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【培优练】人教版数学八年级下学期 19.2.2 一次函数
一、选择题
1．（2023八下·阿荣旗期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·嵊州期末）我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线：与：互相垂直，则．若直线l：与互相垂直，且经过，则n的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025八上·嵊州期末）一次二次函数的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·余姚开学考）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2024八上·南山期中）当x从0开始逐渐增大时，对同一个x值，下列函数中函数值先到达100的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·诸暨期中）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（　　）
A． B．4 C．5 D．
7．（2021八下·沧州期末）已知直线y＝﹣3x+m过点A（﹣1，y1）和点（﹣3，y2），则y1和y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
8．（2021八下·江北期末）已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点 ，则在此正比例函数图象上的点是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八上·平湖期末）我们知道是函数的一种表达方式，形如为常数）的一次函数，我们可把它记为．如：，当时，．已知函数满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．的图象经过原点 D．的图像关于轴对称
10．（2024八上·四川期中）一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，下列说法错误的是（　　）
A．，图象经过第二、三、四象限
B．
C．图象不经过第二象限，当时，
D．为函数图象上两点，若，则
二、填空题
11．（2023八下·谢家集期末）将直线平移，使其经过点，则平移后所得直线的解析式为　 　．
12．点P是直线y=-x+4上一动点，O为原点，则线段OP的最小值为　 　.
13．（2024八下·鹤山期末）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是　 　．
14．（2020八下·佳木斯期末）已知一次函数y=(1－m)x＋m－2，当m　 　时，y随x的增大而增大．
15．（2023八下·恩施期末）已知点，在一次函数的图象上，则m，n的大小关系是m　 　n．（填“>”，“<”或“=”）
16．（2024八下·雷州期末）一次函数的图象经过点，且与轴交于负半轴，则一次函数的解析式可以是　 　（写出一个即可）．
17．（2024八下·蓬江期末）已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为　 　．
18．（2023八下·海口期中）一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，点C的坐标为　 　，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是　 　．
三、解答题
19．（2024八下·赤坎期中）已知y与x成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点在这个函数图象上，求a的值．
20．（2024八下·海珠期末）函数的图象为直线，函数图象为直线，两直线相交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出直线和直线的图象；
（3）求直线、与y轴围成的三角形面积．
21．（2024八上·龙岗期中）通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）列表：
x … 0 1 …
y … 3 2 1 0 1 2 k …
直接填空：　 　．
（2）描点并画出该函数的图象．
（3）观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：
①　 　；
②　 　．
（4）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为　 　．
22．（2024八下·从化期末）点为平面直角坐标系的原点，点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为．
（1）当点的横坐标是4时，求的面积；
（2）用含的式子表示，并写出的取值范围；
（3）求周长的最小值．
23．（2024八下·宝安期末）在学习《图形的平移》后，某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动．
素材 两点确定一条直线
素材 图形平移的本质就是点的平移
素材 平移不改变直线的倾斜程度
任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点为，若该函数图象向左平移个单位长度，此时点的对应点的坐标为______，点的对应点为的坐标为______，并求出平移后的函数表达式；
任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点 ，将该函数向右平移个单位长度，线段扫过的图形面积为，请求出平移后的函数表达式．
24．（2024八下·东城期中） 阅读：将一个量，用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第十七章勾股定理时，我们就是利用“算两次”原理，用不同的方式表示同一图形的面积，探究出了勾股定理．
（1）【问题探究】
小明尝试用“算两次”原理解决下面的问题：
如图1，在中，，求斜边边上的高的值．
小明用两种方法表示出的面积：
①；
②．
图1
由勾股定理，得斜边的长度为5，由此可以算出　 　．
（2）【学以致用】
如图2，在矩形中，，点是边上任意一点，过点作，垂足分别为．则可以运用“算两次”原理，用不同的方式表示的面积，求出的值为　 　．
图2
（3）【拓展延伸】
如图3，已知直线与直线相交于点，且这两条直线分别与轴交于点．在线段上有一点，且点到直线的距离为4，请利用以上所学的知识求出点的坐标．
图3
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，
∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故答案为：A
【分析】根据正比例函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵直线l：与互相垂直，
∴，
解得，
∴直线l：，
把代入得到，，解得，
故答案为：B.
