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2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系
——划重点之初升高暑假预习强化精细讲义
知识点1：匀速直线运动的位移
1.位移公式
x= vt，方向由起点指向终点。
2.v-t 图像
如图所示，图线与t轴所围图形的面积在数值上等于物体在这段时间内的位移的大小。当“面积”在t轴上方时，表示物体的位移与规定的正方向相同，位移为正；当“面积”在t轴下方时，表示物体的位移与规定的正方向相反，位移为负。
对相对位移的理解
如图1所示，甲、乙同向运动，面积之差为甲、乙的相对位移;如图2所示，甲、乙反向运动，面积之和为甲、乙的相对位移。
知识点2： 匀变速直线运动的位移
1.微分思想在匀变速直线运动的v-t 图像中的应用
（1）微分思想是先把过程无限分割，以“不变”近似代替“变”，然后再进行累加的思想。
如图所示，在匀变速直线运动中，速度时刻变化，但从图中可以看出，若△t时间内速度的变化非常小，△t内的运动就可近似看成匀速运动，Si=vi△t，S面积=v1△t+v2△t＋v3△t+…，但每一个△t内的速度v都小于实际的速度，故S面积只能粗略表示0～t0时间内的位移。
当△t→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图线与t轴所围图形的面积，此面积更能精确表示0～t0时间内的位移。
（2）匀变速直线运动的v-t图线与t轴所围图形的面积在数值上等于相应时间内物体的位移，此结论可以推至任何直线运动。
2.匀变速直线运动的位移的表达式
（1）公式推导
如图所示，匀变速直线运动在0～t时间内的位移在数值上等于直线AP与t轴围成的梯形OAPQ的面积。
方法1∶x=x1+x2=OA·OQ＋AR·RP=v0t+at·t，即位移x=v0t+at2。
方法2∶x=（OA＋QP）×0Q，即x=（v0＋v）t，又v=v0＋at，联立可得x=v0t+at2。
x=v0t+at2是匀变速直线运动的位移与时间的关系式。
对x=v0t+at2的理解
①适用范围∶位移-时间关系式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，此关系式适用于加速度恒定的直线运动。
②矢量性∶公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，若题目中未特殊说明，一般选取初速度v0方向为正方向。若a与v0同向，a取正值，物体做匀加速直线运动，若a与v0反向，a取负值，物体做匀减速直线运动，计算出位移的正负表示位移的方向。
③公式的基本应用∶公式中包含四个物理量，不涉及末速度，已知其中任意三个物理量时，可求出剩余的一个物理量。公式中各物理量应取国际单位制单位。
公式x=v0t+at2经常与公式v=v0＋at联立使用，两公式中共有五个物理量，已知任意三个物理量，可以求出剩余的两个物理量。
（1）匀变速直线运动的v-t图像
如图所示，0～t1时间内的位移x1取正值，t1～t2时间内的位移x2取负值，则0～t2时间内的总位移为x1与x2的代数和，总路程为Ix1I＋lx2I。
（2）匀加速直线运动的x-t图像
①匀加速直线运动的位移—时间图像为抛物线的一部分，位移与时间是二次函数关系，位移不是随时间均匀增大的。
②由于曲线图像较为复杂，故一般应用化曲为直的思想，将x-t图像转化为-t图像再分析。
（3）位移—时间公式的适用范围
位移—时间公式既适用于匀加速直线运动（如图线①），也适用于匀减速直线运动（如图线②），图线③整体上不是匀加速直线运动，也不是匀减速直线运动，但它是加速度恒定的匀变速直线运动，公式也适用。
（4）位移公式的两种特殊形式
①当a= 0时，x=v0t（匀速直线运动）。
②当v0= 0时，x=at2，即位移与时间的平方成正比。
（5） 匀减速直线运动的位移表达式
物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值，位移表达式可以写成x=v0t-at2（a代入的数值应为正值），也可以写成x=v0t+at2（a代入的数值应为负值）。
逆向思维法∶末速度为零的匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动。
（1）汽车刹车问题、子弹射入木块问题、物体在斜面上上滑到最高点问题均可以利用逆向思维法求解。
（2）对匀加速直线运动，若不知道初速度大小，只知道末速度大小为v，加速度为a，则时间t内的位移也可以逆向表示为x=vt-at2。
【典例1】冰壶是冬奥会的一个竞赛项目。如图为我国运动员在北京冬奥会比赛中投掷冰壶的情形，冰壶以某一初速度被投出后做匀减速直线运动，用时停止，已知停止运动前最后内位移大小为，则冰壶的初速度大小为（　　）
A． B． C． D．
【典例2】从静止开始做匀加速直线运动的物体，通过前一半位移和后一半位移所用时间的比值为（　　）
A． B．
C． D．
【典例3】一个质点在轴上运动，位置随时间的变化规律是，关于这个质点的运动，以下说法正确的是（　　）
A．质点做匀速直线运动
B．质点的加速度的大小为，方向沿轴正方向
C．时质点的位置在处
D．时质点的速度大小为，方向沿轴正方向
【典例4】如图（a）所示，甲、乙两车在同一平直公路上同向行驶，时刻两车刚好相遇，两车的速度随时间变化的图像如图（b）所示，下列说法正确的是（　　）
A．在耐，两车再次相遇
B．在时，甲、乙两车速度相同
C．在这段时间内，甲车的加速度先变大后变小
D．在这段时间内，乙车做匀速直线运动
【典例5】一个物块在光滑的水平面上受到水平恒力F的作用，从静止开始做匀加速直线运动，计时开始的图像如甲所示v2-x图像如图乙所示，据图像的特点与信息分析，下列说法正确的是（　　）
A．x=1m时物体的速度为8m/s
B．图乙的斜率是图甲的斜率的2倍
C．图甲中的y=8m/s
D．t=1s时物体的速度为4m/s
【典例6】某物体做匀加速直线运动，其初速度为2.25m/s，加速度为，求：
（1）物体在3s内的位移；
（2）物体在第3s内的位移；
（3）物体在第7s内的位移。
知识点3： 匀变速直线运动的速度与位移的关系
1.公式推导
物体以加速度a做匀变速直线运动时，速度公式v=v0＋at，位移公式x=v0t+at2，联立消去时间t可得速度与位移的关系式为v2-v02=2ax。
如果匀变速直线运动的已知量和未知量都不涉及时间，利用公式v2-v02=2ax求解问题时，往往比用两个基本公式解题方便。
2.对公式v2-v02=2ax的理解
（1）v2-v02=2ax为矢量式，适用于匀变速直线运动，x、v0、v、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度 v0的方向为正方向。
①匀加速直线运动，a取正值;匀减速直线运动，a取负值。
②位移与正方向相同，x取正值;位移与正方向相反，x取负值。
（2）特殊情况∶当v0=0时，公式简化为v2=2ax（物体做初速度为零的匀加速直线运动）;当v=0时，公式简化为-v02=2ax（物体做匀减速直线运动直到静止），也可以视为从静止开始、末速度为v0的反向的匀加速直线运动。
（1）匀减速直线运动的速度与位移的关系
公式x =中，a和x可以同时取负值，表示物体做匀减速直线运动，速度减为零后反向做匀加速直线运动。但需要注意的是，若汽车刹车时，速度减为零后即静止，故a为负，x不可能为负。
（2）用公式v2-v02=2ax求出的速度有“+”有“-”。要根据实际情况来判断“+”有“-”是否都有意义。
知识点4：匀变速直线运动规律总结
1.匀变速直线运动的基本关系式及推论
（1）速度与时间关系式∶v=v0＋at①，题目中不涉及位移x，可直接选用。
（2）位移与时间关系式∶x=v0t+at2②，题目中不涉及末速度v，方便使用。
（3）速度与位移关系式∶v2-v02=2ax③，题目中不涉及时间t，可直接选用。
