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【培优练】人教版数学八年级下学期 19.2.3 一次函数与方程、不等式
一、选择题
1．（2024八下·成都期中）如图，直线：与直线：的交点坐标为，则使不等式成立的x取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线：与直线：相交于点，
∴当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：A．
【分析】结合函数图象以及两直线的交点的横坐标，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
2．（2024八下·信宜月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点．观察函数图象，关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵点在正比例函数，
∴，
∴，
则，
∵一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点，
∴结合图象，关于x的不等式的解集为，
故选：C．
【分析】将点C坐标代入正比例函数可得，当正比例函数的图象在一次函数的图象下方时，结合函数图象即可求出答案.
3．（2024八下·邕宁期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于、的方程组的解为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： 直线：与直线：交于点，
∴ b=-1+3=2，即A（-1，2），
∴ 交点的横纵坐标 即为 方程组的解.
故答案为：C.
【分析】将A坐标代入直线 函数解析式求得b的值，再根据两个一次函数图象的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，即可求得.
4．（2024八下·青羊期末）如图，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与x轴交于点与，则不等式组的解集为（　　）
A．无解 B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象可得不等式的解集为：，
不等式的解集为：；
∴不等式组的解集为．
故答案为：D．
【分析】观察函数图象可知：在x轴上的左边，对应于每一个x的值，函数值都落在x轴的下方，即不等式的解集为；在x轴上5的左边，对应于每一个x的值，函数值都落在x轴的上方，即不等式的解集为；再根据“同小取小”即可求解．
5．（2023八下·大冶期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 关于，的二元一次方程
∴y=a（x-2），
∵当x=2时，y=0，
∴无论a和何值时，函数y=a（x-2）必过点（2，0），
∴该函数的图象随着a的值不同绕着点（2，0）旋转，
如图所示，
∴a的取值范围为 时， 关于，的二元一次方程有两组解.
故答案为：C
【分析】将方程转化为y=a（x-2），可得到无论a和何值时，函数y=a（x-2）必过点（2，0），由此可知该函数的图象随着a的值不同绕着点（2，0）旋转，作出图中所含的两个函数图象，即可求出符合题意的a的取值范围.
6．（2020八下·固阳期末）如图，直线 与 相交于点 ，点 的横坐标为 ，则关于 的不等式 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】由图像可知当x<-1时， ，
∴可在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】利用一次函数与不等式的关系求解即可。
7．（2024八下·贵阳期末）在平面直角坐标系内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是(　　)
A．当时， B．方程的解是
C．当时， D．不等式的解集是
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数 的图象可知，
A、 当 时， 原说法错误，不符合题意；
B、方程 的解是 ，原说法错误， 不符合题意；
C、当 时， ，正确，符合题意；
D、不等式 的解集是 原说法错误，不符合题意.
故答案为： C.
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可.
8．（2024八下·黔南期末）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，它们相交于点，根据图象得到如下结论：
在一次函数的图象中，随着的增大而减小；
当时，不等式成立；
方程组
的解为其中正确结论的个数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：观察图象可得在一次函数的图象中，随着的增大而增大，错误；
观察图象可得当时，不等式成立，正确；
一次函数与的图象相交于点，
方程组的解为，正确.
故答案为：C.
【分析】观察图象可得在一次函数的图象中，随着的增大而增大，故错误；观察图象可得当时，不等式成立， 故正确；根据一次函数与的图象交点点，可得方程组的解为，故正确.
9．（2024八下·罗湖期末）一次函数是常数)与是常数) 的图象交于点，下列结论正确的序号是（　　）
①关于x的方程的解为；②；③当时，；④若，则
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数是常数)与是常数) 的图象交于点，
∴关于x的方程的解为
故①正确，符合题意；
∵一次函数是常数)与是常数) 的图象交于点，
把点代入
得
∴
∴
把点代入
∴
则
∴
故②正确，符合题意；
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
故④正确，符合题意；
∵一次函数的的值无法求出
∴当时，是无法确定的；
故③错误，不符合题意.