【分析】根据题意得到，求出m值，再把代入求出n的值即可．
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：由图象可知直线经过，两点，
∴根据题意得：，
解得：，
则这个函数的表达式是：，
故答案为：C．
【分析】根据图象得到点的坐标，然后利用待定系数法求解析式即可．
4．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A 若 ，则y1y3的大小无法确定，故A不符合题意；
B 若，则的大小无法确定，故B不符合题意；
C 若，则 ，故C符合题意；
D 若，则的大小无法确定，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的性质可得y随x的增大而减小，由图象可知，当x＜0时，y＞0；当0＜x＜2时，y＞0；当x＞2时，y＜0；只有当，且， 可得 ，可得.
5．【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：当时，，解得，，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
由上可知，当x从0开始逐渐增大时，对同一个x值，下列函数中函数值先到达100的是，
故答案为：B.
【分析】将y=100分别代入各选解析式求出x的值，再比较大小即可.
6．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设直线EF的解析式为y=kx+b，
∵E(0，5)，F(-5，0)，
∴，解得
∴直线EF的解析式为y=x+5，
设C(x，x+5)，
∵四边形ACBD是平行四边形，A(0，8)，B(0，-2)，
∴D(-x，1-x)，
∴CD2=(2x)2+(1-x-x-5)2=8(x+1)2+8，
∴CD2的最小值是8，
∴CD的最小值是，
故答案为：A.
【分析】利用待定系数法求出直线BP的解析式为y=x+5，设C(x，x+5)，根据平行四边形的性质得D(-x，1-x)由勾股定理可得CD2=(2x)2+(1-x-x-5)2=8(x+1)2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值.
7．【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数y=-3x+m中，k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵函数y=-3x+m的图象经过点A（-l，y1）和点B（-3，y2），
-3＜-1，
∴y1＜y2，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的解析式可以知道：y随x的增大而减小，利用此性质求解即可。
8．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）.
∵正比例函数图象经过点（4，-6），
∴-6=4k，
∴ .
∵当x=-4时，y= x=6，
∴点（-4，6）在此正比例函数图象上.
故答案为：D.
【分析】利用待定系数法可求出正比例函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点（-4，6）在此正比例函数图象上，此题得解.
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数满足，
∴，
∴，
∴，
当时，，选项A、B错误，不符合题意；
∵，
∴的图象经过原点，图象关于原点对称，故C正确，符合题意；D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意得出，解得，即可得到，然后逐项判断即可.
10．【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴图象经过二、三、四象限，故A正确，不符合题意；
对于，令，则，
解得：，
∴．
令，则，
∴，
∴，故B错误，符合题意；
∵，
∴结合B选项可知：，
解得：．
∵图象不经过第二象限，
∴，故C正确，不符合题意；
∵若，
∴y随x的增大而增大，
∴，故D正确，不符合题意．
故选B．
【分析】
结合一次函数解析式可知，时，图象经过二、三、四象限，可判断A；分别求出A和B点坐标，再结合三角形面积公式求解，即可判断B，注意m的符号未确定；由，再结合图象不经过第二象限，即可判断C；根据y随x的增大而增大，即直接得出，判断D．
11．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵把y=3x-1平移
∴y=3x+b
把（-1，2）代入上式
解得b=5
∴y=3x+5
故答案为：y=3x+5.
【分析】由于平移不改变k值，则y=3x+b，把（-1，2）代入求解即可。
12．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，设直线y=-x+4与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，过点O作直线AB的垂线，垂足为点P，此时线段OP最小
令x=0，则y=4，令y=0，则x=4
∴A（0，4），B（4，0）
∴OA=OB=4
∴
∴
故答案为：
【分析】设直线y=-x+4与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，过点O作直线AB的垂线，垂足为点P，此时线段OP最小，根据坐标轴上点的坐标特征令x=0，则y=4，令y=0，则x=4，则A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，再根据勾股定理可得AB，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：挂上的物体后，弹簧伸长，
挂上的物体后，弹簧伸长，
弹簧总长．
故答案为：．
【分析】弹簧总长由原长和伸长部分组成，伸长部分与所挂重的质量成正比，由“ 挂上1kg的质量后弹簧伸长2cm ”可得挂上xkg的物体后，弹簧伸长2xcm，从而即可写出总长的表达式.
