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2024-2025学年广西贵港市覃塘区七年级（下）期中数学试卷
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）.
1．化简的结果是　　
A． B． C． D．
2．下列实数中，无理数的是　　
A． B． C． D．0.2020020002
3．若，则下列各式正确的是　　
A． B． C． D．
4．计算的结果是　　
A．1 B．0 C． D．
5．若□，则□内应填的式子是　　
A． B． C． D．
6．不等式的解集在数轴上表示为　　
A．
B．
C．
D．
7．足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了14场比赛，得分不低于20分，那么该队至少胜了几场　　
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么a×b的值是（　　）
A． B． C．2 D．5
9．若关于的不等式组的整数解共有2个，则的值可以是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知，，，，那么，，，大小顺序为　　
A． B． C． D．
11．小明要从贵港市民族文化公园到贵港市马草江生态公园，两地相距3千米，已知他步行的平均速度为90米分钟，跑步的平均速度为210米分钟，若他要在不超过25分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为　　
A． B．
C． D．
12．已知，，，则下列说法正确的个数是　　
①；
②当时，；
③；
④当时，的值为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．的立方根是 　　．
14．已知，则 　　 ．
15．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则的取值范围是 　　 ．
16．已知：（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1；
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1；
（x+1）（x3﹣x2+x﹣1）＝x4﹣1；
（x+1）（x4﹣x3+x2﹣x+1）＝x5+1；
由此我们可以发现：（x+1）（xn﹣xn﹣1+xn﹣2﹣ ±1）＝ 　 　 ．（只要求写出结果）
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算题：
（1）；
（2）．
18．（1）计算；
（2）把下列各数填在相应的横线上：0.125，，，0，，，，（每两个3之间依次多一个．
有理数：　　 ；
无理数：　　 ；
正实数：　　 ；
负实数：　　 ．
19．解下列不等式（组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）；
（2）．
20．（1）先化简再求值，其中，；
（2）已知，求和的值．
21．今年贵港市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱．若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需720元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放43个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共88个，且费用不超过8600元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
22．综合实践题
小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：材料准备：准备三根长度均为L的铁丝．
探究1：小明先将第一根铁丝截成两段（4a和4b），分别围成边长为a和b的正方形；再将第二根铁丝均分（每段2a+2b），围成两个长为b、宽为a的长方形（如图1：两个正方形和两个长方形示意图）．
探究2：小红用第三根铁丝直接围成边长为（a+b）的大正方形（如图2：大正方形示意图）．
（1）用S1表示小明做的2个正方形和2个长方形的面积和，用S2表示小红做的正方形的面积，则S1＝ 　 　 ；S2＝ 　 　 ．
（2）通过图形拼合（如图3）猜想S1与S2的关系，并用含a、b的式子写出数量关系；
（3）应用：根据（2）中的等量关系，试解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝19，求ab的值；
②已知（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝7，求（2024﹣x）（x﹣2025）的值．
23．若一元一次方程的解在某个一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“伴随方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的“伴随方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“伴随方程”是 　　 ；（填序号）
（2）若不等式组的一个“伴随方程”的解是整数，且这个“伴随方程”是，求常数的值；
（3）①解两个方程（用含的式子表示）和；②是否存在整数，使得这两个方程都是不等式组的“伴随方程”？若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）
1．化简的结果是　　
A． B． C． D．
解：原式，故正确．
故选：．
2．下列实数中，无理数的是　　
A． B． C． D．0.2020020002
解：，是整数，属于有理数；，0.2020020002是分数，属于有理数；
是无理数．
故选：．
3．若，则下列各式正确的是　　
A． B． C． D．
解：．，
，故本选项不符合题意，
．，
，故本选项不符合题意，
．，
，故本选项不符合题意，
．，
，故本选项符合题意，
故选：．
4．计算的结果是　　
A．1 B．0 C． D．
解：
，
故选：．
5．若□，则□内应填的式子是　　
A． B． C． D．
解：根据题意得，
故选：．
6．不等式的解集在数轴上表示为　　
A．
B．
C．
D．
解：，
，
，
，
则，
故选：．
7．足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了14场比赛，得分不低于20分，那么该队至少胜了几场　　
A．3 B．4 C．5 D．6
解：设胜、平、负的场次分别为：、、，
，①
即，②
把②式代入①式得，，
当取0时，最小为3．
故选：．
8．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么a×b的值是（　　）
A． B． C．2 D．5
解：∵，
∴的整数部分a＝2，小数部分，
∴，
故选：B．
9．若关于的不等式组的整数解共有2个，则的值可以是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
解：由不等式得，，
因为此不等式组的整数解共有2个，
所以，
显然只有选项符合题意．
故选：．
10．已知，，，，那么，，，大小顺序为　　
A． B． C． D．
解：，，，，
，，，，
，
，
故选：．
11．小明要从贵港市民族文化公园到贵港市马草江生态公园，两地相距3千米，已知他步行的平均速度为90米分钟，跑步的平均速度为210米分钟，若他要在不超过25分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为　　
A． B．
C． D．
