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浙江省金华市义乌市北苑中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．（2024八下·义乌月考） 下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·义乌月考）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是 ，则射击成绩比较稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2024八下·义乌月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·义乌月考）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的(　　)
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
5．（2024八下·义乌月考） 下列式子中，x可以取和2的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·义乌月考） 下列等式正确的是（　　）
A．（）2=3 B．=﹣3
C．=3 D．（﹣）2=﹣3
7．（2024八下·义乌月考） 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·义乌月考） 实数和在数轴上如图所示，化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·义乌月考） 等腰三角形的三边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则n的值为（　　）
A．17 B．18 C．17或18 D．9或18
10．（2024八下·义乌月考）若关于x的方程 的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
11．（2024八下·义乌月考） 二次根式中，字母x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·义乌月考）某招聘考试分笔试和面试两种，小明笔试成绩90分，面试成绩85分，如果笔试成绩、面试成绩按3：2计算，那么小明的平均成绩是　 　分
13．（2024八下·义乌月考） 若的积是有理数，则无理数m的值为　 　．
14．（2024八下·义乌月考） 对于实数a，b，定义运算“”：例如：，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则　 　．
15．（2024八下·义乌月考）一组数据的中位数和平均数相等，则的值是　 　．
16．（2024八下·义乌月考）有整数解，则整数n的值为　 　．
三、解答题（共8题66分，其中17-19题每题各6分，20和21每题各8分，22和23每题各10分，24题12分）
17．（2024八下·义乌月考）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·义乌月考） 解方程：
（1）；
（2）．
19．（2024八下·义乌月考） 如图所示，将一个长宽分别为，的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
（1）用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）当，，，求剩余部分的面积．
20．（2024八下·义乌月考） 已知关于x的方程．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根：
（2）若此方程的一根是1，求另一个根及m的值．
21．（2024八下·义乌月考） 综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669
问题解决】
（1）上述表格中，　 　，　 　；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是　 　（填序号）
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树 并给出你的理由．
22．（2024八下·义乌月考） 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（盈利＝销售利润+返利）
（1）若该公司当月售出5部汽车，则每部汽车的进价为　 　万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？
23．（2024八下·义乌月考） 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a b c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，请解决以下问题：
（1）判断是否为“勾系一元二次方程”，并说明理由．
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根．
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
24．（2024八下·义乌月考） 阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知，则当　 　时，代数式取到最小值，最小值为　 　；
（2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
（3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
（4）若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程逐个判断即可．
2．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵四人10次射击成绩的平均数都是9环，S2丁＜S2乙＜S2丙＜S2甲，
∴射击成绩比较稳定的是丁.
故答案为：D.
【分析】根据四人10次射击成绩的平均数都是9环，方差越小，成绩越稳定，据此即可得出正确答案.
3．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】根据最简二次根式的定义，
A：，含有能开得尽平方的因数，不符合题意
B：，是能开得尽平方的数，不符合题意
C：，根号下有分母，不符合题意
D：，是最简二次根式，符合题意
故选：D
【分析】根据最简二次根式的定义，根号下不含有分母，也不含有有能开得尽平方的因数，才是最简二次根式。
4．【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，属于统计基础知识，难度不大．
5．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、中，x-2≠0，所以x≠2，故不符合；
B、中，x-1≥0，所以x≥1，故不符合；
C、中，x+2≥0，所以x≥-2，故符合；
D、中，x2-2≥0，所以x2≥2，当x=-1时，不符合；
故答案为：C.