14．【答案】<1
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当1 m>0时，y随x的增大而增大，
所以m<1.
故答案为<1.
【分析】 一次函数y=kx+b(k≠0），当k＞0时，y随x增大而增大，当k＜0时，y随x增大而减小，据此解答即可.
15．【答案】<
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=(-k2-1)x+b，
∴y随x的增大而减小.
∵2>-3，
∴m故答案为：<.
【分析】根据一次函数的性质可得：y随x的增大而减小，据此进行比较.
16．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过点，
，
∵一次函数的图象与x轴交于负半轴，
，
取，则，
解得，
所以一次函数的解析式可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】利用一次函数的图象和性质及待定系数法求出函数解析式即可.
17．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上，
∴，即，
∴，
∵是直角的三边，为斜边，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，（负值舍去），
故答案为： ．
【分析】根据一次函数的性质将点D（1，2）代入解析可得，根据勾股定理可得，，根据完全平方公式的变形运算即可求解．
18．【答案】（1，0）；（0，1）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；线段的中点
【解析】【解答】解：∵A（2，0）、B（0，4），点C为OA的中点，点D为AB的中点，
∴C（1，0），D（1，2）.
作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交AB于点P，此时△DPC的周长最小.
∵C（1，0），
∴C′（-1，0）.
设直线C′D的解析式为y=ax+b，则
解得，
∴y=x+1，
令x=0，得y=1，
∴P（0，1）.
故答案为：（1，0），（0，1）.
【分析】根据中点的概念结合点A、B的坐标可得C（1，0），D（1，2）.作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交AB于点P，此时△DPC的周长最小，易得C′（-1，0），利用待定系数法求出直线C′D的解析式，令x=0，求出y的值，据此可得点P的坐标.
19．【答案】（1）解：设（）
，当，时，则，
即，
∴y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：∵点在这个函数的图象上，
∴，
解得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的图象
【解析】【分析】（1）根据正比例函数定义可设，再把，代入可得的值，进而得到函数解析式；
（2）根据函数图象上点的坐标特点，将点代入正比例函数的解析式求得的值即可 ．
20．【答案】（1）解：将C代入得，，
解得，，
将C代入得，，
解得，，
∴，；
（2）解：由（1）可知，，
∴的图象与坐标轴的两个交点为；的图象与坐标轴的两个交点为；作函数图象如下；
（3）解：由题意知，，
∴直线、与y轴围成的三角形面积为4．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C分别代入，即可求出答案.
（2）由（1）可知，，则的图象与坐标轴的两个交点为；的图象与坐标轴的两个交点为；然后作函数图象即可；
（3）根据三角形面积即可求出答案.
21．【答案】（1）3
（2）解：描点、连线画出该函数图象如图：
（3）函数有最小值为0；当时，y随着x的增大而增大，时，y随着x的增大而减小
（4）4
【知识点】分段函数；一次函数的图象
【解析】【解答】 解：（1）当x=1时，y=|x+2|=3
∴k=3
故答案为：3
【分析】（1）将x=3代入函数解析式即可求出答案.
（2）根据描点，连线即可作出函数图象.
（3）结合函数图象，一次函数性质即可求出答案.
（4）根据函数图象即可求出答案.
