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2024-2025学年第二学期九年级第三次模拟考试数学试卷
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（ ）
A． B．1 C． D．3
2．如图，在中，平分交于点D，于点E，若，则的长为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2
3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象向左平移1个单位长度后，所得新一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，则的面积为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．9
4．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当，，在同一条直线上时，（ ）
A．60 B．70 C．80 D．50
7．如图，为的直径，，为上两点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．一个不透明的口袋里有一个红球、两个黄球，小球除颜色外无其它差别，从中一次性摸出两个球，摸到的两个球的颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是边长为的正方形的边上的一动点，是线段上的一动点，且满足，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．2
10．如图，在正方形中，连接，点在上，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．若，点是的中点，则的长度为（ ）
A．8 B．10 C． D．
二、填空题（共24分，每小题3分）
11．因式分解： ．
12．把二次函数先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为 ．
13．如图，在中，，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为 ．
14．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接，，若，，则的长为 ．
15．如图，点，在反比函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是9，则 ．
16．如图，在平行四边形中，为对角线上一点，，将沿折叠，点的对应点刚好落在边上，则与平行四边形的面积之比为 ．
17．如图，菱形的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，连接，则的值为 ．
18．如图所示的三视图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图是由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知和格点O(格点为网格线的交点)．
(1)画出关于点O成中心对称的；
(2)将先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度．得到画出．
20．（8分）（1）计算：．
（2）化简：
21．（6分）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？
22．（8分）如图，已知与相交于点，为的两条弦，连接并延长，交的延长线于点，交于点．连接，，，，．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求的长．
23．（7分）已知，，，，五个红色研学基地，某校为了解中学生对这五个研学基地的选择意愿，随机抽取部分中学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
(1)（2分）请将条形统计图补充完整．
(2)（2分）在扇形统计图中，所在扇形的圆心角的度数为______；若该校共有2000名中学生参加研学活动，则愿意去基地的大约有______人
(3)（3分）甲、乙两所学校计划从，，，四个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用画树状图法或列表法求两校恰好选取同一个基地的概率．
24．（7分）如图，一次函数，是反比例函数 图象上的两点，点 的坐标为，点 的坐标为，线段的延长线交轴于点 ．

(1)（3分）求反比例函数的函数关系式；
(2)（4分）求 的面积．
25．（8分）图，点C是半圆O的弧的中点，点D在的延长线上，过D作半圆O的切线交的延长线于点E，切点为F，连接交于点G．
(1)证明：；
(2)若，求的长．
26．（6分）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管与支架所在直线相交于点，且；支架与水平线垂直．，，，另一支架与水平线夹角，求的长度（结果精确到；，，）
27．（10分）已知如图：二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为．
(1)（3分）求二次函数的解析式；
(2)（3分）如图，在二次函数图象位于轴上方有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值；
(3)（4分）当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1-5 BDBDC 6-10 CBDAC
11． 12． 13． 14．
15．12 16． 17． 18．
19．（1）如图，即为所画；（2）如图，即为所画。
20．（1）8（2）
21．设每件应降价x元．
根据题意列方程，，
解得，，，
∵尽快减少库存，
∴舍去，
故，
答：每天要想获得504元的利润，每件应降价3元．
22．（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）如图，过点作于点，则，
由（）可知，为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．（1）本次抽取的学生有：（人），
其中选择的学生有：（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为：，
该市有1000名中学生参加研学活动，愿意去基地的大约有：（人）；
（3）根据题意列表如下：
由上表可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选取同一基地（记为事件）的结果有4种．
．
24．（1）解∶把代入
得
解得，
∴反比例函数的函数关系式为
（2）把代入
得，
设直线的函数关系式为把，分别代入，
，
解得，
∴直线的函数关系式为
当时，，即点的坐标为，
25．（1）证明：如图，连接，
是半圆的切线，
，即；
是半圆弧的中点，
于，
，即，
，
，
，
，
，
．
（2）设，则，
在中，由勾股定理：，
．
由（1）可得：，
，
，
∴，
，，
．
26．设，则．
，
．
．
在中，
，
．
解得：．
答：的长度约为．
27．（1）设解析式为，
抛物线经过，代入上式得：，
二次函数表达式为：，或．
（2）依题得：该二次函数的对称轴是，
设点的坐标为，则点，
则，，
矩形的周长，
，
，
，
当时，周长有最大值，最大值为．
（3）点坐标为：或或．
二次函数表达式为，
，
当矩形周长最大时，点与点重合，
又此时的面积是矩形面积的，
，
将、坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
设点坐标为，
过作垂直于轴，交于点，则，
，
则，
即：，
解得，，，
故点坐标为：或或．

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