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2025年高三第三次模拟考试
数学科试卷
本试卷共19小题，满分150分.考试用时120分钟.
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上.
2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.
3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上.
4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管.
第一部分（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则的元素个数为（ ）
A. B. 3 C. 2 D. 1
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3 已知向量若则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
4. 将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
6. 函数的部分图象大致为（ ）．
A. B.
C D.
7. 已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知四面体每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
B. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
C. 若用分层抽样的方法在该地农户家庭年收入在，，三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在的家庭应抽24个
D. 从抽样12组中的每组中抽出一个数据，得到共12个家庭的具体收入数据，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数
10. 设是数列的前n项和，且，，则（ ）
A.
B. 数列是公差为的等差数列
C. 数列的前5项和最大
D.
11. 已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 的图象关于点成中心对称
C
D.
第二部分（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 曲线在点处的切线方程是____________.
13. 如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为______.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若的面积为，为的中点，求长度的最小值．
16. 2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响．
（1）若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；
（2）记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望．
17. 如图，直三棱柱中，，，，M是的中点，N是BC的中点，过点N作与平面平行的直线PN，交于点P．
（1）证明：平面AMN；
（2）求与平面PMN所成角的正弦值；
（3）求点P到平面AMN的距离．
18. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
19. 已知椭圆的离心率.
（1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程.
（2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.
①求；
②记，求数列的前项和.
2025年高三第三次模拟考试
数学科试卷
本试卷共19小题，满分150分.考试用时120分钟.
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上.
2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.
3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上.
4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管.
第一部分（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ABD
第二部分（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）；
（2）．
【16题答案】
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【18题答案】
【答案】（1）在上单调递减，在单调递增；
（2）（i）；（ii）证明见解析.
【19题答案】
【答案】（1）
（2）①；②

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