22．【答案】（1）解：x+y=6，当X=4时y=6，故P(4，2)，如图1，
∴的面积为4；
（2）解：由题意知，，∵点在第一象限，
∴，
解得，，
即，；
（3）解：作的图象，分别交轴于点，如图2，作关于的对称点于，连接交于点，连接，. OA是定值4，当、P、A三点共线OP+AP=O，三角形周长最小。
当时，，即；
当时，，即；
∵，
∴，
由轴对称的性质可知，垂直平分，
∴ ，
∴，
∴，
∵周长为
当三点共线时 OP+PA=
∴周长最小为
∴周长的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的应用；轴对称的性质；列一次函数关系式；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．（1）先求出P(4，2)，如图1， 根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，根据点在第一象限，求出x的取值范围，再根据三角形面积公式求出含有x的式子表示出S；
（3）作的图象，分别交轴于点，并求出C、D的坐标，如图2，作关于的对称点于，连接交于点，连接，，由于OC=OD，可知∠CDO=45°，由轴对称的性质和三角形内角和性质可求得， ，，可求得，用勾股定理求出，由周长为，可知当三点共线时，周长最小为，计算求解即可．
23．【答案】解：任务：，；
平移后的函数表达式为，
任务：当时，，
∴，则，
∵线段扫过的图形面积为，
∴，
∴，
∵平移不改变直线的倾斜程度，
∴设平移后的函数表达式为，
将代入得，解得，
∴设平移后的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：任务：由得，
当时，；当时，，
∴，，
∵该函数图象向左平移个单位长度，
∴，，
故答案为：，
【分析】任务：由得，，再由函数图象向左平移个单位长度得，，；
任务：当时，，则，由线段扫过的图形面积为，可得，最后由一次函数的平移即可求解；
24．【答案】（1）
（2）
（3）解：过作于，过作于，连接，如图：
在中，令得，
，
在中令得，
，
联立：，
解得：，
，
，，
，点到直线的距离为4，
，
解得，即的纵坐标为，
在中，令得，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）由勾股定理得：AB=，
∴，
∴CD=.
故答案为：；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD，且AC与BD互相平分，
∴BD=，
∴OA=OB=5，
连接OP，过点O作OH⊥AB于点H，
∴OH平行BC，
∴点H是AB的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH=，
∵，
∴S△OAB=S△OAP+S△OBP=，
S△OAB=，
∴，
∴PE+PF=；
故答案为：；
【分析】（1）根据三角形ABC面积的两种不同求法得出等式，即可求得CD的长度；
（2）根据三角形AOB的两种不同的求法，得出，即可求得PE+PF=；
（3）首先可求得点A和点C的坐标，得出AC=16，再根据直线的交点坐标可得出点D（4，6），然后用两种方法计算△ACD的面积，从而得出， 解得：， 代入函数解析式中， 令y=，即可得出， 即点P的坐标为：．
1 / 1【培优练】人教版数学八年级下学期 19.2.2 一次函数
一、选择题
1．（2023八下·阿荣旗期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，
∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故答案为：A
【分析】根据正比例函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
2．（2025八上·嵊州期末）我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线：与：互相垂直，则．若直线l：与互相垂直，且经过，则n的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵直线l：与互相垂直，
∴，
解得，
∴直线l：，
把代入得到，，解得，
故答案为：B.
【分析】根据题意得到，求出m值，再把代入求出n的值即可．
3．（2025八上·嵊州期末）一次二次函数的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：由图象可知直线经过，两点，
∴根据题意得：，
解得：，
则这个函数的表达式是：，
故答案为：C．
【分析】根据图象得到点的坐标，然后利用待定系数法求解析式即可．
4．（2025八下·余姚开学考）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A 若 ，则y1y3的大小无法确定，故A不符合题意；
B 若，则的大小无法确定，故B不符合题意；
C 若，则 ，故C符合题意；
D 若，则的大小无法确定，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的性质可得y随x的增大而减小，由图象可知，当x＜0时，y＞0；当0＜x＜2时，y＞0；当x＞2时，y＜0；只有当，且， 可得 ，可得.
5．（2024八上·南山期中）当x从0开始逐渐增大时，对同一个x值，下列函数中函数值先到达100的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：当时，，解得，，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
由上可知，当x从0开始逐渐增大时，对同一个x值，下列函数中函数值先到达100的是，
故答案为：B.
【分析】将y=100分别代入各选解析式求出x的值，再比较大小即可.
6．（2025八下·诸暨期中）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（　　）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设直线EF的解析式为y=kx+b，
∵E(0，5)，F(-5，0)，
∴，解得
∴直线EF的解析式为y=x+5，
设C(x，x+5)，
∵四边形ACBD是平行四边形，A(0，8)，B(0，-2)，
∴D(-x，1-x)，
∴CD2=(2x)2+(1-x-x-5)2=8(x+1)2+8，
∴CD2的最小值是8，
∴CD的最小值是，
故答案为：A.