∴正确的序号有①②④
故选：B
【分析】根据两个直线交点的横坐标即为的解，判断①；都同时把代入两个一次函数中，化简即可得出k，b，m的等量关系判断②，其次由一次函数的交点问题与不等式的取值之间的关系，进而判断③；结合一次函数的性质，由b的取值进而利用kb之间的等量关系得出k的取值，进而得出一次函数的不等式取值与值比较判断④．
10．（2024八下·南海期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数，交轴于，交轴于，已知，下列说法正确的是（　　）
A．的解集是 B．的解集是
C．的解集是 D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：A、由图可知一次函数与交点的横坐标为，一次函数与轴交点的横坐标为，当时，，选项正确，符合题意；
B、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，，一次函数与交点的横坐标为，当时，，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
C、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，；直线与直线平行，根据与轴交点的横坐标为，则根据对称性得到与轴交点的横坐标为，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
D、由一次函数图像可知；由交轴于，交轴于，已知，可知，，，且，则，选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】
根据题中条件及函数图象，数形结合，逐项验证即可得到答案，
二、填空题
11．（2025八下·南山期中） 如图，直线y=-2r+2与直线y=kx+b（k、b为常数，k≠0)相交于点A（-1，m)则关于x的不等式-2x+2【答案】x>-1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+2与直线y=kx+b（k、b为常数，k≠0)相交于点A（-1，m)
∴-2x+2-1
故答案为：x>-1
【分析】当直线y=-2x+2的图象在直线y=kx+b的图象下方时，有-2x+212．（2024八下·福州期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可得：两直线的交点横坐标为，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从图象角度看，求关于x的不等式的解集，就是求直线在直线的上方部分所对应的自变量的范围，结合交点横坐标即可得出答案.
13．（2023八下·樊城期末）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为　 　．
【答案】x≤1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），∴把点P（m，3）代入直线y=x+2得，3=m+2，
解得：m=1，
∴P（1，3），
由图象可知：x+2≤ax+c的解集为x≤1.
故答案为：x≤1．
【分析】由题意，将点P（m，3）代入y=x+2可得关于m的方程，解方程求出m的值，可得点P的坐标；根据不等式x+2≤ax+c可知，直线y=ax+c高于直线y=x+2即为符合题意的不等式的值，结合函数图象即可求解.
14．（2024八上·深圳期中）已知直线和图像上部分的横坐标和纵坐标如下表所示，则方程的解是　 　．
x 0 1 2
5 3 1
0
【答案】x=1
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得直线和的交点为（1，-1），
∴方程的解是x=1，
故答案为：x=1．
【分析】要求方程的解，只需求两个函数交点的横坐标，观察表格，即可求解.
15．（2023八下·昌黎期末）关于，的二元一次方程组的解为，则直线：与直线：的交点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵-kx+y=b，
∴y=kx+b，
∵-mx+y=n
∴y=mx+n，
∴方程组的解为：，
∴则直线：与直线：的交点坐标为 ：（2，1）。
故第1空答案为：（2，1）。
【分析】首先可以得出方程组的解就是方程组的解，再根据方程组的解，就是交点坐标，即可得出答案。
16．（2024八下·广安期末）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，请写出函数y＝图像上和谐点的坐标：　 　．
【答案】(﹣4，﹣4)
【知识点】坐标与图形性质；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：当y＝x时，x＝x﹣1，
解得：x＝﹣4，
∴y＝x＝﹣4，
∴函数y＝图像上和谐点的坐标为（﹣4，﹣4）．
故答案为：（﹣4，﹣4）．
【分析】根据和谐点的定义可得y＝x，与函数关系式y=x-1联立解方程组可求出x的值，即可求解．
17．（2024八下·大余期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线与直线相交于点根据图象可知，方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】由二元一次方程组的解与一次函数的交点关系，得方程组的解为.
答案：
【分析】直接由二元一次方程组与一次函数的交点关系可得方程组的解.
