【精品解析】浙江省金华市义乌市北苑中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

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浙江省金华市义乌市北苑中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题
一、选择题:(本题共10小题,每小题3分,共30分)温馨提示:每一题的四个答案中只有一个是正确的,请将正确的答案选择出来!
1.(2024八下·义乌月考) 下列方程属于一元二次方程的是(  )
A. B.
C. D.
2.(2024八下·义乌月考)甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数都是9环,方差分别是 ,则射击成绩比较稳定的是(  )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.(2024八下·义乌月考)下列二次根式中,属于最简二次根式的是(  )
A. B. C. D.
4.(2024八下·义乌月考)在某校“我的中国梦”演讲比赛中,有9名学生参加决赛,他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名,不仅要了解自己的成绩,还要了解这9名学生成绩的(  )
A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数
5.(2024八下·义乌月考) 下列式子中,x可以取和2的是(  )
A. B. C. D.
6.(2024八下·义乌月考) 下列等式正确的是(  )
A.()2=3 B.=﹣3
C.=3 D.(﹣)2=﹣3
7.(2024八下·义乌月考) 某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个,该厂八、九月份平均每月的增长率为,那么满足的方程是(  )
A. B.
C. D.
8.(2024八下·义乌月考) 实数和在数轴上如图所示,化简的结果是(  )
A. B. C. D.
9.(2024八下·义乌月考) 等腰三角形的三边长分别为a、b、3,且a、b是关于x的一元二次方程的两个根,则n的值为(  )
A.17 B.18 C.17或18 D.9或18
10.(2024八下·义乌月考)若关于x的方程 的解中,仅有一个正数解,则m的取值范围是(  )
A. B. C. D.
二、填空题(本题共6小题,每题4分,共24分)
11.(2024八下·义乌月考) 二次根式中,字母x的取值范围是   .
12.(2024八下·义乌月考)某招聘考试分笔试和面试两种,小明笔试成绩90分,面试成绩85分,如果笔试成绩、面试成绩按3:2计算,那么小明的平均成绩是   分
13.(2024八下·义乌月考) 若的积是有理数,则无理数m的值为   .
14.(2024八下·义乌月考) 对于实数a,b,定义运算“”:例如:,因为,所以.若是一元二次方程的两个根,则   .
15.(2024八下·义乌月考)一组数据的中位数和平均数相等,则的值是   .
16.(2024八下·义乌月考)有整数解,则整数n的值为   .
三、解答题(共8题66分,其中17-19题每题各6分,20和21每题各8分,22和23每题各10分,24题12分)
17.(2024八下·义乌月考)计算:
(1);
(2).
18.(2024八下·义乌月考) 解方程:
(1);
(2).
19.(2024八下·义乌月考) 如图所示,将一个长宽分别为,的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形.
(1)用含,,的代数式表示纸片剩余部分的面积;
(2)当,,,求剩余部分的面积.
20.(2024八下·义乌月考) 已知关于x的方程.
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根:
(2)若此方程的一根是1,求另一个根及m的值.
21.(2024八下·义乌月考) 综合与实践
【问题情境】数学活动课上,老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动,
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片,通过测量得到这些树叶的长y(单位:cm),宽x(单位:cm)的数据后,分别计算长宽比,整理数据如下:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【实践探究】分析数据如下:
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669
问题解决】
(1)上述表格中,   ,   ;
(2)①A同学说:“从树叶的长宽比的方差来看,我认为芒果树叶的形状差别大.”
②B同学说:“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看,我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍.”
上面两位同学的说法中,合理的是   (填序号)
(3)现有一片长,宽的树叶,请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树 并给出你的理由.
22.(2024八下·义乌月考) 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低万元/部,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内(含10部),每部返利万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.(盈利=销售利润+返利)