【分析】利用待定系数法求出直线BP的解析式为y=x+5，设C(x，x+5)，根据平行四边形的性质得D(-x，1-x)由勾股定理可得CD2=(2x)2+(1-x-x-5)2=8(x+1)2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值.
7．（2021八下·沧州期末）已知直线y＝﹣3x+m过点A（﹣1，y1）和点（﹣3，y2），则y1和y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数y=-3x+m中，k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵函数y=-3x+m的图象经过点A（-l，y1）和点B（-3，y2），
-3＜-1，
∴y1＜y2，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的解析式可以知道：y随x的增大而减小，利用此性质求解即可。
8．（2021八下·江北期末）已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点 ，则在此正比例函数图象上的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）.
∵正比例函数图象经过点（4，-6），
∴-6=4k，
∴ .
∵当x=-4时，y= x=6，
∴点（-4，6）在此正比例函数图象上.
故答案为：D.
【分析】利用待定系数法可求出正比例函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点（-4，6）在此正比例函数图象上，此题得解.
9．（2024八上·平湖期末）我们知道是函数的一种表达方式，形如为常数）的一次函数，我们可把它记为．如：，当时，．已知函数满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．的图象经过原点 D．的图像关于轴对称
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数满足，
∴，
∴，
∴，
当时，，选项A、B错误，不符合题意；
∵，
∴的图象经过原点，图象关于原点对称，故C正确，符合题意；D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意得出，解得，即可得到，然后逐项判断即可.
10．（2024八上·四川期中）一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，下列说法错误的是（　　）
A．，图象经过第二、三、四象限
B．
C．图象不经过第二象限，当时，
D．为函数图象上两点，若，则
【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴图象经过二、三、四象限，故A正确，不符合题意；
对于，令，则，
解得：，
∴．
令，则，
∴，
∴，故B错误，符合题意；
∵，
∴结合B选项可知：，
解得：．
∵图象不经过第二象限，
∴，故C正确，不符合题意；
∵若，
∴y随x的增大而增大，
∴，故D正确，不符合题意．
故选B．
【分析】
结合一次函数解析式可知，时，图象经过二、三、四象限，可判断A；分别求出A和B点坐标，再结合三角形面积公式求解，即可判断B，注意m的符号未确定；由，再结合图象不经过第二象限，即可判断C；根据y随x的增大而增大，即直接得出，判断D．
二、填空题
11．（2023八下·谢家集期末）将直线平移，使其经过点，则平移后所得直线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵把y=3x-1平移
∴y=3x+b
把（-1，2）代入上式
解得b=5
∴y=3x+5
故答案为：y=3x+5.
【分析】由于平移不改变k值，则y=3x+b，把（-1，2）代入求解即可。
12．点P是直线y=-x+4上一动点，O为原点，则线段OP的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，设直线y=-x+4与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，过点O作直线AB的垂线，垂足为点P，此时线段OP最小
令x=0，则y=4，令y=0，则x=4
∴A（0，4），B（4，0）
∴OA=OB=4
∴
∴
故答案为：
【分析】设直线y=-x+4与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，过点O作直线AB的垂线，垂足为点P，此时线段OP最小，根据坐标轴上点的坐标特征令x=0，则y=4，令y=0，则x=4，则A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，再根据勾股定理可得AB，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
13．（2024八下·鹤山期末）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是　 　．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：挂上的物体后，弹簧伸长，
挂上的物体后，弹簧伸长，
弹簧总长．
故答案为：．
【分析】弹簧总长由原长和伸长部分组成，伸长部分与所挂重的质量成正比，由“ 挂上1kg的质量后弹簧伸长2cm ”可得挂上xkg的物体后，弹簧伸长2xcm，从而即可写出总长的表达式.
14．（2020八下·佳木斯期末）已知一次函数y=(1－m)x＋m－2，当m　 　时，y随x的增大而增大．
【答案】<1
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当1 m>0时，y随x的增大而增大，
所以m<1.
故答案为<1.
【分析】 一次函数y=kx+b(k≠0），当k＞0时，y随x增大而增大，当k＜0时，y随x增大而减小，据此解答即可.
