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2024-2025学年安庆市重点中学高二下学期6月联考
数 学 试 卷
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．记为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．17 B．19 C．21 D．23
2．展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的极小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知且，的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．从1，2，……，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某次考试成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
8．已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
多项选择题：每小题6分，共18分．有选错的得0分，部分选对的部分分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量和满足，且，则
B．若随机变量，，则
C．若随机变量，则
D．在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为，则
10．已知函数，则（ ）
A．函数的单调减区间为
B．函数的单调增区间为
C．函数的极小值点为1
D．函数的最大值为
11．已知点是抛物线上的一点，过C的焦点F的两条互相垂直的直线，分别与C交于点A，B和点D，E，其中点A，D均在x轴的上方，过点P分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则直线的倾斜角为
C．为定值 D．四边形的周长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机变量，若，，则 .
13．曲线在点处的切线方程为 .
14．已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分） 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．
(1)求n的值及系数最大的项；
(2)求展开式中有理项的系数之和(用数字作答)．
16．(15分）已知函数， ．
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围．
17．(15分）已知函数．
(1)若，求证：在上单调递减；
(2)若在上恒成立，求a的取值范围；
18．(17分）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2025年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.
(1)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.
(2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据：若，则：；；.
19．(17分）已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A D B C A BC ABD
题号 11
答案 ACD
12． 13． 14．
15．（1）解：二项式展开式的通项为，
因为展开式中第三项的系数与第四项的系数相等，可得，
则，解得，所以，设展开式中第项的系数最大，其系数为，则满足，解得，因为，所以或是系数最大，当时，；当时， .
（2）解：由（1）知：展开式的通项为，
令且，可得，且对应的是有理项，当时，展开式中对应的有理项为； 当时，展开式中对应的有理项为； 当时，展开式中对应的有理项为； 故展开式中有理项的系数之和为．
16．（1）定义域为，，令得，令得，
所以的增区间为，减区间为．
（2） 因为，所以，即，
令，因为在单调递增且．
所以当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；
故当时，，所以．
18．（1）由，可得，即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，该学生笔试成绩高于76.5的概率为所以随机变量服从二项分布，故.
（2）X的可能取值为，，
，
，
，
，所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以.
（1）由题意可得 ：且，解得：，所以椭圆的方程为；
（2）由题意，可设直线的方程为 ，，
联立方程组消去得方程：，
，所以，
所以直线的方程为：， 令，则，故直线过定点.

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