边相同的角必相等
C.小于90°的角一定为锐角 D.第二象限的角必大于第一象限的角
3.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
4.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点在第四象限，则角的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.若函数的图象在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知函数在区间上的最小值为-3，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.下列区间中，函数单调递增的区间是( )
A. B. C. D.
8.函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.（多选）函数图象的一条对称轴为直线，则可能的取值为( )
A. B. C. D.
10.（多选）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.函数的图象关于直线对称
D.函数在上单调递减
11.若，则______________.
12.结合函数的图象，求：
（1）方程，的解集为__________；
（2）不等式，的解集为__________.
13.函数在上的值域为__________.
14.已知.
（1）求；
（2）若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，求的值.
15.已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）试给出m的一个值，使在上有两个零点，并说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：与角终边相同的角为，当时，可得，故选：B.
2.答案：A
解析：对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确；
对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确；
对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确；
对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角，此时，所以D不正确.
故选：A.
3.答案：A
解析：函数的最小正周期.
故选：A.
4.答案：B
解析：由点在第四象限，可知，，则角的终边在第二象限.
5.答案：C
解析：由题意知是正整数，由，得，
若函数的图象在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，所以，解得，又，则.故选C.
6.答案：D
解析：因为，函数在区间上的最小值为-3，所以时，，则，，即，，解得；时，，则，，即，，解得，所以的取值范围是.故选D.
7.答案：A
解析：令，，解得，，令，得.因为，所以选A.
8.答案：C
解析：函数的图象向左平移个单位长度得的图象，即的图象，
画出函数与的图象如图，可得它们有3个交点，故选C.
9.答案：BD
解析：因为函数图象的一条对称轴为直线，所以，，解得，.所以当时，；当时，；当时，，故选BD.
10.答案：ABD
解析：由题图知，，，所以，又函数的图象过点，所以，所以，，又，所以，所以，故A，B正确.由，，得函数的对称轴为直线，，故C错误.由，，得，，所以函数在区间上单调递减，故D正确.
11.答案：
解析：因为.
故答案为：.
12.答案：（1）
（2）
解析：画出函数在区间上的大致图象，如图所示.
（1）由图象可知，方程的解集为.
（2）由图象可知，不等式的解集为.
13.答案：
解析：设，，则，，当时，y取得最小值，所以所求函数的值域是.
14.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为
，
所以，
所以.
（2）由正切函数的定义知，
又因为，所以，，所以.
15.答案：（1）令，，则，.
函数的单调递增区间是，.
（2）当时，在上有两个零点（答案不唯一，m在内取值即可）.理由如下：
在上有两个零点也就是函数的图象与直线在上有两个交点，易得在上单调递增，在上单调避减，
，，，
结合图象（图略），可知当时，函数的图象与直线在上有两个交点，
即当时，在上有两个零点.
故当时，在上有两个零点.平面向量及其应用（A卷）
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
1.向量化简后为( )
A. B. C. D.
2.如图，在矩形中，，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则( )
A. B. C. D.
3.下列说法中，正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则与不是共线向量
4.已知，为平面内两个不共线向量，，，，则下列三点一定共线的是( )
A.A，B，C B.A，B，D C.A，C，D D.B，C，D
5.在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量和满足，，，则( )
A. B.2 C.1 D.
7.已知向量，满足，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
9.（多选）在中，，，，则角C的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.（多选）已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有( )
A. B.
C. D.
11.设向量，不平行，向量与平行，则实数_______.
12.在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，则角________.
13.平面四边形中，，，，，则的最小值为_________.
14.已知向量，.
(1)若与垂直，求实数k的值；
(2)已知O，A，B，C为平面内四点，且，，.若A，B，C三点共线，求实数m的值.
15.记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求C的大小；
(2)若，的面积为，求a.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，
故选：B.
2.答案：C
解析：根据题意:
又
所以
故选:C
3.答案：C
解析：对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误.
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误.
对于C，若，则，必定共线，故，故C成立.
对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与可以为共线向量，故D错误.
故选：C.