（4）平均速度求位移公式∶x =④，题目中不涉及加速度a，方便使用。
（5）纸带数据常用推论公式∶△x=aT2⑤，未涉及物理量v。
（1）前三个公式包括五个物理量v、v0、a、x、t，已知其中任意三个，可求其余两个。
以上公式中①②为匀变速直线运动的基本公式，③是①②的导出式，④⑤为推论式，公式中涉及初速度v0、末速度v、加速度a、位移x和时间t五个物理量，这五个物理量中前四个都是矢量，应用时要规定统一的正方向（通常取v0的方向为正方向），并注意各物理量的正负。
（2）匀变速直线运动的公式及推论
【典例1】在一次交通事故中，警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是16m，该车辆的刹车加速度大小是，该路段的限速为60km/h．则该车（　　）
A．刹车所用的时间为4s
B．该肇事车没有超速
C．刹车过程的平均速度为16m/s
D．刹车最后一秒的位移为8m
【典例2】一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，经过斜面中点时速度为2m/s，则物体到达斜面底端时的速度为（　　）
A． B．3m/s C．4m/s D．6m/s
【典例3】一辆汽车从车站开出，做匀加速直线运动，它开出一段时间后，司机突然发现有一乘客未上车，急忙制动，车又作匀减速直线运动，结果汽车从开始起动到停止共用t＝10s，前进了x＝15m，则此过程中汽车达到的最大速度vm是（　　）
A．5m/s B．3m/s C．4m/s D．无法确定
重难点1：匀变速直线运动的重要推论
1.平均速度
（1）平均速度的一般表达式∶，适用于任何形式的运动。
（2）匀变速直线运动中，某段过程的平均速度等于初、末速度的平均值，即
推导∶
（方法一）如图所示为匀变速直线运动的v-t图像，则t时间内的位移为图线与横轴围成的梯形的面积，即x=（v0+vt）t，故平均速度。
（方法二）在匀变速直线运动中，某一段时间t的末速度vt=v0+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移一时间公式整理可得，即
2.中间时刻的速度
匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，即：
推导∶
在方法一的v-t图像中，在0～，有；在～t，有可得。
（1）平均速度是过程量，公式中的v0和vt表示所取过程的初速度和末速度。
（2）适用于任何形式的运动，而只适用于匀变速直线运动，不适用于非匀变逃直线运动。
（3）用平均速度求位移时，因为不涉及加速度，所以较为方便，但是矢量式，故应注意各物理量的方向。
3.逐差法
匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T 内，位移差是一个定值，即△x= x2-x1 = aT2
推导
①公式法：设物体的初速度为v0，在第1个T时间内的位移x1=v0T+aT2，2T时间内的位移x=v0·（2T）+a·（2T）2，在第2个T时间内的位移x2=x-x1=v0T+aT2，连续相等时间 T内的位移差△x=x2-x1=v0T+aT2-v0T-aT2=aT2，即△x=aT2
进一步推导可得;x2-x1=x3-x2=x4-x3=…=xn-xn-1=aT2
②图像法∶如图所示，可知x2-x1=aT2
（1）该推论揭示了做匀变速直线运动的物体在连续相等的时间内的位移差是一个定值，此结论只适用于匀变速直线运动，可以用于判断物体的运动是否是匀变速直线运动。
（2）在探究物体速度随时间变化规律的实验中根据纸带求物体的加速度时常用逐差法。
（3）xm-xn=（m-n）aT2的推导：
x2-x1=aT2，
x3-x2=aT2
…
xm-xn=（m-n）aT2
【典例1】如图所示，物体从O点开始做初速度不为零的匀加速直线运动，在第一个时间T内通过位移为s1到达A点，紧接着在第二个时间T内通过位移为s2到达B点，则以下判断正确的是
A．物体运动的加速度为
B．物体运动的加速度为
C．物体在A点的速度大小为
D．物体在B点的速度大小为
【典例2】如图所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了小球运动过程中每次曝光的位置。已知连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d，不计空气阻力。下列判断正确的是（　　）
A．小球做变加速直线运动 B．位置“1”不是小球释放的初始位置
C．小球在位置“3”的速度大小为 D．第5次曝光和第6次曝光之间距离应为5d
【典例3】小球在光滑斜面上，从点静止开始下滑，通过、、各段所用时间均为。则（　　）
A．与位移差等于与位移差
B．通过、段的位移之比为
C．通过、点的速度之比可能为
D．通过点的瞬时速度等于通过段的平均速度
【典例4】做匀加速直线运动的质点，在第内和前内的平均速度之差是，则此质点运动的加速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【典例5】一个做匀加速直线运动的物体，在前4s内经过的位移是24m，又经过4s通过的位移是72m，求这个物体的加速度和初速度各是多少？
【典例6】从斜面上某一位置每隔0.1s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片（照片与实际大小相同），测得x＝15cm，x＝20cm.试问：
（1）小球的加速度的大小；
（2）拍摄时小球在B点时的速度的大小；
（3）A点的上方滚动的小球还有几个。
重难点2：匀变速直线运动位移中点的瞬时速度
1.公式推导
设匀变速直线运动的初速度为v0、末速度为vt、加速度为a、位移为x，设物体经过这段位移的中点时的速度为，如图所示。
对前半段位移有，
对后半段位移有，两式联立可得。
2.结论
（1）匀变速直线运动位移中点的瞬时速度公式，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动。
（2）不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有>。
证明方法一：图像法。分别作出匀加速直线运动的速度—时间图像和匀减速直线运动的速度一时间图像，如图甲、乙所示。由图甲看出时刻的位移小于，因此位移为的时刻，则>;由图乙可知，所以>。因此，只要物体做匀变速直线运动，总有>。
证明方法二∶数学比较法
①作差法
。则>。
②作商法
，则>。
【典例1】做匀加速直线运动的物体，通过A、B两点的速度分别为v和3v，则该物体（ ）
A．通过A、B中点时的速度为
B．通过A、B中点时的速度为2v
C．由A到B运动一半时间时的速度为v
D．由A到B运动一半时间时的速度为2v
【典例2】做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时，其速度分别为v和7v，经历的时间为t，则（　　）
A．经A、B中点位置时的速度是5v
B．从A到B所需时间的中点时刻的速度是5v
C．AB间的距离为5vt
D．在后一半时间所通过的距离比前一半时间通过的距离多1.5vt
【典例3】滑雪者以某一初速度从斜面底端冲上斜面做匀减速直线运动，到达斜面顶端时的速度为0，已知滑雪者通过斜面中点时的速度为，则下列说法正确的是（　　）
A．滑雪者的初速度为
B．滑雪者在整个斜面上运动的平均速度为
C．前一半位移和后一半位移所需时间之比为
D．斜面长度为
重难点3：纸带问题的外理方法
1.由纸带粗略地判断物体是否做匀变速直线运动
常用“位移差法”判断物体的运动情况，即判断纸带上的任意两个连续相等的时间间隔内的位移差是否满足关系式xn+1-xn=恒量。
若x2-x1=x3-x2=x4-x3=0，则物体做匀速直线运动
若x2-x1=x3-x2=x4-x3=△x≠0，则物体做匀变速直线运动.
