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2024-2025学年第二学期八年级数学期末模拟试卷（4）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x2＝2+3x B．2（x﹣1）+x＝2 C．x+3y＝4 D．x2﹣x3+4＝0
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2）
5．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
6．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（　　）
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC
7．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…xn﹣2的方差是（　　）
A．1 B．3 C．6 D．﹣8
8．若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）的值为（　　）
A．﹣4046 B．﹣2023 C．4046 D．2023
9．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　）
A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220 B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220
C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220 D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220
10．如图，四边形ABCD是正方形，，G为边CD上一点，CG＝1，以CG为边作正方形CEFG．对于下列结论：①正方形ABCD的面积是3；②BG＝2；③∠FED＝45°；④BG⊥DE．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．二次根式中，x的取值范围是　 　 ．
12．在辽宁号航母的某次出海训练中，某飞行大队8架舰载机的飞行训练次数如下（单位：次）：7，6，6，4，5，6，7，5，这组数据的众数是 　 　 ．
13．若一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为 　 　 ．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ．
15．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 　 　 ．
16．如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）2+﹣；
（2）（）2+2﹣（）（+2）．
18．解方程：
（1）（x+2）2﹣6＝0；
（2）x2﹣4x+3＝0．
19．某校对八年级学生10月份“读书量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）请补全两幅统计图；
（2）求本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，10月份“读书量”为5本的学生有多少？
20．如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图1中，先在AC上画点D，连接BD，使∠DBC＝∠C，再在BC，BA上分别画M，N两点，使MN＝BD；
（2）在图2中，先画 ACFB，再在AC上画点G，BF上画点H，使四边形ABHG是菱形．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m与反比例函数的图象在第一象限交于点A，与x轴相交于点C，已知点A的坐标分别为（3，1）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P为反比例函数图象上的任意一点．若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．
22．某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个芯片，第三季度生产了288万个芯片．
（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
23．如图，在正方形ABCD中，点E，H，F分别在AB，BC，CD边上，EF交对角线BD于点G，AH⊥EF于点M，且点M是AH的中点，连接AG，GH，CG．
（1）求证：∠AEM＝∠AHB；
（2）求证：AG⊥GH；
（3）若AG＝GE，求AE：EB的值．
24．【初步探索】
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　 ．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解析】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x2＝2+3x B．2（x﹣1）+x＝2 C．x+3y＝4 D．x2﹣x3+4＝0
【点拨】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解析】解：A．x2＝2+3x是一元二次方程，故此选项符合题意；
B．2（x﹣1）+x＝2是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．x+3y＝4，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D．x2﹣x3+4＝0，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用二次根式乘除法则，加减法则一一判断即可．
【解析】解：A、×＝，本选项错误不符合题意；
B、＝2，本选项正确符合题意；
C、2与不是同类二次根式，不能合并，本选项错误不符合题意；
D、3﹣＝2，本选项错误不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
4．下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2）
【点拨】依据题意，把各点代入反比例函数的解析式进行检验即可．
【解析】解：逐项分析判断如下：
A．当x＝2时，y＝﹣3，∴点（2，﹣3）在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
B．当x＝﹣2时，y＝3，∴点（﹣2，﹣3）不在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
C．当x＝﹣2时，y＝3，∴点（﹣2，3）在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
D．当x＝3时，y＝﹣2，∴点（3，﹣2）在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
【点拨】利用矩形与菱形的性质即可解答本题．
【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
6．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（　　）
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC
【点拨】直接利用反证法的第一步分析得出答案．
【解析】解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
7．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…xn﹣2的方差是（　　）
A．1 B．3 C．6 D．﹣8
【点拨】由新数据是将原数据每个均减去2所得，知新数据与原数据的波动幅度保持不变，据此可得答案．
【解析】解：由题意知，新数据是将原数据每个均减去2所得，
所以新数据与原数据的波动幅度保持不变，
所以数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…xn﹣2的方差是3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
8．若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）的值为（　　）