18．（2023八下·汉阳期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是　 　．
①的面积总为；
②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为；
③若，则的解集为；
④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：①令，得：
∴
∴
∴故①正确；
②当时，
当时，
∴b的取值范围：，故②正确；
③，解得：
，解得：
∴直线与函数交点为：，
∴的解集为：，故③正确；
④当时，正比例函数与（为常数）的图象平行，
∴若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则故④错误；
综上正确的有：①②③，
故答案为：.
【分析】求出A，B的坐标，根据三角形的面积计算公式，可判断①；根据x满足，即可计算出b的取值范围，即可判断②；求出直线与函数交点，再根据图象即可判断③；根据两函数平行计算出系数的取值，即可判断④.
三、解答题
19．（2024八下·玉州期末）如图，已知一次函数的图象过点，，与正比例函数的图象交于点C．求：
（1）一次函数的解析式；
（2）的面积．
【答案】（1）解：设一次函数为，
∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得：，
∴一次函数表达式为：．
（2）解：根据题意可得：，
解得：，
∴点，
∴的面积为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先联立方程组求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式求出△BOC的面积即可.
（1）解：设一次函数为，
∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得，
故一次函数表达式为：．
（2）解：由，
解得，
∴点，
∴的面积为：．
20．（2025八下·杭州月考）已知一次函数y＝mx﹣m﹣1（m为常数且m≠0），
（1）若一次函数经过点（2，5），求此时函数表达式；
（2）若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围；
（3）若函数在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，求m的取值范围.
【答案】（1）解：∵ 一次函数y＝mx﹣m﹣1 经过点（2，5），
∴5=2m﹣m﹣1，
∴m=6
∴y=6x-7
（2）解：∵一次函数 y＝mx﹣m﹣1 不经过第三象限，
∴k=m<0，-m－1≥0，
∴
（3）解：当m＞0时，
∵在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，
∴当x=2时，y≥0，即2m－m－1≥0，
∴m≥1.
当m<0时，
∵在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，
∴当x=﹣2时，y≥0，即-2m－m－1≥0，
∴.
∴ 若函数在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0， 则或m≥1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）把点（2，5）代入一次函数解析数，得到关于m的方程，求解得m的值，再反代入即可得到此时的函数解析式；
（2）根据 一次函数不经过第三象限， 可得一次项系数小于0，常数项≥0，求解即可得m的取值范围；
（3）分m＞0时，和m<0时两种情况，根据“ 函数在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0”和一次函数的性质可得在最大值时y≥0，据此得关于m的不等式2m－m－1≥0和-2m－m－1≥0，分别求解即可.
21．（2024八下·荔湾期末）如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A．
（1）求的面积；
（2）点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标，
【答案】（1）取y=0，
则，
，
，
解，
得：，
点的坐标为，
=；
（2）设直线的解析式为，作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点，
，
，
∵三点共线，
∴有最小值，
，，
。
∴，
解得：，
直线的解析式为，
取，得，
点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，联立两直线解析式得到方程组求解，由此求出点A的坐标，再利用三角形面积公式求解；
（2）直线与轴的交点，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用待定系数法求出的解析式，取函数值为0，就可求出点的坐标．
22．（2024八下·阳山期末）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求不等式的解集；
（3）直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵直线经过点，，
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为：；
（2）解：当时，，解得，
∴，
根据函数图象可知，不等式的解集是：．
故答案为：；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（3）解得：，
