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八年级数学试题 2025.6
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在下列方程中，分式方程是（ ）
A． B． C． D．
3．把多项式分解因式为，则m的值是（ ）
A．2 B． C．12 D．
4．如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
5．DeepSeek掀起了“人工智能+”的热测，某单位利用DeepSeek公司研发的两个模型M1和M2共同处理一批数据．已知M1单独处理数据的时间比M2少3小时，若两模型合作处理，仅需2小时即可完成．设M1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果，，，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形ABCD周长是24cm；③；④，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
9．若，，则的值为________．
10．因式分解：________．
11．计算的结果是________．
12．当________时，分式的值为零．
13．若关于x的方程无解，则m的值为________．
14．若，则________．
15．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是________．
16．已知直角坐标系内有四个点，，，，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则________．
三、解答题（共6小题，共52分）
17．解分式方程（每题4分，共8分）
（1）； （2）．
18．（6分）先化简，再从，0，1中选一个合适的x的值代入求值．
19．（8分）如图，在中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
20．（10分）如图，在中，AF平分交BC于点F，CE平分交AD于点E．
（1）若，，求CF的长；
（2）连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
21．（10分）某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半．
（1）求A、B两种学习用品每件各需多少元？
（2）经商谈，商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，如果该校需要B奖品的个数是A奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A奖品？
22．（10分）阅读下列材料：
因为，所以．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为0．
回答下列问题：
（1）根据上面的材料，猜想：多项式的值为0，多项式的因式、多项式能被整除，这三者之间存在着一种什么样的联系？
（2）探求规律：一般地，如果关于字母x的多项式M，当时，M的值为0，那么M与代数式之间有何种关系？
（3）应用：
①已知能整除，求k的值；
②已知能整除二次三项式M，M的二次项系数为1，并且当时，多项式M的值等于0，求二次三项式M．
数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，每题3分，共24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B A D A D
二．填空题（共8小题，每题3分，共24分）
9．12． 10．﹣3n（m﹣1）2． 11．．
12．﹣3 13.﹣1或． 14．． 15．m＜2且m≠0． 16．4或﹣2．
三．解答题（共6小题，共52分）
17．（每题4分，共8分）
解：（1），
方程两边同时乘（x﹣2）2，得
x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原分式方程的解。
（2），
方程两边同时乘（x﹣1）（x+2），得
x（x+2）﹣3＝（x﹣1）（x+2），
解得x＝1，
∴经检验，x＝1是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
18（6分）．解：原式
，
∵x+1≠0，x﹣1≠0，
∴x≠±1，
取x＝0，则．
19．（8分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
20.（10分）
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠BCD，∠ABF＝∠CDE，AB＝CD，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AFB＝∠BAF，
∴BF＝AB＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝12﹣8＝4；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠BAD＝∠BCD
∵∠BAD＝∠BCD，AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠FCE＝∠DCE，
∵∠DAF＝∠AFB，
∴∠FCE＝∠AFB，
∴AF∥CE，
∵AD∥BC
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE＝CF，
∴DE＝BF，
∵AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，
∵AF∥CE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF和GH互相平分．
21．（10分）解：（1）设A种学习用品每件x元钱，则B种学习用品每件（x﹣20）元钱，
由题意得：，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
则x﹣20＝5，
答：A种学习用品每件25元钱，则B种学习用品每件5元钱；
（2）设该校可购买y个A奖品，则可购买（2y+8﹣y）个B奖品，
由题意得：25y+5（2y+8﹣y）≤670，
解得：y≤21，
答：该校最多可购买21个A奖品．
22.（10分）
解：（1）由多项式有因式x﹣2，说明此多项式能被x﹣2整除；若x﹣2＝0，则此多项式的值为0．
（2）由（1）可知，满足三个条件中的一个，那么它必定具备另外两个条件，即当x＝k时，多项式M的值为0，M能被（x﹣k）整除．
（3）①因为x﹣3能整除x2+kx﹣15，
所以当x﹣3＝0时，x2+kx﹣15＝0，
即当x＝3时，x2+kx﹣15＝9+3k﹣15＝0，
解得k＝2．
②因为x+4能整除二次三项式M，说明多项式M有一个因式为x+4．
又因为当x＝3时，多项式M的值等于0，说明多项式M有一个因式为（x﹣3），
所以M＝（x+4）（x﹣3）＝x2+x﹣12．

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