若利用粘贴法处理纸带，纵坐标之差即代表△x，若为定值（不为零），则物体做匀变速直线运动，否则，物体的运动不是匀变速直线运动。
2.瞬时速度 v的求法
（1）非首、末点的瞬时速度∶一般利用“平均速度法”，即n=
（2）首、末点的瞬时速度∶一般利用中间时刻瞬时速度等于相邻时刻的速度的平均值，即
若为理想纸带（即不考虑△x的误差），可将首、末点前延或后补一段位移，该段位移的大小为x±△x，从而使首、末点变为非首末点进行处理。
3.由纸带求物体运动加速度的方法
（1）利用“逐差法”求加速度。若为偶数段（假设为6段），则，，，然后取平均值，即；或由直接求得。这相当于把纸带分成两份，此法又叫"整体二分法".
（2）图像法∶
①瞬时速度一时间图像∶图线斜率表示加速度a，先根据匀变速直线运动中某段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，求出打第n个点时的瞬时速度，然后作出v-t图像，则图线的斜率表示物体运动的加速度，即a=。
②平均速度—时间图像∶斜率代表a。
如图所示，x代表物体自计时起点t时间内发生的位移，符合匀变速直线运动的位移—时间关系式x =v0＋at2，故 ，即此时图线的斜率k =a。
要点4：几种常见纸带的处理
1.连续型纸带
如图甲所示纸带中，可以连续测得计数点0到各个计数点间的距离;如图乙所示纸带中，可以测得具有相等时间间隔的相邻各个计数点间的距离.
以上两种均为连续型纸带，可以直接采用逐差法△x=aT2求匀变速直线运动的加速度。
2.间隔型纸带
如图所示纸带中，由于某种原因导致纸带的某一段或某几段的数据丢失或不可测量，这种纸带即为间隔型纸带，可以采用重新选取计数点法，将（s1+s2）视为一段，（s5+s6）视为另一段，利用xm-xn=（m-n）aT2求解加速度a即可。
3.重叠型纸带
如图所示的纸带，测量过程中所测距离有一部分重叠，这种即为重叠型纸带，可利用已知数据之差x2-x1，结合x2→3-x0→1=2aT2，从而求得加速度a。
【典例1】某一学习小组的同学用如图甲所示装置研究匀变速直线运动的规律，打点计时器在小车拖动的纸带上打下一系列点迹，以此记录小车的运动情况。图乙中A、B、C、D、E为每隔3个计时点所取的计数点。打点计时器电源频率为50Hz。
（1）打点计时器是一种______（选填“计时”或“测位移”）的仪器，图甲中电火花打点计时器的工作电压为______（选填“直流”或“交流”）_____V（选填“220V”或“8V”）。
（2）除打点计时器（纸带、墨粉纸盘）、小车、一端附有滑轮的长木板、细绳、砝码、导线及开关外，在下列仪器和器材中，还需要使用的有________
A．天平
B．电压可调的直流电源
C．刻度尺
D．秒表
（3）在某次实验中，小车拖着纸带通过计时器记录下的运动情况如图乙所示，则v = ___________m/s，a = ___________m/s2。（结果均保留2位有效数字）
【典例2】在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用打点计时器打下的纸带，点迹分布如图所示。打点计时器接频率为f的交流电源。
（1）该实验_________平衡摩擦力，_________满足钩码质量远小于木块的质量（均选填“需要”或“不需要”）；
（2）打下点6时纸带的速度大小_________（用给定的字母表示）；
（3）如果实验中交变电流的频率f变大，而当时做实验的同学并不知道，那么测得的速度值比真实值_________（选填“偏大”或“偏小”）。
一、单选题
1．甲、乙两辆汽车以相同的速度沿两条平直车道同向匀速行驶，两车行驶至路口附近时发现再经时间t0绿灯就要熄灭，于是同时开始刹车，恰好同时停在停止线处，该过程中甲、乙两车的v—t图像分别为图中直线a和曲线b所示，假设汽车可看成质点。由图可知（ ）
A．0时刻，甲、乙两车恰好并排
B．0—t0时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度
C．时刻，甲、乙两车的瞬时速度大小相等
D．0—t0时间内，甲车的加速度始终大于乙车的加速度
2．甲、乙两个物体沿同一方向做直线运动，其v—t图像如图所示。关于两车的运动情况，下列说法正确的是（　　）
A．在4s~6s内，甲、乙两物体的加速度大小相等，方向相反
B．前6s内甲通过的路程更大
C．在t=2s至t=6s内，甲相对乙静止
D．甲、乙两物体一定在2s末相遇
3．用如图所示的计时装置可以近似测出气垫导轨上滑块的瞬时速度。已经固定在滑块上的遮光条的宽度为4.0mm，遮光条经过光电门的遮光时间为0.040s，则滑块经过光电门位置时的速度大小为（　　）
A．0.10m/s B．100m/s C．4.0m/s D．0.40m/s
4．某质点做初速度为零的匀加速直线运动，在运动过程中的总时间分为相等的3段，且在第一段时间的位移是1.8m，则小球在第三段时间的位移是（　　）
A．1.8m B．7.2m C．9.0m D．16.2m
5．某同学跑步过程中的图像如图所示，图线为一条不过坐标原点的直线，假定该同学沿水平直线道路前进，下列说法正确的是（　　）
A．运动的速度与位移成线性规律变化
B．运动到处的时间为
C．运动到处的时间为
D．运动的加速度保持不变
6．北京时间2022年11月20日晩上23：00时，第22届世界杯在卡塔尔正式开幕，图为一个足球被踢出后每隔0.1s拍下的频闪照片，，，，，由此可以判定（　　）
A．足球做匀变速直线运动
B．足球的加速度大小为
C．足球的初速度大小
D．整个过程中足球的平均速度大小为8m/s
7．据了解，CR300AF型复兴号动车组是拥有完全自主国产研发的中国标准动车组体系中的新车型。该车型设计时速为300千米每小时，外观呈淡蓝色，除此之外复兴号动车组全车覆盖免费wifi，且每两个座椅有一个插座。假设一列复兴号动车进站时从某时刻起做匀减速直线运动，分别用时3s、2s、1s连续通过三段位移后停下，则这三段位移的平均速度之比是 （　　）
A．9：4：1 B．27：8：1 C．5：3：1 D．3：2：1
二、多选题
8．小汽车甲和乙同时从同一地点向同一方向出发，两小汽车的v—t图像如图所示，两车在运动过程中，始终不会发生碰撞，下列关于两小汽车的运动分析合理的是（ ）

A．在前2s内，小汽车甲的平均速度比小汽车乙的平均速度大
B．乙追上甲之前，两辆小汽车相隔的最远距离xmax= 10m
C．在t = 2s后，以小汽车乙为参考系，小汽车甲在后退
D．在第2s末小汽车甲、乙相遇
三、实验题
9．某实验小组用如图（a）所示装置探究小车做匀变速直线运动的规律。
（1）请在下列实验器材中，选出本实验中不需要的器材：_______（填编号）。
①电火花计时器②电压频率的交流电源③细线和纸带钩码和小车⑤刻度尺⑥秒表⑦一端带有滑轮的长木板
（2）①甲同学得到如图（b）所示的一条纸带，在纸带上每5个点选取1个计数点，依次标记为A、B、C、D、E。测量时发现B点已经模糊不清，于是他测得AC长为、CD长为、DE长为，则小车运动的加速度大小为_______，A、B间的距离应为_______cm。（均保留三位有效数字）
②若打点计时器实际工作频率，电压不变，而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值________（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。