(1)若该公司当月售出5部汽车,则每部汽车的进价为   万元;
(2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少部汽车?
23.(2024八下·义乌月考) 如图,四边形是证明勾股定理时用到的一个图形,a b c是和边长,易知,这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”,请解决以下问题:
(1)判断是否为“勾系一元二次方程”,并说明理由.
(2)求证:关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根.
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形的周长是,求面积.
24.(2024八下·义乌月考) 阅读材料:
已知a,b为非负实数,,
,当且仅当“”时,等号成立.
这个结论就是著名的“均值不等式”,“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.
例:已知,求代数式最小值.
解:令,,则由,得.
当且仅当,即时,代数式取到最小值,最小值为4.
根据以上材料解答下列问题:
(1)已知,则当   时,代数式取到最小值,最小值为   ;
(2)用篱笆围一个面积为的矩形花园,则当这个矩形花园的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短?最短的篱笆的长度是多少米?
(3)已知,则自变量x取何值时,代数式取到最大值?最大值为多少?
(4)若x为任意实数,代数式的值为m,则m范围为   .
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解:A、是分式方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
B、是一元二次方程,故本选项符合题意;
C、是一元一次方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
D、是一元三次方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
故答案为:B.
【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程逐个判断即可.
2.【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解:∵四人10次射击成绩的平均数都是9环,S2丁<S2乙<S2丙<S2甲,
∴射击成绩比较稳定的是丁.
故答案为:D.
【分析】根据四人10次射击成绩的平均数都是9环,方差越小,成绩越稳定,据此即可得出正确答案.
3.【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】根据最简二次根式的定义,
A:,含有能开得尽平方的因数,不符合题意
B:,是能开得尽平方的数,不符合题意
C:,根号下有分母,不符合题意
D:,是最简二次根式,符合题意
故选:D
【分析】根据最简二次根式的定义,根号下不含有分母,也不含有有能开得尽平方的因数,才是最简二次根式。
4.【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前5名,只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数,比较即可.
【解答】由于总共有15个人,且他们的分数互不相同,第5的成绩是中位数,要判断是否进入前8名,故应知道中位数的多少.
故选:D.
【点评】此题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义,属于统计基础知识,难度不大.
5.【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件;二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:A、中,x-2≠0,所以x≠2,故不符合;
B、中,x-1≥0,所以x≥1,故不符合;
C、中,x+2≥0,所以x≥-2,故符合;
D、中,x2-2≥0,所以x2≥2,当x=-1时,不符合;
故答案为:C.
【分析】根据分式的与二次根式有意义的条件即可求出答案.
6.【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解:A.()2=3,选项计算正确;
B.=3,选项计算错误;
C.=,选项计算错误;
D.(-)2=3,选项计算错误;
故答案为:A.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简,判断即可.
7.【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解:由八、九月份平均每月的增长率为可得八、九月份的产量为、,
所以x满足的方程为:,
故答案为:C.
【分析】根据一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率)可以用x分别表示八、九月份的产量,然后根据第三季度生产零件196万个可得出方程.
8.【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简;判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解:由数轴可知,,,
,,