∴点D，
把代入得：，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，点P的坐标为；
当时，，点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或；
故答案为：或。
【分析】
（1）利用待定系数法把，代入求一次函数解析式解答即可；
（2）计算得出，再根据函数图象直接得出的解集即可；
（3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面积公式计算，再利用建立关于的方程，计算即可解答．
（1）解：∵直线经过点，，
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为：；
（2）解：当时，，解得，
∴，
根据函数图象可知，不等式的解集是：．
故答案为：；
（3）解：联立，
解得：，
∴点D的坐标为，
把代入得：，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，此时点P的坐标为；
当时，，此时点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或．
四、实践探究题
23．（2024八下·三门期末）根据以下素材，探索完成任务．
有趣的迭代函数
素材 已知一次函数和（是常数，），我们称是的迭代函数．如函数的迭代函数是，即．
素材 当时，函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，我们称点是这个函数的迭代点．
问题解决
任务 直接写出函数的迭代函数及这个函数迭代点的坐标．
任务 求证：对于任意（是常数，）的迭代函数，随的增大而增大．
任务 若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明．
【答案】解：任务1：，
任务2：证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，），
即，
∵，
∴，
∴在函数中，随的增大而增大；
任务3：，
证明：由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，
联列，得：，
解得：，
即点坐标为，
∴若点的坐标为时，则的数量关系为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】任务1：解：由题意可得函数的迭代函数为，
即，
联立，得，
解得，
∴函数迭代点的坐标为；
【分析】任务1：根据迭代函数的定义即可写出函数的迭代函数，再联立两函数解析式，求解即可得到迭代点的坐标；
任务2：根据迭代函数的定义写出的迭代函数，然后整理成一般形式，进而根据一次函数y=ax+b(a≠0)当a＞0时，y随x的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，并结合偶数次幂的非负性即可得出结论
任务：联列函数和它的迭代函数，解方程组，用含k、b的式子表示x、y，即可求出点P坐标，即可得出结论.
五、阅读理解题
24．（2023八下·宝安期末）阅读材料：
在数轴上，表示一个点；在平面直角坐标系中，表示一条直线；以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线.
如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分；
如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分.
请根据以上材料回答问题：
（1）图3阴影部分(含边界)表示的是　 　(填写不等式)表示的平面区域；
（2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域(含边界)的不等式组；
（3）如图5，点在轴上，点的坐标为，且，点为内部一点(含边界)，过点分别作，垂足分别为C，D，E，若，则所有点组成的平面区域的面积为　 　.
【答案】（1）
（2）设直线的表达式为
直线经过点
∴
解得
同理可求；直线的表达式为
由图可知，表示阴影部分平面区域的不等式组为
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：（1）设经过（-2，0）（0，2）的直线解析式为y=kx+b，
将（-2，0）（0，2）代入y=kx+b，解得k=1，b=2，
∴经过（-2，0）（0，2）的直线解析式为y=x+2.
观察图象可知，图3的阴影部分（含边界）表示的是y≥x+2表示的平面区域.
（3）作∠AOB的平分线交AB于R，∠OBA的平分线交OA于K，∠BAO的平分线交OB于T，BK，OR，AT交于G，如图：
满足条件的P在△OGK内（含边界），即图中阴影部分.
在Rt△BOK中，∠OBK=∠ABO=30°，
∴OK=
∵∠EOG=∠COG=∠AOB=45°
∴OE=GE，OC=CG
∵∠EOC=∠GEO=∠GCO=90°
∴四边形EOCG是平行四边形，
设OE=OC=CG=EG=x，则BE=x，
∴BE+OE=x+x
∴x=
∴CG=
∴S△OGK=OK·CG=
故答案为：.
【分析】（1）用待定系数法先求出经过（-2，0）（0，2）的直线解析式为y=x+2，再观察图3，可知y≥x+2表示阴影部分（含边界）的区域面积.
（2）用待定系数法先求出直线m的解析式为，直线n的解析式为，观察图4可知不等式组表示阴影部分（含边界）的区域面积.
（3）作∠AOB的平分线交AB于R，∠OBA的平分线交OA于K，∠BAO的平分线交OB于T，BK，OR，AT交于G，满足条件的P在△OGK内（含边界），再求出OK=，列方程求得CG=，最后利用三角形面积公式即可求得 所有点P组成的平面区域的面积.