（3）乙同学得到点迹清晰的纸带如图（c），在纸带上取六个计数点（各点到纸带两侧距离相等），标记为A、B、C、D、E、F，相邻两点的间距依次记为，相邻计数点的时间间隔记为T。从每个计数点处将纸带剪开分成五段，将五段纸带两侧依次靠紧但不重叠，沿下端各计数点连线作横轴，沿AB段左侧作纵轴，上端各计数点拟合成一条倾斜直线，如图（d）所示。
①若用横轴表示时间t，纸带宽度表示T，纵轴表示，则倾斜直线的斜率表示的物理量是________（填序号）
A．位移 B．瞬时速度 C．T内瞬时速度的变化量 D．加速度
②若用纵轴表示，纸带宽度表示________（用题中所给物理量符号写出表达式），则倾斜直线的斜率就表示纸带运动的加速度。
四、解答题
10．一辆汽车以72km/h的速度行驶，现因紧急事故刹车并最终停止运动。已知汽车刹车过程中的加速度大小为4m/s2，若从刹车瞬间开始计时，求：
（1）汽车2s末的速度；
（2）汽车前2s的位移；
（3）汽车前6s的位移。
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——划重点之初升高暑假预习强化精细讲义
知识点1：匀速直线运动的位移
1.位移公式
x= vt，方向由起点指向终点。
2.v-t 图像
如图所示，图线与t轴所围图形的面积在数值上等于物体在这段时间内的位移的大小。当“面积”在t轴上方时，表示物体的位移与规定的正方向相同，位移为正；当“面积”在t轴下方时，表示物体的位移与规定的正方向相反，位移为负。
对相对位移的理解
如图1所示，甲、乙同向运动，面积之差为甲、乙的相对位移;如图2所示，甲、乙反向运动，面积之和为甲、乙的相对位移。
知识点2： 匀变速直线运动的位移
1.微分思想在匀变速直线运动的v-t 图像中的应用
（1）微分思想是先把过程无限分割，以“不变”近似代替“变”，然后再进行累加的思想。
如图所示，在匀变速直线运动中，速度时刻变化，但从图中可以看出，若△t时间内速度的变化非常小，△t内的运动就可近似看成匀速运动，Si=vi△t，S面积=v1△t+v2△t＋v3△t+…，但每一个△t内的速度v都小于实际的速度，故S面积只能粗略表示0～t0时间内的位移。
当△t→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图线与t轴所围图形的面积，此面积更能精确表示0～t0时间内的位移。
（2）匀变速直线运动的v-t图线与t轴所围图形的面积在数值上等于相应时间内物体的位移，此结论可以推至任何直线运动。
2.匀变速直线运动的位移的表达式
（1）公式推导
如图所示，匀变速直线运动在0～t时间内的位移在数值上等于直线AP与t轴围成的梯形OAPQ的面积。
方法1∶x=x1+x2=OA·OQ＋AR·RP=v0t+at·t，即位移x=v0t+at2。
方法2∶x=（OA＋QP）×0Q，即x=（v0＋v）t，又v=v0＋at，联立可得x=v0t+at2。
x=v0t+at2是匀变速直线运动的位移与时间的关系式。
对x=v0t+at2的理解
①适用范围∶位移-时间关系式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，此关系式适用于加速度恒定的直线运动。
②矢量性∶公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，若题目中未特殊说明，一般选取初速度v0方向为正方向。若a与v0同向，a取正值，物体做匀加速直线运动，若a与v0反向，a取负值，物体做匀减速直线运动，计算出位移的正负表示位移的方向。
③公式的基本应用∶公式中包含四个物理量，不涉及末速度，已知其中任意三个物理量时，可求出剩余的一个物理量。公式中各物理量应取国际单位制单位。
公式x=v0t+at2经常与公式v=v0＋at联立使用，两公式中共有五个物理量，已知任意三个物理量，可以求出剩余的两个物理量。
（1）匀变速直线运动的v-t图像
如图所示，0～t1时间内的位移x1取正值，t1～t2时间内的位移x2取负值，则0～t2时间内的总位移为x1与x2的代数和，总路程为Ix1I＋lx2I。
（2）匀加速直线运动的x-t图像
①匀加速直线运动的位移—时间图像为抛物线的一部分，位移与时间是二次函数关系，位移不是随时间均匀增大的。
②由于曲线图像较为复杂，故一般应用化曲为直的思想，将x-t图像转化为-t图像再分析。
（3）位移—时间公式的适用范围
位移—时间公式既适用于匀加速直线运动（如图线①），也适用于匀减速直线运动（如图线②），图线③整体上不是匀加速直线运动，也不是匀减速直线运动，但它是加速度恒定的匀变速直线运动，公式也适用。
（4）位移公式的两种特殊形式
①当a= 0时，x=v0t（匀速直线运动）。
②当v0= 0时，x=at2，即位移与时间的平方成正比。
（5） 匀减速直线运动的位移表达式
物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值，位移表达式可以写成x=v0t-at2（a代入的数值应为正值），也可以写成x=v0t+at2（a代入的数值应为负值）。
逆向思维法∶末速度为零的匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动。
（1）汽车刹车问题、子弹射入木块问题、物体在斜面上上滑到最高点问题均可以利用逆向思维法求解。
（2）对匀加速直线运动，若不知道初速度大小，只知道末速度大小为v，加速度为a，则时间t内的位移也可以逆向表示为x=vt-at2。
【典例1】冰壶是冬奥会的一个竞赛项目。如图为我国运动员在北京冬奥会比赛中投掷冰壶的情形，冰壶以某一初速度被投出后做匀减速直线运动，用时停止，已知停止运动前最后内位移大小为，则冰壶的初速度大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将冰壶看成初速度为0的反向匀加速直线运动，根据
得
则冰壶的初速度大小为
故选B。
【典例2】从静止开始做匀加速直线运动的物体，通过前一半位移和后一半位移所用时间的比值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】通过前一半位移和后一半位移所用时间的比值为
故选A。
【典例3】一个质点在轴上运动，位置随时间的变化规律是，关于这个质点的运动，以下说法正确的是（　　）
A．质点做匀速直线运动
B．质点的加速度的大小为，方向沿轴正方向
C．时质点的位置在处
D．时质点的速度大小为，方向沿轴正方向
【答案】B
【详解】AB．根据题意，由公式结合位置随时间的变化规律，可得
可知，质点在轴上做初速度为，加速度为的匀加速直线运动，故A错误，B正确；
C．由位置随时间的变化规律可得，时质点的位置在
故C错误；
D．由公式可得，时质点的速度大小为
方向沿轴正方向，故D错误。
故选B。
【典例4】如图（a）所示，甲、乙两车在同一平直公路上同向行驶，时刻两车刚好相遇，两车的速度随时间变化的图像如图（b）所示，下列说法正确的是（　　）
A．在耐，两车再次相遇
B．在时，甲、乙两车速度相同
C．在这段时间内，甲车的加速度先变大后变小
D．在这段时间内，乙车做匀速直线运动
【答案】B
【详解】A．时刻两车刚好相遇，又根据题图可知，在时，甲车速度大于乙车，甲车一直在乙车前方，在时，两车不会相遇，故A错误；
B．由题图可知，在时，甲乙两车速度相同，故B正确；
C．由题图可知，在这段时间内，甲车的图像倾斜程度先变小后变大，因此甲车加速度先变小后变大，故C错误；
D．在这段时间内，乙车的图像的斜率不变，乙车做匀加速直线运动，故D错误。