【分析】根据分式的与二次根式有意义的条件即可求出答案．
6．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A.（）2=3，选项计算正确；
B.=3，选项计算错误；
C.=，选项计算错误；
D.（-）2=3，选项计算错误；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．
7．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由八、九月份平均每月的增长率为可得八、九月份的产量为、，
所以x满足的方程为：，
故答案为：C．
【分析】根据一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率）可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据第三季度生产零件196万个可得出方程．
8．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，，，
，，
．
故答案为：．
【分析】根据数轴可知，，，再根据化简，最后合并同类项即可解答.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的三边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，
①当时，一元二次方程有两个相等的实数根
有，
即，
解得；
②当或，
将代入一元二次方程中，
有，
解得；
综上所述，n的值为17或18．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三边长分别为a、b、3，分以下两种情况讨论，①当时，②当或，再利用a、b是关于x的一元二次方程的两个根，建立等式求解，即可解题．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 关于x的方程 的解中，仅有一个正数解，
，
解得 .
故答案为：B.
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意：，
解得：，
故答案为：．
【分析】由二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可解答.
12．【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解： 根据题意，小明的平均成绩是
（分），
故答案为：88．
【分析】根据加权平均数的定义计算可得．
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【解答】解：
∵的积是有理数，m是无理数，
是有理数，
设，（是有理数）
解得：，
∵m是无理数，a是有理数
令即时，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】对进行化简，由题意令，（是有理数）即可求解．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：解方程，得或．
当，时，，
当，时，，
故答案为：．
【分析】根据方程求得其解为：2或4，由于不确定，具体值，故需分两种情况讨论，代入新运算进行计算即可．
15．【答案】或或
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：由于数据1，2，4，6，x的中位数和平均数相等，
当x≥6时，该组数据的中位数是4，
∴，
解得：x=7；
当4≤x＜6时，该组数据的中位数是4，
∴，
解得：x=7，∵4≤x＜6舍去；
当2≤x＜4时，该组数据的中位数是x，
∴，
解得：x=；
当1≤x<2时，该组数据的中位数是2，
∴，
解得：x=-3；
当x<1时，该组数据的中位数是2，
∴，
解得：x=-3，∵x<1舍去；
故答案为：-3或7或.
【分析】据平均数与中位数的定义分五种情况x≥6，4≤x＜6，2≤x＜4，1≤x<2，x<1时，分别列出方程，进行计算即可求出答案.
16．【答案】4或
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由得，
由题意可知，x、n都是整数，
是整数，也是整数，
是无理数，
∴且=0
∴，
，，
故答案为：4或．
【分析】先将方程转化为的形式，由于x、n都是整数，则且=0，即可解答.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】应用完全平方公式，，，实数的绝对值，以及二次根式化简即可解出答案。
18．【答案】（1）解：开方，得：，
解得：，．
（2）解：移项，得：，
因式分解，得：，
即：或，
解得：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开方法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
19．【答案】（1）解：剩余部分的面积为：；
（2）解：当，，时，
．
答：剩余部分的面积为124.
【知识点】二次根式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；
（2）把相应的值代入（1）进行运算即可．
20．【答案】（1）证明：∵，
∵，
∴．
∴方程恒有两个不相等的实数根．
（2）解：把x=1代入原方程得：，解得：m=2
∴原方程为：
原方程为：x2-4x+3=0，即(x-3)(x-1)=0，解得：x1=3，x2=1．
∴，另一个根为．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的判别式，判断根的情况即可；
（2）把x=1代入方程，即可求出m的值，然后利用根与系数的关系即可解答．
21．【答案】（1）3.75；2.0
（2）②
（3）解：这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
这片树叶长，宽 ，长宽比大约为2.0，
根据平均数这片树叶可能来自荔枝树．
【知识点】常用统计量的选择；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为，因此中位数m=3.75；
荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0，因此众数n=2.0；
故答案为：3.75，2.0；
（2）合理的是②，理由如下：从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的长宽比的方差较小，所以芒果叶形状差别更小；从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，荔枝树叶的长宽比为2，所以荔枝树叶的长约为宽的两倍；
故答案为：②；