4.答案：A
解析：对于A：因为，，，
则，
因为，所以，则A，B，C三点共线，故A正确；
对于B：因为，，
又，为平面内两个不共线向量，
所以不存在实数t，使得，
所以与不共线，故A，B，D三点不共线，故B错误；
对于C：因为，，，
所以，
又，为平面内两个不共线向量，
所以不存在实数s，使得，
所以与不共线，故A，C，D三点不共线，故C错误；
对于D：因为，，
又，为平面内两个不共线向量，
所以不存在实数m，使得，
所以与不共线，故B，C，D三点不共线，故D错误；
故选：A
5.答案：C
解析：，所以，，则.故选C.
6.答案：A
解析：由，，，
得，，
.
则.
故选：A.
7.答案：A
解析：由，，，
得，则，
所以在上的投影向量为
.
故选：A.
8.答案：D
解析：因为，
所以，
所以，
又为锐角三角形，所以，
所以，所以，
又，所以为等边三角形，
所以的面积为.
故选：D.
9.答案：BC
解析：由正弦定理得：，
，
又，，
，或.
故选：BC.
10.答案：ACD
解析：对于A，令，，即，，
所以无解，
故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确;
对于B，因为，即向量与共线，故不能作为平面向量的一个基底;B错误;
对于C，令，，即，，
所以无解，
故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确;
对于D，令，，即，，
所以无解，
故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确
故选：ACD.
11.答案：
解析：因为向量与平行，
所以，
则所以.
12.答案：
解析：由余弦定理得，
所以，所以，
因为，所以.
故答案为：.
13.答案：-2
解析：
因，，，
故，
故，得，
又，故点D在以为直径的圆的劣弧上，
由圆的性质可知，当时，在方向上的投影最小，此时最小，
过D作交于F，易得，
故在方向上的投影最小为-1，
故此时.
故答案为：-2
14.答案：(1)
(2)2
解析：(1)，
则，
因为与垂直，
所以，
解得.
(2)，
，
，
，
因为A，B，C三点共线，
所以.
所以，
解得.
15.答案：(1)或.
(2)
解析：（1）因为，
由余弦定理可得，
因为，可得，又因为，可得，
因为，所以或，所以或.
（2）由及（1）可得，.
因为，
由正弦定理得，得，，
所以.
又因为已知的面积为，可得，解得.暑假提前学：两条直线的交点坐标
——高一数学北师大版（2019）暑假作业
知识预习
一、两条直线的交点坐标
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线上，也在直线上.点P的坐标是方程组的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
1.直线与直线的交点坐标为( )
A. B. C. D.
2.直线与直线的交点坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知直线的方程为，直线的方程为，若直线，的交点在x轴上，则C的值为( )
A.2 B. C. D.与A有关
4.直线与直线的交点坐标为( )
A. B. C. D.
5.若直线与直线的交点在第一象限，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.（多选）下列直线与直线相交的是( )
A. B. C. D.
7.已知直线，直线，则直线与的交点坐标为________.
8.若直线经过直线和的交点，则___________.
9.已知直线，直线，若直线l与m的交点在第一象限，则实数k的取值范围为___________.
10.已知一条直线过点与直线和直线分别相交于点和点，且为线段的中点，求这条直线的方程.
答案以及解析
1.答案：A
解析：联立两直线方程，解得，
故两直线的交点坐标为，
故选：A.
2.答案：A
解析：由解得，则直线与直线的交点坐标为.
故选：A.
3.答案：A
解析：在直线方程中，令，得，
即直线与x轴的交点为，
点在直线上，，
故选：A.
4.答案：C
解析：联立得：，解得：，交点坐标为.
故选：C.
5.答案：B
解析：由得，
因为两直线的交点在第一象限，所以，
解得：.
故选：B.
6.答案：BD
解析：因为，所以A选项中的直线与已知直线平行，易得C选项中的直线与已知直线重合，B，D选项中的直线与已知直线相交.故选BD.
7.答案：
解析：联立直线与的方程，解方程得，即交点坐标为.
故答案为：.
8.答案：
解析：由题意，直线，，交于一点，
所以，得，
所以直线过点，
得，求解得.
故答案为：.
9.答案：
解析：由题意得两直线不平行，即，得，
由得，
由于直线l与m的交点在第一象限，
所以，解得，则实数k的取值范围为，
故答案为：.
10.答案：
设点的坐标为因为点是线段的中点，所以点的坐标为
因为点在直线上，所以解得，于是点的坐标为所以所求直线的方程为即

展开更多......

收起↑