1 / 1【培优练】人教版数学八年级下学期 19.2.3 一次函数与方程、不等式
一、选择题
1．（2024八下·成都期中）如图，直线：与直线：的交点坐标为，则使不等式成立的x取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·信宜月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点．观察函数图象，关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·邕宁期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于、的方程组的解为(　　)
A． B． C． D．
4．（2024八下·青羊期末）如图，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与x轴交于点与，则不等式组的解集为（　　）
A．无解 B． C． D．
5．（2023八下·大冶期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020八下·固阳期末）如图，直线 与 相交于点 ，点 的横坐标为 ，则关于 的不等式 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·贵阳期末）在平面直角坐标系内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是(　　)
A．当时， B．方程的解是
C．当时， D．不等式的解集是
8．（2024八下·黔南期末）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，它们相交于点，根据图象得到如下结论：
在一次函数的图象中，随着的增大而减小；
当时，不等式成立；
方程组
的解为其中正确结论的个数是(　　)
A． B． C． D．
9．（2024八下·罗湖期末）一次函数是常数)与是常数) 的图象交于点，下列结论正确的序号是（　　）
①关于x的方程的解为；②；③当时，；④若，则
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．（2024八下·南海期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数，交轴于，交轴于，已知，下列说法正确的是（　　）
A．的解集是 B．的解集是
C．的解集是 D．
二、填空题
11．（2025八下·南山期中） 如图，直线y=-2r+2与直线y=kx+b（k、b为常数，k≠0)相交于点A（-1，m)则关于x的不等式-2x+212．（2024八下·福州期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　．
13．（2023八下·樊城期末）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为　 　．
14．（2024八上·深圳期中）已知直线和图像上部分的横坐标和纵坐标如下表所示，则方程的解是　 　．
x 0 1 2
5 3 1
0
15．（2023八下·昌黎期末）关于，的二元一次方程组的解为，则直线：与直线：的交点坐标为　 　．
16．（2024八下·广安期末）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，请写出函数y＝图像上和谐点的坐标：　 　．
17．（2024八下·大余期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线与直线相交于点根据图象可知，方程组的解为　 　．
18．（2023八下·汉阳期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是　 　．
①的面积总为；
②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为；
③若，则的解集为；
④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则．
三、解答题
19．（2024八下·玉州期末）如图，已知一次函数的图象过点，，与正比例函数的图象交于点C．求：
（1）一次函数的解析式；
（2）的面积．
20．（2025八下·杭州月考）已知一次函数y＝mx﹣m﹣1（m为常数且m≠0），
（1）若一次函数经过点（2，5），求此时函数表达式；
（2）若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围；
（3）若函数在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，求m的取值范围.
21．（2024八下·荔湾期末）如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A．
（1）求的面积；
（2）点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标，
22．（2024八下·阳山期末）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求不等式的解集；
（3）直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
四、实践探究题
23．（2024八下·三门期末）根据以下素材，探索完成任务．
有趣的迭代函数
素材 已知一次函数和（是常数，），我们称是的迭代函数．如函数的迭代函数是，即．
素材 当时，函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，我们称点是这个函数的迭代点．
问题解决
任务 直接写出函数的迭代函数及这个函数迭代点的坐标．
任务 求证：对于任意（是常数，）的迭代函数，随的增大而增大．
任务 若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明．
五、阅读理解题
24．（2023八下·宝安期末）阅读材料：
在数轴上，表示一个点；在平面直角坐标系中，表示一条直线；以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线.
如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分；
如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分.
请根据以上材料回答问题：
（1）图3阴影部分(含边界)表示的是　 　(填写不等式)表示的平面区域；
（2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域(含边界)的不等式组；
（3）如图5，点在轴上，点的坐标为，且，点为内部一点(含边界)，过点分别作，垂足分别为C，D，E，若，则所有点组成的平面区域的面积为　 　.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线：与直线：相交于点，
∴当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：A．
【分析】结合函数图象以及两直线的交点的横坐标，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
2．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵点在正比例函数，
∴，
∴，
则，
∵一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点，
∴结合图象，关于x的不等式的解集为，
故选：C．
【分析】将点C坐标代入正比例函数可得，当正比例函数的图象在一次函数的图象下方时，结合函数图象即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： 直线：与直线：交于点，
∴ b=-1+3=2，即A（-1，2），
∴ 交点的横纵坐标 即为 方程组的解.
