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(共24张PPT)
第1章　一元二次方程
1.1　一元二次方程
基础过关全练
知识点1　一元二次方程的定义
1.(2024江苏泰州泰兴期中)下列方程一定是关于x的一元二
次方程的是 (　 )
A. + +1=0　 B.x(x+1)=1+x2
C.x(x-1)=0　 D.ax2+x+1=0
C
解析 A中方程不是整式方程,则A不符合题意;B中方程整
理得x=1,则B不符合题意;C中方程整理得x2-x=0,则C符合题
意;D.当a=0时,方程为x+1=0,则D不符合题意.故选C.
2.(易错题)若方程mx2+4x-3=2x2是关于x的一元二次方程,则m
的取值范围是 (　 )
A.m>0　 B.m≠0
C.m≠2　 D.m≠-2
C
解析　由mx2+4x-3=2x2可得(m-2)x2+4x-3=0,∵方程mx2+4x-3=
2x2是关于x的一元二次方程,∴m-2≠0,∴m≠2,故选C.
知识点2　一元二次方程的一般形式
3.(2024江苏南京外国语学校月考)把一元二次方程(x-2)(x+3)
=1化成一般形式,正确的是(　 )
A.x2+x-5=0　 B.x2-5x-5=0
C.x2+x-7=0　 D.x2-5x+6=0
C
解析　去括号得x2+x-6=1,移项、合并同类项得x2+x-7=0,故
选C.
4.(2024江苏常州二十四中期中)已知关于x的一元二次方程
(a-1)x2+x+a2-1=0的常数项是0,则a的值为 (　 )
A.1　 B.-1　 C.1或-1　 D.
B
解析　由题意,得 解得a=-1,故选B.
5.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二
次项系数、一次项系数和常数项.
(1)2x2=1-3x;(2)5x(x-2)=4x2-3x.
解析 (1)2x2=1-3x的一般形式为2x2+3x-1=0,二次项系数为2,
一次项系数为3,常数项为-1.
(2)5x(x-2)=4x2-3x的一般形式为x2-7x=0,二次项系数为1,一次
项系数为-7,常数项为0.
知识点3　用一元二次方程描述问题中的数量关系
6.(情境题·数学文化)杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有
这样一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二
步.问阔及长各几步.”其大意为一块矩形田地的面积是864
平方步,只知道宽比长少12步,问宽与长各多少步 若设宽为
x步,则可列方程为 (　 )
A.x(x+12)=864　 B.x(x-12)=864
C.x(x+6)=864　 D.x(x-6)=864
A
解析　∵宽比长少12步,且宽为x步,∴长为(x+12)步.∵矩形
面积为864平方步,∴根据面积公式可列出方程x(x+12)=864.
故选A.
7.(等积变形法)(2023江苏苏州吴江青云实验中学月考)如图,在宽为
20 m,长为38 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部
分),余下的部分作为草坪.要使草坪的面积为540 m2,求道路的
宽.如果设小路宽为x m,根据题意,所列方程正确的是 (　 )
A.(20-x)(38-x)=540
B.(20-x)(38-x)=38×20-540
C.(20-2x)(38-2x)=540
D.(20-2x)(38-2x)=38×20-540
A
解析　∵小路宽为x m,∴草坪的部分可合成长为(38-x)m,宽
为(20-x)m的矩形.依题意得(20-x)(38-x)=540.故选A.
知识点4　一元二次方程的解
8.(2023江苏镇江中考)若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx-6
=0的一个根,则m=　　　 .

5
解析　把x=1代入方程x2+mx-6=0得1+m-6=0,解得m=5.
9.若x=2 024是关于x的一元二次方程ax2-bx-3=0(a≠0)的一个
根,则方程a(x-2)2-b(x-2)=3必有根为　　　　 .
x=2 026
解析　由a(x-2)2-b(x-2)=3得到a(x-2)2-b(x-2)-3=0,设t=x-2,则原
方程变形为at2-bt-3=0.由x=2 024是关于x的一元二次方程ax2-
bx-3=0(a≠0)的一个根,可得at2-bt-3=0必有一个根为t=2 024,
则x-2=2 024,解得x=2 026.