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差的定义，方差越小，形状差别越小，根据树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，即可判断荔枝树叶的长宽比；
（3）计算该树叶的长宽比，与平均数比较即可判断来自哪颗树．
22．【答案】（1）26.6
（2）解：设需要售出x部汽车，
①当销售10部以内（含10部）时，
依题意可得：，
可化为：，
解得：（不合题意，舍去），
当销售6部汽车时，当月可盈利12万元；
②当销售10部以上时，
依题意可得：，
可化为：，
解得：，均不合题意，应舍去
答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：（万元），
故答案为：．
【分析】（1）根据每部汽车的进价与销售量有如下关系进而可求解；
（2）设需要售出x部汽车，分类讨论：①当销售10部以内（含10部）时，②当销售10部以上时，根据等量关系列出方程并解方程即可求解．
23．【答案】（1）解：在中，
a=3，b=4，c=5，满足，
∴a，b，c是直角三角形的三边长，
∴是勾系一元二次方程
（2）证明；，
△
，
，
△，
关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根
（3）解：是“勾系一元二次方程” 的一个根，
，即，
四边形的周长是，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）理解“勾系一元二次方程”的定义，从方程中得出a，b，c的值，再验证是否满足勾股定理，即可说明；
（2）判断一元二次方程根的情况，计算判别式△并变形可得：△，即可证明；
（3）当时，有，即，由，得，推出，，由，可得，由此即可解决问题．
24．【答案】（1）；
（2）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，
则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
（3）解：∵，
∴，
又∵，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6，
∴此时有最大值，最大值为，
∴自变量时，函数取最大值，最大值为．
（4）
【知识点】二次根式的应用；函数解析式
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
当且仅当时，取等号，
∴当时，函数取到最小值，最小值为．
故答案为：，；
（4）①，
，
又，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为，
此时m有最大值，最大值为，
又，结果分母都为正数，
，
②时，
③，，
又，
当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为，
此时m有最小值，最小值为，
又，结果的分母为负数，
，
，
综合①②③得m的取值范围为．
【分析】（1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案；
（2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案；
（3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值．
（4）分，三种情况进行讨论求解即可．
1 / 1浙江省金华市义乌市北苑中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．（2024八下·义乌月考） 下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程逐个判断即可．
2．（2024八下·义乌月考）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是 ，则射击成绩比较稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵四人10次射击成绩的平均数都是9环，S2丁＜S2乙＜S2丙＜S2甲，
∴射击成绩比较稳定的是丁.
故答案为：D.
【分析】根据四人10次射击成绩的平均数都是9环，方差越小，成绩越稳定，据此即可得出正确答案.
3．（2024八下·义乌月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】根据最简二次根式的定义，
A：，含有能开得尽平方的因数，不符合题意
B：，是能开得尽平方的数，不符合题意
C：，根号下有分母，不符合题意
D：，是最简二次根式，符合题意
故选：D
【分析】根据最简二次根式的定义，根号下不含有分母，也不含有有能开得尽平方的因数，才是最简二次根式。
4．（2024八下·义乌月考）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的(　　)
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，属于统计基础知识，难度不大．
5．（2024八下·义乌月考） 下列式子中，x可以取和2的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、中，x-2≠0，所以x≠2，故不符合；
B、中，x-1≥0，所以x≥1，故不符合；
C、中，x+2≥0，所以x≥-2，故符合；
D、中，x2-2≥0，所以x2≥2，当x=-1时，不符合；
故答案为：C.
【分析】根据分式的与二次根式有意义的条件即可求出答案．
6．（2024八下·义乌月考） 下列等式正确的是（　　）
A．（）2=3 B．=﹣3
C．=3 D．（﹣）2=﹣3
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A.（）2=3，选项计算正确；
B.=3，选项计算错误；
C.=，选项计算错误；
D.（-）2=3，选项计算错误；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．
7．（2024八下·义乌月考） 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由八、九月份平均每月的增长率为可得八、九月份的产量为、，
所以x满足的方程为：，
故答案为：C．
【分析】根据一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率）可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据第三季度生产零件196万个可得出方程．
8．（2024八下·义乌月考） 实数和在数轴上如图所示，化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，，，
，，
．
故答案为：．
【分析】根据数轴可知，，，再根据化简，最后合并同类项即可解答.