故答案为:.
【分析】根据数轴可知,,,再根据化简,最后合并同类项即可解答.
9.【答案】C
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程根的判别式及应用;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:等腰三角形的三边长分别为a、b、3,且a、b是关于x的一元二次方程的两个根,
①当时,一元二次方程有两个相等的实数根
有,
即,
解得;
②当或,
将代入一元二次方程中,
有,
解得;
综上所述,n的值为17或18.
故答案为:C.
【分析】根据等腰三角形的三边长分别为a、b、3,分以下两种情况讨论,①当时,②当或,再利用a、b是关于x的一元二次方程的两个根,建立等式求解,即可解题.
10.【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);解一元一次不等式组
【解析】【解答】解: 关于x的方程 的解中,仅有一个正数解,

解得 .
故答案为:B.
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解.
11.【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意:,
解得:,
故答案为:.
【分析】由二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数,即可解答.
12.【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解: 根据题意,小明的平均成绩是
(分),
故答案为:88.
【分析】根据加权平均数的定义计算可得.
13.【答案】(答案不唯一)
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【解答】解:
∵的积是有理数,m是无理数,
是有理数,
设,(是有理数)
解得:,
∵m是无理数,a是有理数
令即时,
故答案为:(答案不唯一).
【分析】对进行化简,由题意令,(是有理数)即可求解.
14.【答案】
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解:解方程,得或.
当,时,,
当,时,,
故答案为:.
【分析】根据方程求得其解为:2或4,由于不确定,具体值,故需分两种情况讨论,代入新运算进行计算即可.
15.【答案】或或
【知识点】平均数及其计算;中位数
【解析】【解答】解:由于数据1,2,4,6,x的中位数和平均数相等,
当x≥6时,该组数据的中位数是4,
∴,
解得:x=7;
当4≤x<6时,该组数据的中位数是4,
∴,
解得:x=7,∵4≤x<6舍去;
当2≤x<4时,该组数据的中位数是x,
∴,
解得:x=;
当1≤x<2时,该组数据的中位数是2,
∴,
解得:x=-3;
当x<1时,该组数据的中位数是2,
∴,
解得:x=-3,∵x<1舍去;
故答案为:-3或7或.
【分析】据平均数与中位数的定义分五种情况x≥6,4≤x<6,2≤x<4,1≤x<2,x<1时,分别列出方程,进行计算即可求出答案.
16.【答案】4或
【知识点】一元二次方程的根;因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解:由得,
由题意可知,x、n都是整数,
是整数,也是整数,
是无理数,
∴且=0
∴,
,,
故答案为:4或.
【分析】先将方程转化为的形式,由于x、n都是整数,则且=0,即可解答.
17.【答案】(1)解:

(2)解:

【知识点】完全平方公式及运用;二次根式的混合运算;实数的绝对值
【解析】【分析】应用完全平方公式,,,实数的绝对值,以及二次根式化简即可解出答案。
18.【答案】(1)解:开方,得:,
解得:,.
(2)解:移项,得:,
因式分解,得:,
即:或,
解得:,.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程;因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用直接开方法即可求解;
(2)利用因式分解法即可求解;
19.【答案】(1)解:剩余部分的面积为:;
(2)解:当,,时,

答:剩余部分的面积为124.
【知识点】二次根式的混合运算;用代数式表示几何图形的数量关系;求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】(1)用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可;
(2)把相应的值代入(1)进行运算即可.
20.【答案】(1)证明:∵,
∵,
∴.
∴方程恒有两个不相等的实数根.
(2)解:把x=1代入原方程得:,解得:m=2
∴原方程为:
原方程为:x2-4x+3=0,即(x-3)(x-1)=0,解得:x1=3,x2=1.
∴,另一个根为.
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的判别式,判断根的情况即可;
(2)把x=1代入方程,即可求出m的值,然后利用根与系数的关系即可解答.
21.【答案】(1)3.75;2.0
(2)②
(3)解:这片树叶更可能来自荔枝,理由如下:
这片树叶长,宽 ,长宽比大约为2.0,
根据平均数这片树叶可能来自荔枝树.
【知识点】常用统计量的选择;分析数据的集中趋势(平均数、中位数、众数)
【解析】【解答】解:(1)芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为,因此中位数m=3.75;
荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0,因此众数n=2.0;
故答案为:3.75,2.0;
(2)合理的是②,理由如下:从树叶的长宽比的方差来看,芒果树叶的长宽比的方差较小,所以芒果叶形状差别更小;从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看,荔枝树叶的长宽比为2,所以荔枝树叶的长约为宽的两倍;
故答案为:②;
【分析】
(1)根据中位数和众数的定义求解即可;
(2)根据方差的定义,方差越小,形状差别越小,根据树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看,即可判断荔枝树叶的长宽比;
(3)计算该树叶的长宽比,与平均数比较即可判断来自哪颗树.
22.【答案】(1)26.6
(2)解:设需要售出x部汽车,
①当销售10部以内(含10部)时,
依题意可得:,
可化为:,
解得:(不合题意,舍去),
当销售6部汽车时,当月可盈利12万元;
②当销售10部以上时,
依题意可得:,
可化为:,
解得:,均不合题意,应舍去
答:当销售6部汽车时,当月可盈利12万元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】(1)解:(万元),
故答案为:.
【分析】(1)根据每部汽车的进价与销售量有如下关系进而可求解;
(2)设需要售出x部汽车,分类讨论:①当销售10部以内(含10部)时,②当销售10部以上时,根据等量关系列出方程并解方程即可求解.
23.【答案】(1)解:在中,
a=3,b=4,c=5,满足,
∴a,b,c是直角三角形的三边长,
∴是勾系一元二次方程
(2)证明;,