解：根据题意列不等式为：，
故选：．
12．已知，，，则下列说法正确的个数是　　
①；
②当时，；
③；
④当时，的值为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：，
，①错误，
当时，，
，，，，则，②正确，
，
，
，
，③正确，
当时，，
，
因此符合题意的有②③④，故选．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．的立方根是 　　．
解：，
故答案为：．
14．已知，则 　25　 ．
解：，
．
故答案为：25．
15．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则的取值范围是 　　 ．
解：由题意知，，
，
，
，
则，
故答案为：．
16．已知：（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1；
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1；
（x+1）（x3﹣x2+x﹣1）＝x4﹣1；
（x+1）（x4﹣x3+x2﹣x+1）＝x5+1；
由此我们可以发现：（x+1）（xn﹣xn﹣1+xn﹣2﹣ ±1）＝ 　xn+1+（﹣1）n　 ．（只要求写出结果）
解：（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1；
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1；
（x+1）（x3﹣x2+x﹣1）＝x4﹣1；
（x+1）（x4﹣x3+x2﹣x+1）＝x5+1；
...，
∴（x+1）（xn﹣xn﹣1+xn﹣2﹣ ±1）＝xn+1+（﹣1）n，
故答案为：xn+1+（﹣1）n．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算题：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
18．（1）计算；
（2）把下列各数填在相应的横线上：0.125，，，0，，，，（每两个3之间依次多一个．
有理数：　0.125，，0，　 ；
无理数：　　 ；
正实数：　　 ；
负实数：　　 ．
解：（1）
；
（2），
有理数：0.125，，0，；
无理数：，，，（每两个3之间依次多一个；
正实数：0.125，，；
负实数：，，，（每两个3之间依次多一个；
故答案为：0.125，，0，；，，，（每两个3之间依次多一个；0.125，，；，，，（每两个3之间依次多一个．
19．解下列不等式（组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）；
（2）．
解：（1），
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1得：．
；
（2），
解①得：，
解②得：，
则不等式组的解集是：．
．
20．（1）先化简再求值，其中，；
（2）已知，求和的值．
解：（1）原式
；
当，时，
原式；
（2），
，，
，，
，．
21．今年贵港市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱．若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需720元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放43个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共88个，且费用不超过8600元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
解：（1）设温馨提示牌的单价是元，垃圾箱的单价是元．
根据题意，得，
解得．
答：温馨提示牌的单价是48元，垃圾箱的单价是144元．
（2）设购买垃圾箱个，则购买温馨提示牌个．
根据题意，得，
解得，
为正整数，
，44，45，
当时，（个，所需资金为（元，
当时，（个，所需资金为（元，
当时，（个，所需资金为（元，
，
共有三种购买方案，分别是购买垃圾箱43个、温馨提示牌45个，购买垃圾箱44个、温馨提示牌44个，购买垃圾箱45个、温馨提示牌43个，其中购买垃圾箱43个、温馨提示牌45个所需资金最少，最少是8352元．
22．综合实践题
小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：材料准备：准备三根长度均为L的铁丝．
探究1：小明先将第一根铁丝截成两段（4a和4b），分别围成边长为a和b的正方形；再将第二根铁丝均分（每段2a+2b），围成两个长为b、宽为a的长方形（如图1：两个正方形和两个长方形示意图）．
探究2：小红用第三根铁丝直接围成边长为（a+b）的大正方形（如图2：大正方形示意图）．
（1）用S1表示小明做的2个正方形和2个长方形的面积和，用S2表示小红做的正方形的面积，则S1＝ 　a2+b2+2ab　 ；S2＝ 　（a+b）2　 ．
（2）通过图形拼合（如图3）猜想S1与S2的关系，并用含a、b的式子写出数量关系；
（3）应用：根据（2）中的等量关系，试解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝19，求ab的值；
②已知（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝7，求（2024﹣x）（x﹣2025）的值．
解：（1）S1＝a2+b2+2ab，S2＝ （a+b）2；
故答案为：a2+b2+2ab，（a+b）2；
（2）S1＝S2，
（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（3）①因为a+b＝7，a2+b2＝19，
所以ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2
＝[72﹣19]÷2
＝30÷2
＝15；
②（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝7，
设2024﹣x＝a，x﹣2025＝b，
则a2+b2＝7，a+b＝﹣1，
（2024﹣x）（x﹣2025）
＝ab
＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2
＝[1﹣7]÷2
＝﹣3．
23．若一元一次方程的解在某个一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“伴随方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的“伴随方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“伴随方程”是 　②　 ；（填序号）
（2）若不等式组的一个“伴随方程”的解是整数，且这个“伴随方程”是，求常数的值；
（3）①解两个方程（用含的式子表示）和；②是否存在整数，使得这两个方程都是不等式组的“伴随方程”？若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，说明理由．
解：（1）方程①的解为；方程②的解为；方程③的解为，
不等式组的解集为，
，
不等式组的“伴随方程”是②，
故答案为：②；
（2）不等式组解集为，
不等式组的一个“伴随方程” 的解是整数，
，
即，
故常数的值为：1；
（3）①
，
；
，
，
；
②由于关于的不等式组的解集为，
若这两个方程都是不等式组的“伴随方程”，
则或，
由解得，
由解得，
，
，
时，使得这两个方程都是不等式组的“伴随方程”．

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