9．（2024八下·义乌月考） 等腰三角形的三边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则n的值为（　　）
A．17 B．18 C．17或18 D．9或18
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的三边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，
①当时，一元二次方程有两个相等的实数根
有，
即，
解得；
②当或，
将代入一元二次方程中，
有，
解得；
综上所述，n的值为17或18．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三边长分别为a、b、3，分以下两种情况讨论，①当时，②当或，再利用a、b是关于x的一元二次方程的两个根，建立等式求解，即可解题．
10．（2024八下·义乌月考）若关于x的方程 的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 关于x的方程 的解中，仅有一个正数解，
，
解得 .
故答案为：B.
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解.
二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
11．（2024八下·义乌月考） 二次根式中，字母x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意：，
解得：，
故答案为：．
【分析】由二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可解答.
12．（2024八下·义乌月考）某招聘考试分笔试和面试两种，小明笔试成绩90分，面试成绩85分，如果笔试成绩、面试成绩按3：2计算，那么小明的平均成绩是　 　分
【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解： 根据题意，小明的平均成绩是
（分），
故答案为：88．
【分析】根据加权平均数的定义计算可得．
13．（2024八下·义乌月考） 若的积是有理数，则无理数m的值为　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【解答】解：
∵的积是有理数，m是无理数，
是有理数，
设，（是有理数）
解得：，
∵m是无理数，a是有理数
令即时，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】对进行化简，由题意令，（是有理数）即可求解．
14．（2024八下·义乌月考） 对于实数a，b，定义运算“”：例如：，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：解方程，得或．
当，时，，
当，时，，
故答案为：．
【分析】根据方程求得其解为：2或4，由于不确定，具体值，故需分两种情况讨论，代入新运算进行计算即可．
15．（2024八下·义乌月考）一组数据的中位数和平均数相等，则的值是　 　．
【答案】或或
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：由于数据1，2，4，6，x的中位数和平均数相等，
当x≥6时，该组数据的中位数是4，
∴，
解得：x=7；
当4≤x＜6时，该组数据的中位数是4，
∴，
解得：x=7，∵4≤x＜6舍去；
当2≤x＜4时，该组数据的中位数是x，
∴，
解得：x=；
当1≤x<2时，该组数据的中位数是2，
∴，
解得：x=-3；
当x<1时，该组数据的中位数是2，
∴，
解得：x=-3，∵x<1舍去；
故答案为：-3或7或.
【分析】据平均数与中位数的定义分五种情况x≥6，4≤x＜6，2≤x＜4，1≤x<2，x<1时，分别列出方程，进行计算即可求出答案.
16．（2024八下·义乌月考）有整数解，则整数n的值为　 　．
【答案】4或
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由得，
由题意可知，x、n都是整数，
是整数，也是整数，
是无理数，
∴且=0
∴，
，，
故答案为：4或．
【分析】先将方程转化为的形式，由于x、n都是整数，则且=0，即可解答.
三、解答题（共8题66分，其中17-19题每题各6分，20和21每题各8分，22和23每题各10分，24题12分）
17．（2024八下·义乌月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】应用完全平方公式，，，实数的绝对值，以及二次根式化简即可解出答案。
18．（2024八下·义乌月考） 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：开方，得：，
解得：，．
（2）解：移项，得：，
因式分解，得：，
即：或，
解得：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开方法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
19．（2024八下·义乌月考） 如图所示，将一个长宽分别为，的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
（1）用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）当，，，求剩余部分的面积．
【答案】（1）解：剩余部分的面积为：；
（2）解：当，，时，
．
答：剩余部分的面积为124.