△,
关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根
(3)解:是“勾系一元二次方程” 的一个根,
,即,
四边形的周长是,



,,




【知识点】一元二次方程的其他应用;勾股定理
【解析】【分析】(1)理解“勾系一元二次方程”的定义,从方程中得出a,b,c的值,再验证是否满足勾股定理,即可说明;
(2)判断一元二次方程根的情况,计算判别式△并变形可得:△,即可证明;
(3)当时,有,即,由,得,推出,,由,可得,由此即可解决问题.
24.【答案】(1);
(2)解:设这个矩形的长为米,篱笆周长为米,
根据题意,用篱笆围一个面积为的矩形花园,
则矩形的宽为米,
∴,
当且仅当时,取等号,即当时,函数有最小值,最小值为40,
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时,所用的篱笆最短,最短的篱笆的长度是40米
(3)解:∵,
∴,
又∵,
当且仅当时,即当时,取最小值,最小值为6,
∴此时有最大值,最大值为,
∴自变量时,函数取最大值,最大值为.
(4)
【知识点】二次根式的应用;函数解析式
【解析】【解答】(1)解:∵,
∴,
当且仅当时,取等号,
∴当时,函数取到最小值,最小值为.
故答案为:,;
(4)①,

又,
当且仅当时,即当时,取最小值,最小值为,
此时m有最大值,最大值为,
又,结果分母都为正数,

②时,
③,,
又,
当且仅当时,即当时,取最大值,最大值为,
此时m有最小值,最小值为,
又,结果的分母为负数,


综合①②③得m的取值范围为.
【分析】(1)根据例题,可得,故当且仅当时,函数取到最小值,最小值为,即可获得答案;
(2)设这个矩形的长为米,篱笆周长为米,可得函数解析式为,根据例题,即可获得答案;
(3)将原函数变形为,由取最小值,即可确定自变量取何值时,函数取到最大值,并求得最大值.
(4)分,三种情况进行讨论求解即可.
1 / 1浙江省金华市义乌市北苑中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题
一、选择题:(本题共10小题,每小题3分,共30分)温馨提示:每一题的四个答案中只有一个是正确的,请将正确的答案选择出来!
1.(2024八下·义乌月考) 下列方程属于一元二次方程的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解:A、是分式方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
B、是一元二次方程,故本选项符合题意;
C、是一元一次方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
D、是一元三次方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
故答案为:B.
【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程逐个判断即可.
2.(2024八下·义乌月考)甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数都是9环,方差分别是 ,则射击成绩比较稳定的是(  )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解:∵四人10次射击成绩的平均数都是9环,S2丁<S2乙<S2丙<S2甲,
∴射击成绩比较稳定的是丁.
故答案为:D.
【分析】根据四人10次射击成绩的平均数都是9环,方差越小,成绩越稳定,据此即可得出正确答案.
3.(2024八下·义乌月考)下列二次根式中,属于最简二次根式的是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】根据最简二次根式的定义,
A:,含有能开得尽平方的因数,不符合题意
B:,是能开得尽平方的数,不符合题意
C:,根号下有分母,不符合题意
D:,是最简二次根式,符合题意
故选:D
【分析】根据最简二次根式的定义,根号下不含有分母,也不含有有能开得尽平方的因数,才是最简二次根式。
4.(2024八下·义乌月考)在某校“我的中国梦”演讲比赛中,有9名学生参加决赛,他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名,不仅要了解自己的成绩,还要了解这9名学生成绩的(  )
A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前5名,只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数,比较即可.
【解答】由于总共有15个人,且他们的分数互不相同,第5的成绩是中位数,要判断是否进入前8名,故应知道中位数的多少.
故选:D.
【点评】此题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义,属于统计基础知识,难度不大.
5.(2024八下·义乌月考) 下列式子中,x可以取和2的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件;二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:A、中,x-2≠0,所以x≠2,故不符合;
B、中,x-1≥0,所以x≥1,故不符合;
C、中,x+2≥0,所以x≥-2,故符合;
D、中,x2-2≥0,所以x2≥2,当x=-1时,不符合;
故答案为:C.
【分析】根据分式的与二次根式有意义的条件即可求出答案.
6.(2024八下·义乌月考) 下列等式正确的是(  )
A.()2=3 B.=﹣3
C.=3 D.(﹣)2=﹣3
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解:A.()2=3,选项计算正确;
B.=3,选项计算错误;
C.=,选项计算错误;
D.(-)2=3,选项计算错误;
故答案为:A.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简,判断即可.
7.(2024八下·义乌月考) 某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个,该厂八、九月份平均每月的增长率为,那么满足的方程是(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解:由八、九月份平均每月的增长率为可得八、九月份的产量为、,
所以x满足的方程为:,
故答案为:C.
【分析】根据一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率)可以用x分别表示八、九月份的产量,然后根据第三季度生产零件196万个可得出方程.
8.(2024八下·义乌月考) 实数和在数轴上如图所示,化简的结果是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简;判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解:由数轴可知,,,
,,