故答案为：C.
【分析】将A坐标代入直线 函数解析式求得b的值，再根据两个一次函数图象的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，即可求得.
4．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象可得不等式的解集为：，
不等式的解集为：；
∴不等式组的解集为．
故答案为：D．
【分析】观察函数图象可知：在x轴上的左边，对应于每一个x的值，函数值都落在x轴的下方，即不等式的解集为；在x轴上5的左边，对应于每一个x的值，函数值都落在x轴的上方，即不等式的解集为；再根据“同小取小”即可求解．
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 关于，的二元一次方程
∴y=a（x-2），
∵当x=2时，y=0，
∴无论a和何值时，函数y=a（x-2）必过点（2，0），
∴该函数的图象随着a的值不同绕着点（2，0）旋转，
如图所示，
∴a的取值范围为 时， 关于，的二元一次方程有两组解.
故答案为：C
【分析】将方程转化为y=a（x-2），可得到无论a和何值时，函数y=a（x-2）必过点（2，0），由此可知该函数的图象随着a的值不同绕着点（2，0）旋转，作出图中所含的两个函数图象，即可求出符合题意的a的取值范围.
6．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】由图像可知当x<-1时， ，
∴可在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】利用一次函数与不等式的关系求解即可。
7．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数 的图象可知，
A、 当 时， 原说法错误，不符合题意；
B、方程 的解是 ，原说法错误， 不符合题意；
C、当 时， ，正确，符合题意；
D、不等式 的解集是 原说法错误，不符合题意.
故答案为： C.
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可.
8．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：观察图象可得在一次函数的图象中，随着的增大而增大，错误；
观察图象可得当时，不等式成立，正确；
一次函数与的图象相交于点，
方程组的解为，正确.
故答案为：C.
【分析】观察图象可得在一次函数的图象中，随着的增大而增大，故错误；观察图象可得当时，不等式成立， 故正确；根据一次函数与的图象交点点，可得方程组的解为，故正确.
9．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数是常数)与是常数) 的图象交于点，
∴关于x的方程的解为
故①正确，符合题意；
∵一次函数是常数)与是常数) 的图象交于点，
把点代入
得
∴
∴
把点代入
∴
则
∴
故②正确，符合题意；
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
故④正确，符合题意；
∵一次函数的的值无法求出
∴当时，是无法确定的；
故③错误，不符合题意.
∴正确的序号有①②④
故选：B
【分析】根据两个直线交点的横坐标即为的解，判断①；都同时把代入两个一次函数中，化简即可得出k，b，m的等量关系判断②，其次由一次函数的交点问题与不等式的取值之间的关系，进而判断③；结合一次函数的性质，由b的取值进而利用kb之间的等量关系得出k的取值，进而得出一次函数的不等式取值与值比较判断④．
10．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：A、由图可知一次函数与交点的横坐标为，一次函数与轴交点的横坐标为，当时，，选项正确，符合题意；
B、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，，一次函数与交点的横坐标为，当时，，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
C、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，；直线与直线平行，根据与轴交点的横坐标为，则根据对称性得到与轴交点的横坐标为，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
D、由一次函数图像可知；由交轴于，交轴于，已知，可知，，，且，则，选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】
根据题中条件及函数图象，数形结合，逐项验证即可得到答案，
11．【答案】x>-1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+2与直线y=kx+b（k、b为常数，k≠0)相交于点A（-1，m)
∴-2x+2-1
故答案为：x>-1
【分析】当直线y=-2x+2的图象在直线y=kx+b的图象下方时，有-2x+212．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可得：两直线的交点横坐标为，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从图象角度看，求关于x的不等式的解集，就是求直线在直线的上方部分所对应的自变量的范围，结合交点横坐标即可得出答案.
