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2024-2025学年度人教版七年级数学下册单元测试卷
第十章 二元一次方程组
一、（共30分，每小题3分）单选题
1．对于方程，用含的代数式表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程组：①②，③，其中是二元一次方程组的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③
3．若是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．用加减消元法解方程组下列做法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知方程是关于的二元一次方程，则的值是（ ）
A．2 B．0或2 C．1 D．0
7．小亮解方程组时，得到其正确的解为，但不小心滴上的两滴墨水刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（　　）
A．8和 B．6和4 C．2和8 D．6和
8．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
9．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2021
10．《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
二、（共24分，每小题3分）填空题
11．二元一次方程中，当时， ．
12．已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ．
13．若是关于，的二元一次方程，那么的值为 ．
14．已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
15．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ．
16．写出一个解为的二元一次方程 .
17．在解关于x、y的二元一次方程组时，若可以直接消去一个未知数，则m、n之间的数量关系可以用等式表示为 ．
18． 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则在平面直角坐标系中的第 象限．
三、（共66分）解答题
19．（共6分）解下列方程组
(1) (2)
20．（共6分）若关于的方程组与方程组的解相同．
(1)求两个方程组的相同解；
(2)求的值．
21．（共8分）已知关于x、y的方程组
(1)请写出的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)如果方程组有正整数解，求整数m的值．
22．（共8分）已知关于的二元一次方程组．
(1)当时，求这个方程组的解．
(2)若该方程组的解满足等式，求的值．
(3)在（2）的条件下，某同学在解关于的方程组时，将中的看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，求的值．
23．（共6分）甲、乙两人同时解方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得解为，试求的值．
24．（共7分）《哪吒之魔童闹海》成为中国电影史上首部票房破百亿的影片，影片中各种角色的周边商品也随之火爆．某潮品店上架了A、B两种型号的哪吒系列手办盲盒．若购买3个A型盲盒和2个B型盲盒共花费260元，且购买一个A型盲盒比购买一个B型盲盒多花20元．
(1)购买一个A型盲盒、一个B型盲盒各需多少元？
(2)潮品店为吸引客人，推出了投壶小游戏，凡购买一件手办盲盒可获得一次投壶机会，投中1次即可免费赠送一个哪吒系列冰箱贴，一名客人恰好用360元购买了A型和B型两种盲盒，问分别购买多少个A型盲盒和B型盲盒获得的投壶机会最多？
25．（共7分）某超市用180元购进甲，乙两种饮料80瓶进行零售，两种饮料的成本价和零售价如下表：
甲饮料 乙饮料
成本价（元/瓶） 3 2
零售价（元/瓶） 5
(1)该超市甲，乙两种饮料各购进多少瓶？
(2)该超市将这80瓶饮料零售完后获得的利润是多少元？
26．（共8分）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形，得，即．③
把方程①代入③，得，解得．
把代入①，得，方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代入”法解方程组
(2)已知满足方程组，求的值．
27．（共10分）定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”．
(1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由．
(2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D D A D A C B B
11．2 12． 13． 14．
15．2 16．（答案不唯一）17． 18．四
19．(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
（1）运用消元法求解即可，本小题的技巧是直接相减就可以消去x和分母；
（2）运用消元法求解即可，本小题的技巧是可以消去y，考虑倍数即可．
【详解】（1）解：得：
整理得：，
解得：，
将带入得：，
解得：，
∴原方程组的解是：；
（2）解：得：
解得：，
将带入得：，
解得：，
∴原方程组的解是：；
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了由同解方程组确定字母取值：先将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立，求得方程组的解，然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于a、b的二元一次方程组，进而确定a、b的值．
（1）将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立，求得方程组的解即可；
（2）将方程组的解代入，求得关于a、b的二元一次方程组的解，再代入求值即可；
【详解】（1）解：两方程组化简可得，，
∵两方程组同解，
∴，
得：，
解得：，
把代入①式得：，
∴两个方程组的相同解为；
（2）解：把代入方程组可得：
，
式得：，
解得：，
把代入②式得：，
∴．
21．(1)，
(2)
(3)整数的值为
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值；
（3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可．
【详解】（1）解：方程，
解得：，
当时，；
当，；
即方程的正整数的解为，；
（2）解：联立得，
解得，
代入得：，
解得；
（3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，；
代入得，
或
解得：（舍去）或
综上所述，整数的值为．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，读懂题意，掌握二元一次方程组解法是解决问题的关键．
（1）将代入原方程组，由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案；
（2）由加减消元法解二元一次方程组得到、，由方程组的解满足等式，将、代入，得到关于的一元一次方程求解即可得到答案；
（3）在（2）的条件下，，根据题意，将代入关于的方程组求解得到，再将代入关于的方程组求解得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
整理得，
由①②得，
；
将代入①得，
；
当时，这个方程组的解为；
（2）解：，
整理得，
由①②得，
；
将代入①得，
；
，解得；
（3）解：在（2）的条件下，，
是关于的方程组的解，
；
是关于的方程组的解，
，
解得，
综上所述，，
．
23．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求代数式的值；把代入①中求出a的值，再把 代入②中求出b的值即可，再代入代数式解答即可．
【详解】解：，
∵甲看错了b，求得的解为，
∴把代入①得，，解得；
∵乙看错了a，求得的解为，
∴把 代入②得，，解得b，
当，时，．
24．(1)60元，40元
(2)2个A型盲盒和6个B型盲盒
【分析】此题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和方程组是关键．
（1）设购买一个A型盲盒需元，购买一个B型盲盒需元，买3个A型盲盒和2个B型盲盒共花费260元，且购买一个A型盲盒比购买一个B型盲盒多花20元．据此列出方程组并解方程组即可；
（2）设分别购买了个A型盲盒和个B型盲盒，根据题意列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】（1）解：设购买一个A型盲盒需元，购买一个B型盲盒需元，
由题意得
解得：
答：设购买一个A型盲盒需60元，购买一个B型盲盒需40元；
（2）解：设分别购买了个A型盲盒和个B型盲盒，
由题意得，
即
型和B型两种盲盒都购买
均为正整数
或
答：购买2个A型盲盒和6个B型盲盒获得的投壶机会最多．
25．(1)甲饮料20瓶，乙饮料60瓶
(2)130元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，掌握相关知识是解题关键．
（1）设该超市购进甲饮料瓶，乙饮料瓶，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意列式求解即可．
【详解】（1）设该超市购进甲饮料瓶，乙饮料瓶，根据问题中的相等关系，
列得方程组，解得：．
答：该超市购进甲饮料20瓶，乙饮料60瓶；
（2）根据题意，得（元）．
答：超市将这80瓶饮料零售完后获得的利润是130元．
26．(1)
(2)17
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握整体代入法，是解题的关键：
（1）将方程②变形，得，利用整体代入法进行求解即可；
（2）利用加减消元法，消去，整体思想，求出的值即可．
【详解】（1）解：
将方程②变形，得，
即．③
把方程①代入③，得，解得．
把代入①，得，解得，
方程组的解为
（2）
，得，即，
．
27．(1)具有友好关系．理由见解析
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值：
（1）用，得到，即可得出结论；
（2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可．
【详解】（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下：
由方程组，
得，
∴方程组的解x与y具有“友好关系”；
（2）解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”，
∴③
联立，
解得，
把代入中得，
则a，b的正整数值为或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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