故答案为:.
【分析】根据数轴可知,,,再根据化简,最后合并同类项即可解答.
9.(2024八下·义乌月考) 等腰三角形的三边长分别为a、b、3,且a、b是关于x的一元二次方程的两个根,则n的值为(  )
A.17 B.18 C.17或18 D.9或18
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程根的判别式及应用;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:等腰三角形的三边长分别为a、b、3,且a、b是关于x的一元二次方程的两个根,
①当时,一元二次方程有两个相等的实数根
有,
即,
解得;
②当或,
将代入一元二次方程中,
有,
解得;
综上所述,n的值为17或18.
故答案为:C.
【分析】根据等腰三角形的三边长分别为a、b、3,分以下两种情况讨论,①当时,②当或,再利用a、b是关于x的一元二次方程的两个根,建立等式求解,即可解题.
10.(2024八下·义乌月考)若关于x的方程 的解中,仅有一个正数解,则m的取值范围是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);解一元一次不等式组
【解析】【解答】解: 关于x的方程 的解中,仅有一个正数解,

解得 .
故答案为:B.
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解.
二、填空题(本题共6小题,每题4分,共24分)
11.(2024八下·义乌月考) 二次根式中,字母x的取值范围是   .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意:,
解得:,
故答案为:.
【分析】由二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数,即可解答.
12.(2024八下·义乌月考)某招聘考试分笔试和面试两种,小明笔试成绩90分,面试成绩85分,如果笔试成绩、面试成绩按3:2计算,那么小明的平均成绩是   分
【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解: 根据题意,小明的平均成绩是
(分),
故答案为:88.
【分析】根据加权平均数的定义计算可得.
13.(2024八下·义乌月考) 若的积是有理数,则无理数m的值为   .
【答案】(答案不唯一)
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【解答】解:
∵的积是有理数,m是无理数,
是有理数,
设,(是有理数)
解得:,
∵m是无理数,a是有理数
令即时,
故答案为:(答案不唯一).
【分析】对进行化简,由题意令,(是有理数)即可求解.
14.(2024八下·义乌月考) 对于实数a,b,定义运算“”:例如:,因为,所以.若是一元二次方程的两个根,则   .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解:解方程,得或.
当,时,,
当,时,,
故答案为:.
【分析】根据方程求得其解为:2或4,由于不确定,具体值,故需分两种情况讨论,代入新运算进行计算即可.
15.(2024八下·义乌月考)一组数据的中位数和平均数相等,则的值是   .
【答案】或或
【知识点】平均数及其计算;中位数
【解析】【解答】解:由于数据1,2,4,6,x的中位数和平均数相等,
当x≥6时,该组数据的中位数是4,
∴,
解得:x=7;
当4≤x<6时,该组数据的中位数是4,
∴,
解得:x=7,∵4≤x<6舍去;
当2≤x<4时,该组数据的中位数是x,
∴,
解得:x=;
当1≤x<2时,该组数据的中位数是2,
∴,
解得:x=-3;
当x<1时,该组数据的中位数是2,
∴,
解得:x=-3,∵x<1舍去;
故答案为:-3或7或.
【分析】据平均数与中位数的定义分五种情况x≥6,4≤x<6,2≤x<4,1≤x<2,x<1时,分别列出方程,进行计算即可求出答案.
16.(2024八下·义乌月考)有整数解,则整数n的值为   .
【答案】4或
【知识点】一元二次方程的根;因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解:由得,
由题意可知,x、n都是整数,
是整数,也是整数,
是无理数,
∴且=0
∴,
,,
故答案为:4或.
【分析】先将方程转化为的形式,由于x、n都是整数,则且=0,即可解答.
三、解答题(共8题66分,其中17-19题每题各6分,20和21每题各8分,22和23每题各10分,24题12分)
17.(2024八下·义乌月考)计算:
(1);
(2).
【答案】(1)解:

(2)解:

【知识点】完全平方公式及运用;二次根式的混合运算;实数的绝对值
【解析】【分析】应用完全平方公式,,,实数的绝对值,以及二次根式化简即可解出答案。
18.(2024八下·义乌月考) 解方程:
(1);
(2).
【答案】(1)解:开方,得:,
解得:,.
(2)解:移项,得:,
因式分解,得:,
即:或,
解得:,.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程;因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用直接开方法即可求解;
(2)利用因式分解法即可求解;
19.(2024八下·义乌月考) 如图所示,将一个长宽分别为,的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形.
(1)用含,,的代数式表示纸片剩余部分的面积;
(2)当,,,求剩余部分的面积.
【答案】(1)解:剩余部分的面积为:;
(2)解:当,,时,

答:剩余部分的面积为124.
【知识点】二次根式的混合运算;用代数式表示几何图形的数量关系;求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】(1)用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可;
(2)把相应的值代入(1)进行运算即可.
20.(2024八下·义乌月考) 已知关于x的方程.
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根:
(2)若此方程的一根是1,求另一个根及m的值.
【答案】(1)证明:∵,
∵,
∴.
∴方程恒有两个不相等的实数根.
(2)解:把x=1代入原方程得:,解得:m=2
∴原方程为:
原方程为:x2-4x+3=0,即(x-3)(x-1)=0,解得:x1=3,x2=1.
∴,另一个根为.
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的判别式,判断根的情况即可;
(2)把x=1代入方程,即可求出m的值,然后利用根与系数的关系即可解答.
21.(2024八下·义乌月考) 综合与实践
【问题情境】数学活动课上,老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动,
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片,通过测量得到这些树叶的长y(单位:cm),宽x(单位:cm)的数据后,分别计算长宽比,整理数据如下:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【实践探究】分析数据如下:
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669
问题解决】
(1)上述表格中,   ,   ;
(2)①A同学说:“从树叶的长宽比的方差来看,我认为芒果树叶的形状差别大.”
②B同学说:“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看,我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍.”
上面两位同学的说法中,合理的是   (填序号)
(3)现有一片长,宽的树叶,请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树 并给出你的理由.
【答案】(1)3.75;2.0
(2)②
(3)解:这片树叶更可能来自荔枝,理由如下:
这片树叶长,宽 ,长宽比大约为2.0,
根据平均数这片树叶可能来自荔枝树.
【知识点】常用统计量的选择;分析数据的集中趋势(平均数、中位数、众数)
【解析】【解答】解:(1)芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为,因此中位数m=3.75;
荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0,因此众数n=2.0;
故答案为:3.75,2.0;
(2)合理的是②,理由如下:从树叶的长宽比的方差来看,芒果树叶的长宽比的方差较小,所以芒果叶形状差别更小;从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看,荔枝树叶的长宽比为2,所以荔枝树叶的长约为宽的两倍;
故答案为:②;
【分析】
(1)根据中位数和众数的定义求解即可;
(2)根据方差的定义,方差越小,形状差别越小,根据树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看,即可判断荔枝树叶的长宽比;
(3)计算该树叶的长宽比,与平均数比较即可判断来自哪颗树.
22.(2024八下·义乌月考) 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低万元/部,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内(含10部),每部返利万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.(盈利=销售利润+返利)
(1)若该公司当月售出5部汽车,则每部汽车的进价为   万元;
(2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少部汽车?
【答案】(1)26.6
(2)解:设需要售出x部汽车,
①当销售10部以内(含10部)时,
依题意可得:,
可化为:,
解得:(不合题意,舍去),
当销售6部汽车时,当月可盈利12万元;
②当销售10部以上时,
依题意可得:,
可化为:,
解得:,均不合题意,应舍去
答:当销售6部汽车时,当月可盈利12万元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】(1)解:(万元),
故答案为:.
【分析】(1)根据每部汽车的进价与销售量有如下关系进而可求解;
(2)设需要售出x部汽车,分类讨论:①当销售10部以内(含10部)时,②当销售10部以上时,根据等量关系列出方程并解方程即可求解.
23.(2024八下·义乌月考) 如图,四边形是证明勾股定理时用到的一个图形,a b c是和边长,易知,这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”,请解决以下问题:
(1)判断是否为“勾系一元二次方程”,并说明理由.
(2)求证:关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根.
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形的周长是,求面积.
【答案】(1)解:在中,
a=3,b=4,c=5,满足,
∴a,b,c是直角三角形的三边长,
∴是勾系一元二次方程
(2)证明;,