13．【答案】x≤1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），∴把点P（m，3）代入直线y=x+2得，3=m+2，
解得：m=1，
∴P（1，3），
由图象可知：x+2≤ax+c的解集为x≤1.
故答案为：x≤1．
【分析】由题意，将点P（m，3）代入y=x+2可得关于m的方程，解方程求出m的值，可得点P的坐标；根据不等式x+2≤ax+c可知，直线y=ax+c高于直线y=x+2即为符合题意的不等式的值，结合函数图象即可求解.
14．【答案】x=1
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得直线和的交点为（1，-1），
∴方程的解是x=1，
故答案为：x=1．
【分析】要求方程的解，只需求两个函数交点的横坐标，观察表格，即可求解.
15．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵-kx+y=b，
∴y=kx+b，
∵-mx+y=n
∴y=mx+n，
∴方程组的解为：，
∴则直线：与直线：的交点坐标为 ：（2，1）。
故第1空答案为：（2，1）。
【分析】首先可以得出方程组的解就是方程组的解，再根据方程组的解，就是交点坐标，即可得出答案。
16．【答案】(﹣4，﹣4)
【知识点】坐标与图形性质；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：当y＝x时，x＝x﹣1，
解得：x＝﹣4，
∴y＝x＝﹣4，
∴函数y＝图像上和谐点的坐标为（﹣4，﹣4）．
故答案为：（﹣4，﹣4）．
【分析】根据和谐点的定义可得y＝x，与函数关系式y=x-1联立解方程组可求出x的值，即可求解．
17．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】由二元一次方程组的解与一次函数的交点关系，得方程组的解为.
答案：
【分析】直接由二元一次方程组与一次函数的交点关系可得方程组的解.
18．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：①令，得：
∴
∴
∴故①正确；
②当时，
当时，
∴b的取值范围：，故②正确；
③，解得：
，解得：
∴直线与函数交点为：，
∴的解集为：，故③正确；
④当时，正比例函数与（为常数）的图象平行，
∴若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则故④错误；
综上正确的有：①②③，
故答案为：.
【分析】求出A，B的坐标，根据三角形的面积计算公式，可判断①；根据x满足，即可计算出b的取值范围，即可判断②；求出直线与函数交点，再根据图象即可判断③；根据两函数平行计算出系数的取值，即可判断④.
19．【答案】（1）解：设一次函数为，
∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得：，
∴一次函数表达式为：．
（2）解：根据题意可得：，
解得：，
∴点，
∴的面积为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先联立方程组求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式求出△BOC的面积即可.
（1）解：设一次函数为，
∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得，
故一次函数表达式为：．
（2）解：由，
解得，
∴点，
∴的面积为：．
20．【答案】（1）解：∵ 一次函数y＝mx﹣m﹣1 经过点（2，5），
∴5=2m﹣m﹣1，
∴m=6
∴y=6x-7
（2）解：∵一次函数 y＝mx﹣m﹣1 不经过第三象限，
∴k=m<0，-m－1≥0，
∴
（3）解：当m＞0时，
∵在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，
∴当x=2时，y≥0，即2m－m－1≥0，
∴m≥1.
当m<0时，
∵在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，
∴当x=﹣2时，y≥0，即-2m－m－1≥0，
∴.
∴ 若函数在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0， 则或m≥1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）把点（2，5）代入一次函数解析数，得到关于m的方程，求解得m的值，再反代入即可得到此时的函数解析式；
（2）根据 一次函数不经过第三象限， 可得一次项系数小于0，常数项≥0，求解即可得m的取值范围；
（3）分m＞0时，和m<0时两种情况，根据“ 函数在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0”和一次函数的性质可得在最大值时y≥0，据此得关于m的不等式2m－m－1≥0和-2m－m－1≥0，分别求解即可.