15．（2023八下·恩施期末）已知点，在一次函数的图象上，则m，n的大小关系是m　 　n．（填“>”，“<”或“=”）
【答案】<
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=(-k2-1)x+b，
∴y随x的增大而减小.
∵2>-3，
∴m故答案为：<.
【分析】根据一次函数的性质可得：y随x的增大而减小，据此进行比较.
16．（2024八下·雷州期末）一次函数的图象经过点，且与轴交于负半轴，则一次函数的解析式可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过点，
，
∵一次函数的图象与x轴交于负半轴，
，
取，则，
解得，
所以一次函数的解析式可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】利用一次函数的图象和性质及待定系数法求出函数解析式即可.
17．（2024八下·蓬江期末）已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上，
∴，即，
∴，
∵是直角的三边，为斜边，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，（负值舍去），
故答案为： ．
【分析】根据一次函数的性质将点D（1，2）代入解析可得，根据勾股定理可得，，根据完全平方公式的变形运算即可求解．
18．（2023八下·海口期中）一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，点C的坐标为　 　，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是　 　．
【答案】（1，0）；（0，1）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；线段的中点
【解析】【解答】解：∵A（2，0）、B（0，4），点C为OA的中点，点D为AB的中点，
∴C（1，0），D（1，2）.
作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交AB于点P，此时△DPC的周长最小.
∵C（1，0），
∴C′（-1，0）.
设直线C′D的解析式为y=ax+b，则
解得，
∴y=x+1，
令x=0，得y=1，
∴P（0，1）.
故答案为：（1，0），（0，1）.
【分析】根据中点的概念结合点A、B的坐标可得C（1，0），D（1，2）.作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交AB于点P，此时△DPC的周长最小，易得C′（-1，0），利用待定系数法求出直线C′D的解析式，令x=0，求出y的值，据此可得点P的坐标.
三、解答题
19．（2024八下·赤坎期中）已知y与x成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点在这个函数图象上，求a的值．
【答案】（1）解：设（）
，当，时，则，
即，
∴y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：∵点在这个函数的图象上，
∴，
解得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的图象
【解析】【分析】（1）根据正比例函数定义可设，再把，代入可得的值，进而得到函数解析式；
（2）根据函数图象上点的坐标特点，将点代入正比例函数的解析式求得的值即可 ．
20．（2024八下·海珠期末）函数的图象为直线，函数图象为直线，两直线相交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出直线和直线的图象；
（3）求直线、与y轴围成的三角形面积．
【答案】（1）解：将C代入得，，
解得，，
将C代入得，，
解得，，
∴，；
（2）解：由（1）可知，，
∴的图象与坐标轴的两个交点为；的图象与坐标轴的两个交点为；作函数图象如下；
（3）解：由题意知，，
∴直线、与y轴围成的三角形面积为4．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C分别代入，即可求出答案.
（2）由（1）可知，，则的图象与坐标轴的两个交点为；的图象与坐标轴的两个交点为；然后作函数图象即可；
（3）根据三角形面积即可求出答案.
21．（2024八上·龙岗期中）通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）列表：
x … 0 1 …
y … 3 2 1 0 1 2 k …
直接填空：　 　．
（2）描点并画出该函数的图象．
（3）观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：
①　 　；
②　 　．
（4）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为　 　．
【答案】（1）3
（2）解：描点、连线画出该函数图象如图：
（3）函数有最小值为0；当时，y随着x的增大而增大，时，y随着x的增大而减小
（4）4
【知识点】分段函数；一次函数的图象
【解析】【解答】 解：（1）当x=1时，y=|x+2|=3
∴k=3
故答案为：3
【分析】（1）将x=3代入函数解析式即可求出答案.
（2）根据描点，连线即可作出函数图象.
（3）结合函数图象，一次函数性质即可求出答案.
（4）根据函数图象即可求出答案.