故选B。
【典例5】一个物块在光滑的水平面上受到水平恒力F的作用，从静止开始做匀加速直线运动，计时开始的图像如甲所示v2-x图像如图乙所示，据图像的特点与信息分析，下列说法正确的是（　　）
A．x=1m时物体的速度为8m/s
B．图乙的斜率是图甲的斜率的2倍
C．图甲中的y=8m/s
D．t=1s时物体的速度为4m/s
【答案】D
【详解】A．当x=1m，由图乙可知
解得
故A错误；
BC．由初速度为0的匀加速直线运动规律可得
则有
可得甲图的斜率为
由
可知乙图的斜率为
解得
则
图甲中的y=4m/s，故BC错误；
D．t=1s时物体的速度为
故D正确。
故选D。
【典例6】某物体做匀加速直线运动，其初速度为2.25m/s，加速度为，求：
（1）物体在3s内的位移；
（2）物体在第3s内的位移；
（3）物体在第7s内的位移。
【答案】（1）7.2m；（2）2.5m；（3）2.9m
【详解】（1）由题意可得：物体在加速过程中，在3s内位移由公式可得
（2）在2s内位移由公式可得
则物体在第3s内的位移为
（3）物体在第7s内的位移为
知识点3： 匀变速直线运动的速度与位移的关系
1.公式推导
物体以加速度a做匀变速直线运动时，速度公式v=v0＋at，位移公式x=v0t+at2，联立消去时间t可得速度与位移的关系式为v2-v02=2ax。
如果匀变速直线运动的已知量和未知量都不涉及时间，利用公式v2-v02=2ax求解问题时，往往比用两个基本公式解题方便。
2.对公式v2-v02=2ax的理解
（1）v2-v02=2ax为矢量式，适用于匀变速直线运动，x、v0、v、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度 v0的方向为正方向。
①匀加速直线运动，a取正值;匀减速直线运动，a取负值。
②位移与正方向相同，x取正值;位移与正方向相反，x取负值。
（2）特殊情况∶当v0=0时，公式简化为v2=2ax（物体做初速度为零的匀加速直线运动）;当v=0时，公式简化为-v02=2ax（物体做匀减速直线运动直到静止），也可以视为从静止开始、末速度为v0的反向的匀加速直线运动。
（1）匀减速直线运动的速度与位移的关系
公式x =中，a和x可以同时取负值，表示物体做匀减速直线运动，速度减为零后反向做匀加速直线运动。但需要注意的是，若汽车刹车时，速度减为零后即静止，故a为负，x不可能为负。
（2）用公式v2-v02=2ax求出的速度有“+”有“-”。要根据实际情况来判断“+”有“-”是否都有意义。
知识点4：匀变速直线运动规律总结
1.匀变速直线运动的基本关系式及推论
（1）速度与时间关系式∶v=v0＋at①，题目中不涉及位移x，可直接选用。
（2）位移与时间关系式∶x=v0t+at2②，题目中不涉及末速度v，方便使用。
（3）速度与位移关系式∶v2-v02=2ax③，题目中不涉及时间t，可直接选用。
（4）平均速度求位移公式∶x =④，题目中不涉及加速度a，方便使用。
（5）纸带数据常用推论公式∶△x=aT2⑤，未涉及物理量v。
（1）前三个公式包括五个物理量v、v0、a、x、t，已知其中任意三个，可求其余两个。
以上公式中①②为匀变速直线运动的基本公式，③是①②的导出式，④⑤为推论式，公式中涉及初速度v0、末速度v、加速度a、位移x和时间t五个物理量，这五个物理量中前四个都是矢量，应用时要规定统一的正方向（通常取v0的方向为正方向），并注意各物理量的正负。
（2）匀变速直线运动的公式及推论
【典例1】在一次交通事故中，警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是16m，该车辆的刹车加速度大小是，该路段的限速为60km/h．则该车（　　）
A．刹车所用的时间为4s
B．该肇事车没有超速
C．刹车过程的平均速度为16m/s
D．刹车最后一秒的位移为8m
【答案】B
【详解】A．刹车所用的时间为
选项A错误；
B．刚刹车时的速度
该肇事车没有超速，选项B正确；
C．刹车过程的平均速度为
选项C错误；
D．由逆向思维可知，刹车最后一秒的位移为
选项D错误。
故选B。
【典例2】一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，经过斜面中点时速度为2m/s，则物体到达斜面底端时的速度为（　　）
A． B．3m/s C．4m/s D．6m/s
【答案】A
【详解】设斜面长度为2L

解得
故选A。
【典例3】一辆汽车从车站开出，做匀加速直线运动，它开出一段时间后，司机突然发现有一乘客未上车，急忙制动，车又作匀减速直线运动，结果汽车从开始起动到停止共用t＝10s，前进了x＝15m，则此过程中汽车达到的最大速度vm是（　　）
A．5m/s B．3m/s C．4m/s D．无法确定
【答案】B
【详解】做出汽车10s内的速度时间图像如图，根据速度时间图线与时间轴围成的面积等于位移有
则
故选B。
重难点1：匀变速直线运动的重要推论
1.平均速度
（1）平均速度的一般表达式∶，适用于任何形式的运动。
（2）匀变速直线运动中，某段过程的平均速度等于初、末速度的平均值，即
推导∶
（方法一）如图所示为匀变速直线运动的v-t图像，则t时间内的位移为图线与横轴围成的梯形的面积，即x=（v0+vt）t，故平均速度。
（方法二）在匀变速直线运动中，某一段时间t的末速度vt=v0+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移一时间公式整理可得，即
2.中间时刻的速度
匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，即：
推导∶
在方法一的v-t图像中，在0～，有；在～t，有可得。
（1）平均速度是过程量，公式中的v0和vt表示所取过程的初速度和末速度。
（2）适用于任何形式的运动，而只适用于匀变速直线运动，不适用于非匀变逃直线运动。
（3）用平均速度求位移时，因为不涉及加速度，所以较为方便，但是矢量式，故应注意各物理量的方向。
3.逐差法
匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T 内，位移差是一个定值，即△x= x2-x1 = aT2
推导
①公式法：设物体的初速度为v0，在第1个T时间内的位移x1=v0T+aT2，2T时间内的位移x=v0·（2T）+a·（2T）2，在第2个T时间内的位移x2=x-x1=v0T+aT2，连续相等时间 T内的位移差△x=x2-x1=v0T+aT2-v0T-aT2=aT2，即△x=aT2
进一步推导可得;x2-x1=x3-x2=x4-x3=…=xn-xn-1=aT2
②图像法∶如图所示，可知x2-x1=aT2
（1）该推论揭示了做匀变速直线运动的物体在连续相等的时间内的位移差是一个定值，此结论只适用于匀变速直线运动，可以用于判断物体的运动是否是匀变速直线运动。
（2）在探究物体速度随时间变化规律的实验中根据纸带求物体的加速度时常用逐差法。
（3）xm-xn=（m-n）aT2的推导：
x2-x1=aT2，
x3-x2=aT2
…
xm-xn=（m-n）aT2
【典例1】如图所示，物体从O点开始做初速度不为零的匀加速直线运动，在第一个时间T内通过位移为s1到达A点，紧接着在第二个时间T内通过位移为s2到达B点，则以下判断正确的是
A．物体运动的加速度为
B．物体运动的加速度为
C．物体在A点的速度大小为
D．物体在B点的速度大小为
【答案】BC