21．【答案】（1）取y=0，
则，
，
，
解，
得：，
点的坐标为，
=；
（2）设直线的解析式为，作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点，
，
，
∵三点共线，
∴有最小值，
，，
。
∴，
解得：，
直线的解析式为，
取，得，
点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，联立两直线解析式得到方程组求解，由此求出点A的坐标，再利用三角形面积公式求解；
（2）直线与轴的交点，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用待定系数法求出的解析式，取函数值为0，就可求出点的坐标．
22．【答案】（1）解：∵直线经过点，，
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为：；
（2）解：当时，，解得，
∴，
根据函数图象可知，不等式的解集是：．
故答案为：；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（3）解得：，
∴点D，
把代入得：，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，点P的坐标为；
当时，，点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或；
故答案为：或。
【分析】
（1）利用待定系数法把，代入求一次函数解析式解答即可；
（2）计算得出，再根据函数图象直接得出的解集即可；
（3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面积公式计算，再利用建立关于的方程，计算即可解答．
（1）解：∵直线经过点，，
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为：；
（2）解：当时，，解得，
∴，
根据函数图象可知，不等式的解集是：．
故答案为：；
（3）解：联立，
解得：，
∴点D的坐标为，
把代入得：，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，此时点P的坐标为；
当时，，此时点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或．
23．【答案】解：任务1：，
任务2：证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，），
即，
∵，
∴，
∴在函数中，随的增大而增大；
任务3：，
证明：由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，
联列，得：，
解得：，
即点坐标为，
∴若点的坐标为时，则的数量关系为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】任务1：解：由题意可得函数的迭代函数为，
即，
联立，得，
解得，
∴函数迭代点的坐标为；
【分析】任务1：根据迭代函数的定义即可写出函数的迭代函数，再联立两函数解析式，求解即可得到迭代点的坐标；
任务2：根据迭代函数的定义写出的迭代函数，然后整理成一般形式，进而根据一次函数y=ax+b(a≠0)当a＞0时，y随x的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，并结合偶数次幂的非负性即可得出结论
任务：联列函数和它的迭代函数，解方程组，用含k、b的式子表示x、y，即可求出点P坐标，即可得出结论.
24．【答案】（1）
（2）设直线的表达式为
直线经过点
∴
解得
同理可求；直线的表达式为
由图可知，表示阴影部分平面区域的不等式组为
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：（1）设经过（-2，0）（0，2）的直线解析式为y=kx+b，
将（-2，0）（0，2）代入y=kx+b，解得k=1，b=2，
∴经过（-2，0）（0，2）的直线解析式为y=x+2.
观察图象可知，图3的阴影部分（含边界）表示的是y≥x+2表示的平面区域.
（3）作∠AOB的平分线交AB于R，∠OBA的平分线交OA于K，∠BAO的平分线交OB于T，BK，OR，AT交于G，如图：
满足条件的P在△OGK内（含边界），即图中阴影部分.
在Rt△BOK中，∠OBK=∠ABO=30°，
∴OK=
∵∠EOG=∠COG=∠AOB=45°
∴OE=GE，OC=CG
∵∠EOC=∠GEO=∠GCO=90°
∴四边形EOCG是平行四边形，
设OE=OC=CG=EG=x，则BE=x，
∴BE+OE=x+x
∴x=
∴CG=
∴S△OGK=OK·CG=
故答案为：.
【分析】（1）用待定系数法先求出经过（-2，0）（0，2）的直线解析式为y=x+2，再观察图3，可知y≥x+2表示阴影部分（含边界）的区域面积.
（2）用待定系数法先求出直线m的解析式为，直线n的解析式为，观察图4可知不等式组表示阴影部分（含边界）的区域面积.
（3）作∠AOB的平分线交AB于R，∠OBA的平分线交OA于K，∠BAO的平分线交OB于T，BK，OR，AT交于G，满足条件的P在△OGK内（含边界），再求出OK=，列方程求得CG=，最后利用三角形面积公式即可求得 所有点P组成的平面区域的面积.
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