A．﹣4046 B．﹣2023 C．4046 D．2023
【点拨】根据根与系数的关系先得出a+b，ab即可．
【解析】解：∵a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，
∴，
∴ab（a+b）＝2×2023＝4046．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是关键．
9．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　）
A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220 B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220
C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220 D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220
【点拨】设每个文创产品降价x元，这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，根据题意列方程即可．
【解析】解：根据题意得，（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220，
故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润＝销售量×单位利润．
10．如图，四边形ABCD是正方形，，G为边CD上一点，CG＝1，以CG为边作正方形CEFG．对于下列结论：①正方形ABCD的面积是3；②BG＝2；③∠FED＝45°；④BG⊥DE．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②
【点拨】根据正方形的面积公式计算判断①，根据勾股定理计算判断②，根据正方形的性质判断③，利用SAS证明△BCG≌△DCE，推出∠CBG+∠DEC＝90°，判断④，得出答案即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，，以CG为边作正方形CEFG，
∴∠BCG＝∠DCE＝90°，BC＝DC，CG＝CE＝GF＝EF，
正方形ABCD的面积＝，故①正确，
∴∠FED＜∠FEG＝45°，故③错误，
∵CG＝1，
∴，故②正确，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠BGC＝∠DEC，
∴∠CBG+∠DEC＝∠CBG+∠BGC＝90°，
∴BG⊥DE，故④正确，
综上所述，正确的结论是①②④，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．二次根式中，x的取值范围是　x≥2　 ．
【点拨】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解析】解：由题意得，2x﹣4≥0，
解得，x≥2，
故答案为：x≥2．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．在辽宁号航母的某次出海训练中，某飞行大队8架舰载机的飞行训练次数如下（单位：次）：7，6，6，4，5，6，7，5，这组数据的众数是 　6　 ．
【点拨】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案．
【解析】解：∵6出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为6；
故答案为：6．
【点睛】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键；众数是一组数据中出现次数最多的数．
13．若一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为 　8　 ．
【点拨】设这个多边形的边数为n，由题意列得方程，解方程即可．
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝360°×3，
解得：n＝8，
即这个多边形的边数为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜1　 ．
【点拨】根据根的判别式的意义得到（﹣2）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解析】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
15．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 　　 ．
【点拨】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解析】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
16．如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是　6　 ．
【点拨】根据三角形面积公式求得AE＝2，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM＝BD＝，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝2，设A（m，），则D（m﹣2，3），根据反比例函数的定义得出关于m的方程，解方程求得m＝3，即可求得k＝6．
【解析】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOM＝∠CNM，
∵BD∥y轴，
∴∠CBD＝∠CNM，
∴∠AOM＝∠CBD，
∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，
∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，
∴∠CDB＝∠AMO，
∴△AOM≌△CBD（AAS），
∴OM＝BD＝，
∵S△ABD＝BD AE＝2，
∴AE＝2，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝2，
∴D的纵坐标为3，
设A（m，），则D（m﹣2，3），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，
∴k＝m＝（m﹣2）×3，
解得：m＝3，
∴k＝m＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）2+﹣； （2）（）2+2﹣（）（+2）．
【点拨】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后把2化简后合并即可．
【解析】解：（1）原式＝4+﹣3
＝；
（2）原式＝2﹣2+1+4﹣（5﹣4）
＝2﹣2+1+4﹣1
＝2+2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
18．解方程：
（1）（x+2）2﹣6＝0； （2）x2﹣4x+3＝0．
【点拨】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解析】解：（1）（x+2）2﹣6＝0，
（x+2）2＝6，
∴x+2＝
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．
19．某校对八年级学生10月份“读书量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）请补全两幅统计图；
（2）求本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，10月份“读书量”为5本的学生有多少？
【点拨】（1）从两个统计图可知，样本中读书量是1本的学生有4人，占被调查人数的5%，由频率＝频数÷总数即可求出样本容量，进而求出样本中读书量为3本的学生人数，补全条形统计图，求出样本中读书量为5本的学生占调查人数的百分比即可补全扇形统计图；
（2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可；
（3）样本估计总体，用样本中读书量为5本的学生所占的百分比估计总体中读书量为5本的学生所占的百分比，再根据频率＝频数÷总数进行计算即可．
【解析】解：（1）4÷5%＝80（人），样本中读书量为3本的学生人数为80×25%＝20（人），
样本中读书量为5本的学生人数占被调查人数的百分比为12÷80＝15%，
补全的条形统计图、扇形统计图如图所示：