【分析】正确解答本题需要掌握：匀变速直线运动特点，熟练应用匀变速直线运动的推论公式进行有关问题的解答．
【详解】AB．由△s=aT2得物体的加速度为，故A错误，B正确；
C．A点为该过程中时间的中点，根据匀变速直线运动规律可知，该点的瞬时速度等该过程中的平均速度，即，故C正确；
D．根据匀变速运动的速度公式有，故D错误；
故选BC．
【典例2】如图所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了小球运动过程中每次曝光的位置。已知连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d，不计空气阻力。下列判断正确的是（　　）
A．小球做变加速直线运动 B．位置“1”不是小球释放的初始位置
C．小球在位置“3”的速度大小为 D．第5次曝光和第6次曝光之间距离应为5d
【答案】BC
【详解】A．由图可知，每两个相邻的点之间的距离差是一样的，即小球做匀加速直线运动，由匀变速直线运动推论
可知
即该小球运动为匀加速直线运动，故A项错误；
B．由于时间的间隔相同，所以2点瞬时速度大小为1、3之间的平均速度的大小，所以
根据
可知点1的速度大小为
不是小球的初始位置，故B项正确；
C．点3的瞬时速度的大小为2、4之间的平均速度的大小，可得
故C项正确；
D．由题图可知，第四次和第五次曝光之间的距离为5d，因为小球是做匀加速直线运动，设第五次和第六次曝光之间的距离为x，有
解得
故D项错误。
故选BC。
【典例3】小球在光滑斜面上，从点静止开始下滑，通过、、各段所用时间均为。则（　　）
A．与位移差等于与位移差
B．通过、段的位移之比为
C．通过、点的速度之比可能为
D．通过点的瞬时速度等于通过段的平均速度
【答案】ABD
【详解】A．由匀变速直线运动关系可得，连续相等的时间间隔内位移差都相等，设加速度大小为，所以
A正确；
B．通过、段的位移之比为
B正确；
C．由运动学公式，通过、点的速度之比为
C错误；
D．由运动学知识可得，中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，因为点是段的中间时刻，通过点的瞬时速度等于通过段的平均速度，D正确。
故选ABD。
【典例4】做匀加速直线运动的质点，在第内和前内的平均速度之差是，则此质点运动的加速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据匀变速直线运动规律：某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段的平均速度，则第6s内的平均速度等于5.5s时刻的瞬时速度，前内的平均速度等于2.5s时刻的瞬时速度，依题意由加速度定义式可得
故选A。
【典例5】一个做匀加速直线运动的物体，在前4s内经过的位移是24m，又经过4s通过的位移是72m，求这个物体的加速度和初速度各是多少？
【答案】3m/s2；0
【详解】第1个4s内的位移为：s1=v0t+at2
第2个4s内的位移为：s2=v0（2t）+a（2t）2-（v0t+at2）
将s1=24m、s2=72m、t=4s代入上式，
解得：a=3m/s2，v0=0 m/s
【点睛】本题运用运动学的位移公式分别对两段位移进行列式，得到关于加速度和初速度的两个方程，再解方程组求解的，也可以运用匀变速直线运动的推论△x=aT2求解．
【典例6】从斜面上某一位置每隔0.1s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片（照片与实际大小相同），测得x＝15cm，x＝20cm.试问：
（1）小球的加速度的大小；
（2）拍摄时小球在B点时的速度的大小；
（3）A点的上方滚动的小球还有几个。
【答案】（1）5m/s2；（2）1.75m/s；（3）2个
【详解】（1）由推论
Δx=aT2
可知，小球加速度为
（2）由题意知B点对应AC段的中间时刻，所以B点的速度等于AC段的平均速度，即
（3）设A点处小球的速度为vA，由于
vA=vB－aT=1.25m/s
所以A点处小球的运动时间为
tA==0.25s
所以在A点的上方滚动的小球还有2个。
重难点2：匀变速直线运动位移中点的瞬时速度
1.公式推导
设匀变速直线运动的初速度为v0、末速度为vt、加速度为a、位移为x，设物体经过这段位移的中点时的速度为，如图所示。
对前半段位移有，
对后半段位移有，两式联立可得。
2.结论
（1）匀变速直线运动位移中点的瞬时速度公式，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动。
（2）不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有>。
证明方法一：图像法。分别作出匀加速直线运动的速度—时间图像和匀减速直线运动的速度一时间图像，如图甲、乙所示。由图甲看出时刻的位移小于，因此位移为的时刻，则>;由图乙可知，所以>。因此，只要物体做匀变速直线运动，总有>。
证明方法二∶数学比较法
①作差法
。则>。
②作商法
，则>。
【典例1】做匀加速直线运动的物体，通过A、B两点的速度分别为v和3v，则该物体（ ）
A．通过A、B中点时的速度为
B．通过A、B中点时的速度为2v
C．由A到B运动一半时间时的速度为v
D．由A到B运动一半时间时的速度为2v
【答案】AD
【详解】AB．根据
，
解得
故A正确，B错误；
CD．根据匀变速直线运动推论，中间时刻速度等于速度的平均值，则由A到B运动一半时间时的速度为2v，故C错误，D正确。
故选AD。
【典例2】做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时，其速度分别为v和7v，经历的时间为t，则（　　）
A．经A、B中点位置时的速度是5v
B．从A到B所需时间的中点时刻的速度是5v
C．AB间的距离为5vt
D．在后一半时间所通过的距离比前一半时间通过的距离多1.5vt
【答案】AD
【详解】A．设A、B中点的位置为C，设
物体经过A、B中点位置C时的速度为v1，根据速度与位移关系公式有
，
联立解得
故A正确；
B．从A到B所需时间的中点（）的速度等于AB间的平均速度
故B错误；
C．A、B的间距
故C错误；
D．前一半时间通过的距离
后一半时间所通过的距离
所以后一半时间所通过的距离比前一半时间通过的距离多
故D正确。
故选AD。
【典例3】滑雪者以某一初速度从斜面底端冲上斜面做匀减速直线运动，到达斜面顶端时的速度为0，已知滑雪者通过斜面中点时的速度为，则下列说法正确的是（　　）
A．滑雪者的初速度为
B．滑雪者在整个斜面上运动的平均速度为
C．前一半位移和后一半位移所需时间之比为
D．斜面长度为
【答案】B
【详解】A．设滑雪者在斜面上的加速度大小为，斜面的长度为，滑雪者的初速度为，滑雪者通过斜面中点时的速度为，则有
解得
A错误；
B．滑雪者在斜面上做匀变速运动，则平均速度为
B正确；
C．前一半位移和后一半位移所需时间分别、，则有
则
C错误；
D．斜面的位移为
滑雪者的加速度、运动时间未知，则无法计算斜面的长度，D错误。
故选B。
重难点3：纸带问题的外理方法
1.由纸带粗略地判断物体是否做匀变速直线运动
常用“位移差法”判断物体的运动情况，即判断纸带上的任意两个连续相等的时间间隔内的位移差是否满足关系式xn+1-xn=恒量。
若x2-x1=x3-x2=x4-x3=0，则物体做匀速直线运动
若x2-x1=x3-x2=x4-x3=△x≠0，则物体做匀变速直线运动.