10.(整体思想)(2023山东枣庄中考)若x=3是关于x的方程ax2-
bx=6的解,则2 023-6a+2b的值为　　　 .
2 019
解析　把x=3代入方程得9a-3b=6,即3a-b=2,则原式=2 023-
2(3a-b)=2 023-4=2 019.
能力提升全练
11.(2021黑龙江牡丹江中考,5,★★☆)关于x的一元二次方程
(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为
(　 )
A.0　 B.±3　 C.3　 D.-3
D
解析　移项,合并同类项得(m-3)x2+(m2-9)x-5=0,由题意得m-3
≠0,m2-9=0,解得m=-3.
12.(新考向·代数推理)(2023江苏盐城建湖汇杰初中月考,7,★★☆)
关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a、b、c满足a+b+c=0和9a
-3b+c=0,则该方程的根是 (　 )
A.x1=1,x2=-3　 B.x1=1,x2=3
C.x1=-1,x2=3　 D.无法确定
A
解析　对于方程ax2+bx+c=0,当x=1时,a+b+c=0,当x=-3时,9a-
3b+c=0,所以该方程的根为x1=1,x2=-3.故选A.
13. (一题多解)(2023陕西西安高新区一中期末,5,★★★)已
知d=x4-2x3+x2-12x-5,则当x2-2x-5=0时,d的值为 (　 )
A.25　 B.20　 C.15　 D.10
A
解析　解法一:∵x2-2x-5=0,∴d=x4-2x3+x2-12x-5=(2x+5)2-2x(2x
+5)+x2-12x-5=4x2+20x+25-4x2-10x+x2-12x-5=x2-2x-5+25=25.
解法二:∵x2-2x-5=0,∴x2-2x=5,∴d=x4-2x3+x2-12x-5=x2(x2-2x+
1)-12x-5=6x2-12x-5=6(x2-2x)-5=6×5-5=25.
14.(整体思想)(2023湖南娄底中考,14,★★☆)若m是方程x2-2x-1
=0的根,则m2+ =　　　 .
6
解析　∵m是方程x2-2x-1=0的根,∴m2-2m-1=0,∴m-2- =0,即
m- =2,∴m2+ = +2=22+2=6.
15.(易错题)(2023安徽合肥期末,14, ★★☆)已知关于x的方程
(k-2) +3x-5=0是一元二次方程,则直线y=kx-k与两坐标
轴围成的三角形的面积为　　　 .
1
解析　∵(k-2) +3x-5=0是关于x的一元二次方程,
∴ 解得k=-2.∴直线解析式为y=-2x+2.把x=0代入
y=-2x+2,得y=2;把y=0代入y=-2x+2,得x=1.∴直线y=-2x+2与
两坐标轴的交点坐标分别为(1,0),(0,2),∴直线y=-2x+2与两
坐标轴围成的三角形的两条直角边的长分别为1和2,∴所求面积为 ×1×2=1.
易错警示　本题易忽视一元二次方程的二次项系数a≠0这
一隐含条件.
16.(2022浙江衢州中考,14,★★☆)将一个体积为360 cm3的
长方体包装盒剪开铺平,纸样如图所示.利用体积列出图中
x(cm)满足的一元二次方程: 　　　　　 (不必化简).

15x(10-x)=360
解析　由题意可得长方体的高为15 cm,长为(20-2x)÷2=
(10-x)cm,宽为x cm,所以利用体积公式列出关于x的方程
为15x(10-x)=360.
17.(运算能力)已知a>2,b>2,试判断关于x的方程x2-(a+b)x+ab
=0与x2-abx+(a+b)=0是否有公共根,请说明理由.
素养探究全练
解析　没有公共根.理由:不妨设关于x的方程x2-(a+b)x+ab=0
与x2-abx+(a+b)=0有公共根,且公共根为x0,则有
②-①得(x0+1)(a+b-ab)=0.∵a>2,b>2,
∴a+b≠ab,∴x0=-1,将x0=-1代入①得1+a+b+ab=0,这是不可能
的,∴关于x的方程x2-(a+b)x+ab=0与x2-abx+(a+b)=0没有公共根.
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