【知识点】二次根式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；
（2）把相应的值代入（1）进行运算即可．
20．（2024八下·义乌月考） 已知关于x的方程．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根：
（2）若此方程的一根是1，求另一个根及m的值．
【答案】（1）证明：∵，
∵，
∴．
∴方程恒有两个不相等的实数根．
（2）解：把x=1代入原方程得：，解得：m=2
∴原方程为：
原方程为：x2-4x+3=0，即(x-3)(x-1)=0，解得：x1=3，x2=1．
∴，另一个根为．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的判别式，判断根的情况即可；
（2）把x=1代入方程，即可求出m的值，然后利用根与系数的关系即可解答．
21．（2024八下·义乌月考） 综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669
问题解决】
（1）上述表格中，　 　，　 　；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是　 　（填序号）
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树 并给出你的理由．
【答案】（1）3.75；2.0
（2）②
（3）解：这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
这片树叶长，宽 ，长宽比大约为2.0，
根据平均数这片树叶可能来自荔枝树．
【知识点】常用统计量的选择；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为，因此中位数m=3.75；
荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0，因此众数n=2.0；
故答案为：3.75，2.0；
（2）合理的是②，理由如下：从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的长宽比的方差较小，所以芒果叶形状差别更小；从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，荔枝树叶的长宽比为2，所以荔枝树叶的长约为宽的两倍；
故答案为：②；
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差的定义，方差越小，形状差别越小，根据树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，即可判断荔枝树叶的长宽比；
（3）计算该树叶的长宽比，与平均数比较即可判断来自哪颗树．
22．（2024八下·义乌月考） 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（盈利＝销售利润+返利）
（1）若该公司当月售出5部汽车，则每部汽车的进价为　 　万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？
【答案】（1）26.6
（2）解：设需要售出x部汽车，
①当销售10部以内（含10部）时，
依题意可得：，
可化为：，
解得：（不合题意，舍去），
当销售6部汽车时，当月可盈利12万元；
②当销售10部以上时，
依题意可得：，
可化为：，
解得：，均不合题意，应舍去
答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：（万元），
故答案为：．
【分析】（1）根据每部汽车的进价与销售量有如下关系进而可求解；
（2）设需要售出x部汽车，分类讨论：①当销售10部以内（含10部）时，②当销售10部以上时，根据等量关系列出方程并解方程即可求解．
23．（2024八下·义乌月考） 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a b c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，请解决以下问题：
（1）判断是否为“勾系一元二次方程”，并说明理由．
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根．
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
【答案】（1）解：在中，
a=3，b=4，c=5，满足，
∴a，b，c是直角三角形的三边长，
∴是勾系一元二次方程
（2）证明；，
△
，
，
△，
关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根
（3）解：是“勾系一元二次方程” 的一个根，
，即，
四边形的周长是，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）理解“勾系一元二次方程”的定义，从方程中得出a，b，c的值，再验证是否满足勾股定理，即可说明；
（2）判断一元二次方程根的情况，计算判别式△并变形可得：△，即可证明；
（3）当时，有，即，由，得，推出，，由，可得，由此即可解决问题．
24．（2024八下·义乌月考） 阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知，则当　 　时，代数式取到最小值，最小值为　 　；
（2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
（3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
（4）若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为　 　．
【答案】（1）；
（2）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，
则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
（3）解：∵，
∴，
又∵，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6，
∴此时有最大值，最大值为，
∴自变量时，函数取最大值，最大值为．
（4）
【知识点】二次根式的应用；函数解析式
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
当且仅当时，取等号，
∴当时，函数取到最小值，最小值为．
故答案为：，；
（4）①，
，
又，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为，
此时m有最大值，最大值为，
又，结果分母都为正数，
，
②时，
③，，
又，
当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为，
此时m有最小值，最小值为，
又，结果的分母为负数，
，
，
综合①②③得m的取值范围为．
【分析】（1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案；
（2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案；
（3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值．
（4）分，三种情况进行讨论求解即可．
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