22．（2024八下·从化期末）点为平面直角坐标系的原点，点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为．
（1）当点的横坐标是4时，求的面积；
（2）用含的式子表示，并写出的取值范围；
（3）求周长的最小值．
【答案】（1）解：x+y=6，当X=4时y=6，故P(4，2)，如图1，
∴的面积为4；
（2）解：由题意知，，∵点在第一象限，
∴，
解得，，
即，；
（3）解：作的图象，分别交轴于点，如图2，作关于的对称点于，连接交于点，连接，. OA是定值4，当、P、A三点共线OP+AP=O，三角形周长最小。
当时，，即；
当时，，即；
∵，
∴，
由轴对称的性质可知，垂直平分，
∴ ，
∴，
∴，
∵周长为
当三点共线时 OP+PA=
∴周长最小为
∴周长的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的应用；轴对称的性质；列一次函数关系式；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．（1）先求出P(4，2)，如图1， 根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，根据点在第一象限，求出x的取值范围，再根据三角形面积公式求出含有x的式子表示出S；
（3）作的图象，分别交轴于点，并求出C、D的坐标，如图2，作关于的对称点于，连接交于点，连接，，由于OC=OD，可知∠CDO=45°，由轴对称的性质和三角形内角和性质可求得， ，，可求得，用勾股定理求出，由周长为，可知当三点共线时，周长最小为，计算求解即可．
23．（2024八下·宝安期末）在学习《图形的平移》后，某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动．
素材 两点确定一条直线
素材 图形平移的本质就是点的平移
素材 平移不改变直线的倾斜程度
任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点为，若该函数图象向左平移个单位长度，此时点的对应点的坐标为______，点的对应点为的坐标为______，并求出平移后的函数表达式；
任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点 ，将该函数向右平移个单位长度，线段扫过的图形面积为，请求出平移后的函数表达式．
【答案】解：任务：，；
平移后的函数表达式为，
任务：当时，，
∴，则，
∵线段扫过的图形面积为，
∴，
∴，
∵平移不改变直线的倾斜程度，
∴设平移后的函数表达式为，
将代入得，解得，
∴设平移后的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：任务：由得，
当时，；当时，，
∴，，
∵该函数图象向左平移个单位长度，
∴，，
故答案为：，
【分析】任务：由得，，再由函数图象向左平移个单位长度得，，；
任务：当时，，则，由线段扫过的图形面积为，可得，最后由一次函数的平移即可求解；
24．（2024八下·东城期中） 阅读：将一个量，用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第十七章勾股定理时，我们就是利用“算两次”原理，用不同的方式表示同一图形的面积，探究出了勾股定理．
（1）【问题探究】
小明尝试用“算两次”原理解决下面的问题：
如图1，在中，，求斜边边上的高的值．
小明用两种方法表示出的面积：
①；
②．
图1
由勾股定理，得斜边的长度为5，由此可以算出　 　．
（2）【学以致用】
如图2，在矩形中，，点是边上任意一点，过点作，垂足分别为．则可以运用“算两次”原理，用不同的方式表示的面积，求出的值为　 　．
图2
（3）【拓展延伸】
如图3，已知直线与直线相交于点，且这两条直线分别与轴交于点．在线段上有一点，且点到直线的距离为4，请利用以上所学的知识求出点的坐标．
图3
【答案】（1）
（2）
（3）解：过作于，过作于，连接，如图：
在中，令得，
，
在中令得，
，
联立：，
解得：，
，
，，
，点到直线的距离为4，
，
解得，即的纵坐标为，
在中，令得，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）由勾股定理得：AB=，
∴，
∴CD=.
故答案为：；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD，且AC与BD互相平分，
∴BD=，
∴OA=OB=5，
连接OP，过点O作OH⊥AB于点H，
∴OH平行BC，
∴点H是AB的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH=，
∵，
∴S△OAB=S△OAP+S△OBP=，
S△OAB=，
∴，
∴PE+PF=；
故答案为：；
【分析】（1）根据三角形ABC面积的两种不同求法得出等式，即可求得CD的长度；
（2）根据三角形AOB的两种不同的求法，得出，即可求得PE+PF=；
（3）首先可求得点A和点C的坐标，得出AC=16，再根据直线的交点坐标可得出点D（4，6），然后用两种方法计算△ACD的面积，从而得出， 解得：， 代入函数解析式中， 令y=，即可得出， 即点P的坐标为：．
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