△,
关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根
(3)解:是“勾系一元二次方程” 的一个根,
,即,
四边形的周长是,



,,




【知识点】一元二次方程的其他应用;勾股定理
【解析】【分析】(1)理解“勾系一元二次方程”的定义,从方程中得出a,b,c的值,再验证是否满足勾股定理,即可说明;
(2)判断一元二次方程根的情况,计算判别式△并变形可得:△,即可证明;
(3)当时,有,即,由,得,推出,,由,可得,由此即可解决问题.
24.(2024八下·义乌月考) 阅读材料:
已知a,b为非负实数,,
,当且仅当“”时,等号成立.
这个结论就是著名的“均值不等式”,“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.
例:已知,求代数式最小值.
解:令,,则由,得.
当且仅当,即时,代数式取到最小值,最小值为4.
根据以上材料解答下列问题:
(1)已知,则当   时,代数式取到最小值,最小值为   ;
(2)用篱笆围一个面积为的矩形花园,则当这个矩形花园的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短?最短的篱笆的长度是多少米?
(3)已知,则自变量x取何值时,代数式取到最大值?最大值为多少?
(4)若x为任意实数,代数式的值为m,则m范围为   .
【答案】(1);
(2)解:设这个矩形的长为米,篱笆周长为米,
根据题意,用篱笆围一个面积为的矩形花园,
则矩形的宽为米,
∴,
当且仅当时,取等号,即当时,函数有最小值,最小值为40,
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时,所用的篱笆最短,最短的篱笆的长度是40米
(3)解:∵,
∴,
又∵,
当且仅当时,即当时,取最小值,最小值为6,
∴此时有最大值,最大值为,
∴自变量时,函数取最大值,最大值为.
(4)
【知识点】二次根式的应用;函数解析式
【解析】【解答】(1)解:∵,
∴,
当且仅当时,取等号,
∴当时,函数取到最小值,最小值为.
故答案为:,;
(4)①,

又,
当且仅当时,即当时,取最小值,最小值为,
此时m有最大值,最大值为,
又,结果分母都为正数,

②时,
③,,
又,
当且仅当时,即当时,取最大值,最大值为,
此时m有最小值,最小值为,
又,结果的分母为负数,


综合①②③得m的取值范围为.
【分析】(1)根据例题,可得,故当且仅当时,函数取到最小值,最小值为,即可获得答案;
(2)设这个矩形的长为米,篱笆周长为米,可得函数解析式为,根据例题,即可获得答案;
(3)将原函数变形为,由取最小值,即可确定自变量取何值时,函数取到最大值,并求得最大值.
(4)分,三种情况进行讨论求解即可.
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