若利用粘贴法处理纸带，纵坐标之差即代表△x，若为定值（不为零），则物体做匀变速直线运动，否则，物体的运动不是匀变速直线运动。
2.瞬时速度 v的求法
（1）非首、末点的瞬时速度∶一般利用“平均速度法”，即n=
（2）首、末点的瞬时速度∶一般利用中间时刻瞬时速度等于相邻时刻的速度的平均值，即
若为理想纸带（即不考虑△x的误差），可将首、末点前延或后补一段位移，该段位移的大小为x±△x，从而使首、末点变为非首末点进行处理。
3.由纸带求物体运动加速度的方法
（1）利用“逐差法”求加速度。若为偶数段（假设为6段），则，，，然后取平均值，即；或由直接求得。这相当于把纸带分成两份，此法又叫"整体二分法".
（2）图像法∶
①瞬时速度一时间图像∶图线斜率表示加速度a，先根据匀变速直线运动中某段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，求出打第n个点时的瞬时速度，然后作出v-t图像，则图线的斜率表示物体运动的加速度，即a=。
②平均速度—时间图像∶斜率代表a。
如图所示，x代表物体自计时起点t时间内发生的位移，符合匀变速直线运动的位移—时间关系式x =v0＋at2，故 ，即此时图线的斜率k =a。
要点4：几种常见纸带的处理
1.连续型纸带
如图甲所示纸带中，可以连续测得计数点0到各个计数点间的距离;如图乙所示纸带中，可以测得具有相等时间间隔的相邻各个计数点间的距离.
以上两种均为连续型纸带，可以直接采用逐差法△x=aT2求匀变速直线运动的加速度。
2.间隔型纸带
如图所示纸带中，由于某种原因导致纸带的某一段或某几段的数据丢失或不可测量，这种纸带即为间隔型纸带，可以采用重新选取计数点法，将（s1+s2）视为一段，（s5+s6）视为另一段，利用xm-xn=（m-n）aT2求解加速度a即可。
3.重叠型纸带
如图所示的纸带，测量过程中所测距离有一部分重叠，这种即为重叠型纸带，可利用已知数据之差x2-x1，结合x2→3-x0→1=2aT2，从而求得加速度a。
【典例1】某一学习小组的同学用如图甲所示装置研究匀变速直线运动的规律，打点计时器在小车拖动的纸带上打下一系列点迹，以此记录小车的运动情况。图乙中A、B、C、D、E为每隔3个计时点所取的计数点。打点计时器电源频率为50Hz。
（1）打点计时器是一种______（选填“计时”或“测位移”）的仪器，图甲中电火花打点计时器的工作电压为______（选填“直流”或“交流”）_____V（选填“220V”或“8V”）。
（2）除打点计时器（纸带、墨粉纸盘）、小车、一端附有滑轮的长木板、细绳、砝码、导线及开关外，在下列仪器和器材中，还需要使用的有________
A．天平
B．电压可调的直流电源
C．刻度尺
D．秒表
（3）在某次实验中，小车拖着纸带通过计时器记录下的运动情况如图乙所示，则v = ___________m/s，a = ___________m/s2。（结果均保留2位有效数字）
【答案】 计时 交流 220V C 0.33 0.63
【详解】（1）[1][2][3]打点计时器是一种计时的仪器，图甲中电火花打点计时器的工作电压为交流220V。
（2）[2]A．本实验不涉及质量的测量，不需要天平，A错误；
B．本实验电火花计时器使用的是交流电源，不需要电压可调的直流电源，B错误；
C．本实验纸带上点间距需要刻度尺来测量，C正确；
D．打点计时器本身就是计时仪器，不需要秒表，D错误。
故选C。
（3）[4]由题知，图乙中A、B、C、D、E为每隔3个计时点所取的计数点，则
T = 0.08s
根据匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度可知打B点时小车的速度大小为
[5]根据逐差法可得小车运动的加速度大小为
【典例2】在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用打点计时器打下的纸带，点迹分布如图所示。打点计时器接频率为f的交流电源。
（1）该实验_________平衡摩擦力，_________满足钩码质量远小于木块的质量（均选填“需要”或“不需要”）；
（2）打下点6时纸带的速度大小_________（用给定的字母表示）；
（3）如果实验中交变电流的频率f变大，而当时做实验的同学并不知道，那么测得的速度值比真实值_________（选填“偏大”或“偏小”）。
【答案】 不需要 不需要 偏小
【详解】（1）[1][2]该实验是研究匀变速直线运动，只需要保证合力一定，不需要平衡摩擦力，也不需要满足钩码质量远小于木块的质量。
（2）[3]根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的速度，打下点6时纸带的速度大小为
（3）[4]根据
如果实验中交变电流的频率f变大，而当时做实验的同学并不知道，则代入计算的频率f偏小，那么测得的速度值比真实值偏小。
一、单选题
1．甲、乙两辆汽车以相同的速度沿两条平直车道同向匀速行驶，两车行驶至路口附近时发现再经时间t0绿灯就要熄灭，于是同时开始刹车，恰好同时停在停止线处，该过程中甲、乙两车的v—t图像分别为图中直线a和曲线b所示，假设汽车可看成质点。由图可知（ ）
A．0时刻，甲、乙两车恰好并排
B．0—t0时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度
C．时刻，甲、乙两车的瞬时速度大小相等
D．0—t0时间内，甲车的加速度始终大于乙车的加速度
【答案】B
【详解】AB．0—t0时间内，甲车的位移大于乙车的位移，所以0时刻甲车在后，0—t0时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度，A错误、B正确；
C．时刻，甲车的速度大于乙车的速度，C错误；
D．0—t0时间内，甲车的加速度先小于乙车的加速度，后大于乙车的加速度，D错误。
故选B。
2．甲、乙两个物体沿同一方向做直线运动，其v—t图像如图所示。关于两车的运动情况，下列说法正确的是（　　）
A．在4s~6s内，甲、乙两物体的加速度大小相等，方向相反
B．前6s内甲通过的路程更大
C．在t=2s至t=6s内，甲相对乙静止
D．甲、乙两物体一定在2s末相遇
【答案】B
【详解】A．由v—t图像的斜率表示加速度，可知在4s~6s内，甲、乙两物体的加速度大小相等，方向相同，A错误；
B．由v—t图像与时间轴所围面积表示位移，可知在0~2s内，甲、乙两物体的位移相等，此时间内的路程也相等，在2s~6s内，路程等于位移大小的之和，可知甲通过的路程更大，因此在前6s内甲通过的路程更大，B正确；
C．在t=2s至t=6s内，甲物体一直在做匀减速直线运动，乙物体先做匀减速直线运动后沿负方向做匀加速直线运动，C错误；
D．在前2s内，甲、乙两物体的位移相等，可甲、乙两物体的出发点位置不一定相同，因此甲、乙两物体不一定在2s末相遇，D错误。