（2）本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数为1×5%+2×20%+3×25%+4×35%+5×15%＝3.35（本），
答：本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数为3.35本；
（3）500×5%＝25（人），
答：该校八年级500名学生中，10月份“读书量”为5本的学生大约有25人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数以及样本估计总体，掌握条形统计图、扇形统计图中的数量关系以及加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
20．如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图1中，先在AC上画点D，连接BD，使∠DBC＝∠C，再在BC，BA上分别画M，N两点，使MN＝BD；
（2）在图2中，先画 ACFB，再在AC上画点G，BF上画点H，使四边形ABHG是菱形．
【点拨】（1）作BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点M，再取AB的中点，利用矩形的对角线相等即可得出答案；
（2）在BF、AC上分别取点H、G，使得BH＝AG＝3，根据一组对边平行且相等得出平行四边形，再利用AB＝BH，即可说明四边形ABHG是菱形．
【解析】解：（1）作BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点M，再取AB的中点，
则四边形BMDN是矩形，从而得到MN＝BD；
（2）在BF、AC上分别取点H、G，使得BH＝AG＝3，
∵AG∥BH，AG＝BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∵AB＝BH＝3，
∴四边形ABHG是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m与反比例函数的图象在第一象限交于点A，与x轴相交于点C，已知点A的坐标分别为（3，1）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P为反比例函数图象上的任意一点．若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．
【点拨】（1）将点A坐标分别代入一次函数及反比例函数解析式即可解决问题．
（2）根据S△POC＝3S△AOC求出点P的纵坐标，进而再求出点P的横坐标即可解决问题．
【解析】解：（1）将点A坐标代入y＝x+m得，
3+m＝1，
解得m＝﹣2，
所以一次函数解析式为y＝x﹣2．
将点A坐标代入y＝得，
k＝3×1＝3，
所以反比例函数解析式为y＝．
（2）将y＝0代入y＝x﹣2得，
x＝2，
所以点C的坐标为（2，0），
所以．
又因为S△POC＝3S△AOC，
所以S△POC＝3，
所以|yp|＝3，
解得yp＝±3，
将y＝3代入y＝得，x＝1；
将y＝﹣3代入y＝得，x＝﹣1，
所以点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
22．某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个芯片，第三季度生产了288万个芯片．
（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
【点拨】（1）设前三季度生产量的平均增长率为x，利用第三季度的生产量＝第一季度的生产量×（1+前三季度生产量的平均增长率）2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设再增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20y）万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
【解析】解：（1）设前三季度生产量的平均增长率为x，
根据题意得：200（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：前三季度生产量的平均增长率为20%；
（2）设再增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20y）万个/季度，
根据题意得：（600﹣20y）（y+1）＝2600，
整理得：y2﹣29y+100＝0，
解得：y1＝4，y2＝25，
又∵在增加产能同时又要节省投入成本，
∴y＝4．
答：应该再增加4条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．如图，在正方形ABCD中，点E，H，F分别在AB，BC，CD边上，EF交对角线BD于点G，AH⊥EF于点M，且点M是AH的中点，连接AG，GH，CG．
（1）求证：∠AEM＝∠AHB；
（2）求证：AG⊥GH；
（3）若AG＝GE，求AE：EB的值．
【点拨】（1）根据四边形ABCD是正方形，得出∠ABH＝90°，结合∠AME＝90°，即可求证；
（2）连接BM，根据四边形ABCD是正方形，得出∠ABH＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，根据直角三角形的性质得出BM＝AM＝MH，设∠1＝∠2＝x，得出∠3＝45°﹣x，∠AMB＝180°﹣2x，∠4＝90°﹣2x，得出∠5＝45°﹣x，∠5＝∠3，根据等角对等边得出BM＝MG＝AM＝MH，再结合∠AMG＝∠HMG＝90°，得出∠MAG＝∠MGA＝∠MGH＝∠MHG＝45°，即可证明；
（3）根据AH⊥EF于点M，且点M是AH的中点，得出EF是AH的线段垂直平分线，即可得 AG＝GH，AE＝EH，EG＝GH，证明△GEB≌△GHB，得出BE＝BH，连接EH，则△BEH是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解；
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABH＝90°，
∵AH⊥EF于点M，
∴∠AME＝90°，
∵∠AEM+∠AME+∠EAM＝∠AHB+∠AHB+∠EAM＝180°，
∴∠AEM＝∠AHB．
（2）证明：连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABH＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵点M是AH的中点，
∴BM＝AM＝MH，
∴∠1＝∠2，
设∠1＝∠2＝x，
∴∠3＝∠ABG﹣∠2＝45°﹣x，∠AMB＝180°﹣2x，
∵∠AME＝90°，
∴∠4＝90°﹣2x，
∴∠5＝∠4﹣∠3＝90°﹣2x﹣（45°﹣x）＝45°﹣x，
∴∠5＝∠3，
∴BM＝MG＝AM＝MH，
∵∠AMG＝∠HMG＝90°，
∴∠MAG＝∠MGA＝∠MGH＝∠MHG＝45°，
∴∠AGH＝90°，
∴AG⊥GH．
（3）解：∵AH⊥EF于点M，且点M是AH的中 点，
∴EF是AH的线段垂直平分线，
∴AG＝GH，AE＝EH，
∵AG＝GE，
∴EG＝GH，
∵AG＝EG，
∴，
∴∠BEG＝112.5°，
∴∠BGE＝180°﹣45°﹣112.5°＝22.5°，
∴∠BGE＝∠BGH＝22.5°，
∵BG＝BG，EG＝GH，∠BGE＝∠BGH，
∴△GEB≌△GHB（SAS），
∴BE＝BH，连接EH，
则△BEH是等腰直角三角形，BE2+BH2＝EH2
∴
∴．
【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
24．【初步探索】
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　∠BAE+∠FAD＝∠EAF　 ．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
【点拨】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论．
【解析】解：（1）结论：∠BAE+∠FAD＝∠EAF．
理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+DF，
∴EF＝DF+DG＝FG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（3）结论：∠EAF＝180°﹣∠DAB．
理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
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