故选B。
3．用如图所示的计时装置可以近似测出气垫导轨上滑块的瞬时速度。已经固定在滑块上的遮光条的宽度为4.0mm，遮光条经过光电门的遮光时间为0.040s，则滑块经过光电门位置时的速度大小为（　　）
A．0.10m/s B．100m/s C．4.0m/s D．0.40m/s
【答案】A
【详解】遮光条经过光电门的遮光时间很短，所以可以把遮光条经过光电门的平均速度当作滑块经过光电门位置时的瞬时速度，即
故选A。
4．某质点做初速度为零的匀加速直线运动，在运动过程中的总时间分为相等的3段，且在第一段时间的位移是1.8m，则小球在第三段时间的位移是（　　）
A．1.8m B．7.2m C．9.0m D．16.2m
【答案】C
【详解】根据初速度为零的匀加速直线运动推论，从开始起，连续相等的时间间隔内通过的位移之比为，可知小球在第三段时间的位移为
故选C。
5．某同学跑步过程中的图像如图所示，图线为一条不过坐标原点的直线，假定该同学沿水平直线道路前进，下列说法正确的是（　　）
A．运动的速度与位移成线性规律变化
B．运动到处的时间为
C．运动到处的时间为
D．运动的加速度保持不变
【答案】C
【详解】A．由图像可知，与是线性关系，但与不是线性关系，故A错误；
BC．根据微元法，在图像中选取一微元，则图像与横轴围成的面积为
可知图像与横轴围成的面积表示运动时间，则某同学运动到处的时间为
故B错误，C正确；
D．图像与横轴围成的面积表示运动时间，由题图可知，增大相同的位移，速度的倒数变大，则速度变小，所用时间变长；根据
可知速度的变化量大小变小，根据
可知加速度减小，故D错误。
故选C。
6．北京时间2022年11月20日晩上23：00时，第22届世界杯在卡塔尔正式开幕，图为一个足球被踢出后每隔0.1s拍下的频闪照片，，，，，由此可以判定（　　）
A．足球做匀变速直线运动
B．足球的加速度大小为
C．足球的初速度大小
D．整个过程中足球的平均速度大小为8m/s
【答案】A
【详解】A．连续相等时间内的位移差为
所以足球做匀变速直线运动，故A正确；
B．由，可得足球的加速度大小为
故B错误；
C．图中第二个球的速度
则球的初速度
故C错误；
D．整个过程中足球的平均速度大小为
故D错误。
故选A。
7．据了解，CR300AF型复兴号动车组是拥有完全自主国产研发的中国标准动车组体系中的新车型。该车型设计时速为300千米每小时，外观呈淡蓝色，除此之外复兴号动车组全车覆盖免费wifi，且每两个座椅有一个插座。假设一列复兴号动车进站时从某时刻起做匀减速直线运动，分别用时3s、2s、1s连续通过三段位移后停下，则这三段位移的平均速度之比是 （　　）
A．9：4：1 B．27：8：1 C．5：3：1 D．3：2：1
【答案】A
【详解】可将动车减速过程看作初速度为0的匀加速过程，根据匀变速直线运动规律可知最后3s、2s、1s连续通过三段位移的比为27：8：1，根据平均速度的计算公式，可知这三段位移的平均速度之比是9：4：1，故A正确，BCD错误。
故选A。
二、多选题
8．小汽车甲和乙同时从同一地点向同一方向出发，两小汽车的v—t图像如图所示，两车在运动过程中，始终不会发生碰撞，下列关于两小汽车的运动分析合理的是（ ）

A．在前2s内，小汽车甲的平均速度比小汽车乙的平均速度大
B．乙追上甲之前，两辆小汽车相隔的最远距离xmax= 10m
C．在t = 2s后，以小汽车乙为参考系，小汽车甲在后退
D．在第2s末小汽车甲、乙相遇
【答案】ABC
【详解】AD．由于v—t图像的图线与坐标轴围成的面积代表物体运动的位移，则由题图可看出，在前2s内甲走过的位移大于乙走过的位移，则小汽车甲的平均速度比小汽车乙的平均速度大，A正确、D错误；
B．由题知，小汽车甲和乙同时从同一地点向同一方向出发，则当甲、乙速度相同时两辆小汽车相隔的距离最远，有
B正确；
C．在t = 2s后，由题图可看出，乙的速度大于甲的速度，再根据选项A分析可知甲在乙前方，则以小汽车乙为参考系，小汽车甲在后退，C正确。
故选ABC。
三、实验题
9．某实验小组用如图（a）所示装置探究小车做匀变速直线运动的规律。
（1）请在下列实验器材中，选出本实验中不需要的器材：_______（填编号）。
①电火花计时器②电压频率的交流电源③细线和纸带钩码和小车⑤刻度尺⑥秒表⑦一端带有滑轮的长木板
（2）①甲同学得到如图（b）所示的一条纸带，在纸带上每5个点选取1个计数点，依次标记为A、B、C、D、E。测量时发现B点已经模糊不清，于是他测得AC长为、CD长为、DE长为，则小车运动的加速度大小为_______，A、B间的距离应为_______cm。（均保留三位有效数字）
②若打点计时器实际工作频率，电压不变，而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值________（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。
（3）乙同学得到点迹清晰的纸带如图（c），在纸带上取六个计数点（各点到纸带两侧距离相等），标记为A、B、C、D、E、F，相邻两点的间距依次记为，相邻计数点的时间间隔记为T。从每个计数点处将纸带剪开分成五段，将五段纸带两侧依次靠紧但不重叠，沿下端各计数点连线作横轴，沿AB段左侧作纵轴，上端各计数点拟合成一条倾斜直线，如图（d）所示。
①若用横轴表示时间t，纸带宽度表示T，纵轴表示，则倾斜直线的斜率表示的物理量是________（填序号）
A．位移 B．瞬时速度 C．T内瞬时速度的变化量 D．加速度
②若用纵轴表示，纸带宽度表示________（用题中所给物理量符号写出表达式），则倾斜直线的斜率就表示纸带运动的加速度。
【答案】 ⑥ 2.58 5.99 偏小 C
【详解】（1）[1]打点计时器有计时功能，故不需要秒表，故选⑥。
（2）[2]相邻计数点的时间间隔为
由逐差法可得
[3]根据
解得
[4] 若打点计时器实际工作频率，电压不变，而做实验的同学并不知道，那么计算加速度代入的T值相比于真实值偏大，根据，可知，加速度偏小。
（5）①[5]若用横轴表示时间t，纸带宽度表示T，纵轴表示，则直线斜率
所以所连斜直线的斜率表示相邻计数点的瞬时速度的变化。
故选C。
②[6]若用纵轴表示，根据
可知，纸带宽度表示。
四、解答题
10．一辆汽车以72km/h的速度行驶，现因紧急事故刹车并最终停止运动。已知汽车刹车过程中的加速度大小为4m/s2，若从刹车瞬间开始计时，求：
（1）汽车2s末的速度；
（2）汽车前2s的位移；
（3）汽车前6s的位移。
【答案】（1）12m/s；（2）32m；（3）50m
【详解】（1）汽车的初速度为20m/s，汽车刹车的时间为
汽车2s末的速度为
（2）汽车前2s的位移为
（3）汽车前6s的位移等于汽车前5s的位移，有
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