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2024-2025 学年江苏省南京、镇江、徐州联盟校高二下学期 5 月学情调
研数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个盒子里装有大小相同的 4 个黑球和 3 个白球，从中不放回地取出 3 个球，则白球个数的数学期望是
( )
A. 4 9 12 167 B. 7 C. 7 D. 7
2.已知 的分布列如下表所示，设 = 2 2，则 ( ) =( )
1 2 3 4
1 1 1
6 6 3
A. 17 B. 5 C. 173 6 6 D.
11
3
3.为了研究某种商品的广告投入 和收益 之间的相关关系，某研究小组收集了 5 组样本数据如表所示，得
到线性回归方程为 = + 0.28，则当广告投入为 10 万元时，收益的预测值为( )万元．
/万元 1 2 3 4 5
/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50
A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88
4.将 5 本不同的书分给 3 个同学，每人至少一本，则不同的分法共有( )种．
A. 54 B. 60 C. 120 D. 150
5.已知 2 2 + 1 3 = 0 + 1( + 1) + 2( + 1)2 + 3( + 1)3 + 4( + 1)4 + 5( + 1)5 + 6( + 1)6，
则 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6的值为( )
A. 64 B. 64 C. 63 D. 63
6.如图为我国数学家赵爽(约 3 世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，也叫赵爽弦图，
现用 5 种不同颜色给图中的 5 个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多
少种( )
A. 180 B. 240 C. 360 D. 420
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7.不透明口袋中有 个相同的黑色小球和红色 白色 蓝色的小球各 1 个，从中任取 4 个小球， 表示当 = 2
时取出黑球的数目， 表示当 = 3 时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是( )
A. ( ) < ( ), ( ) < ( ) B. ( ) > ( ), ( ) < ( )
C. ( ) < ( ), ( ) > ( ) D. ( ) > ( ), ( ) > ( )
8.如图所示，函数 = ( )及其导函数 = ′( )的图象有且仅有一个公共点 (1,1)，则下列说法正确的是
( )
A. 1 1函数 = ( ) e 的最大值为e B.函数 = ( ) e
的最小值为e
C. = ( ) 1 ( ) 1函数 e 的最大值为e D.函数 = e 的最小值为e
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，在样本数据 , ( = 1,2, , 5)中，根据最小二乘法求得线性回归方程为 = + ，去掉点
(9,6)后，下列说法正确的是( )
A.相关系数 变大 B.残差平方和变大 C.回归系数 变大 D.回归截距 变大
10 1 1.已知随机事件 ， 的概率分别为 ( )， ( )，且 ( ) = 3， ( ) = 2， ( | ) = ( | )，则( )
A.事件 与事件 相互对立 B.事件 与事件 相互独立
C. ( + ) = 23 D. ( | ) =
1
3
11.已知函数 ( ) = ln ，若 1 < 2，则下列选项中不正确的是( )
A. 1 2 1 2 1 1
> 1 B.
2 1
>
2 1 2
C.若 1 ≥ 1，则 1 1 < 2 2 D.若 2 ≥ 1，则 1 2 > 2 1
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.若 5C 1 3 2 +1 = 3 C + C ∈ N ，则二项式 2 展开式中常数项为 . (结果用数字作答)
13.已知某同学做抛硬币实验，若他连续抛掷一枚质地均匀的硬币 次，要使正面至少出现一次的概率超过
0.99，则至少需要抛掷硬币 次.
14.已知函数 ( ) = ( + 1)( )( )满足 ( ) + (2 ) = 4， ， 分别是函数 ( )极大、极小值点，
则 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ln ， 为实数．
(1)若函数 ( )在 = 1 处的切线经过点(0,1)，求 的值；
(2)若 ( )有极小值，且极小值大于 2，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
2025 年 5 月 6 日凌晨，我国斯诺克球员赵心童以业余选手身份参赛，连过九轮，最终取得 25 年斯诺克世
界锦标赛的冠军，成为了我国乃至亚洲在这一赛事上的第一人，这必将在青少年中掀起一股新的台球热.某
调研机构为了解青少年对台球的喜爱程度进行问卷调查(评价结果仅有“喜爱”、“不喜爱”)，从所有参与
评价的对象中抽取 100 人进行调查，部分数据如表所示(单位：人)：
喜欢不喜欢合计
男生40 50
女生 30
合计 100
(1)请将 2 × 2 列联表补充完整，试根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，能否认为“对台球运动的喜爱与
性别有关”？
(2)若将频率视为概率，从所有“喜欢”的青少年中随机选取 30 人，记被选中的人中恰有 个男生的概率为
( )，当 取何值时， ( )取得最大值．
2
附： 2 ≥ 10.828 = 0.001， 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
17.(本小题 15 分)
为庆祝五一国际劳动节，某科技企业开展人工智能知识竞赛活动，竞赛试题有甲、乙、丙三类，每类题有
若干道，各类试题的每题分值及选手小李答题情况如下：甲类题答对一题得 10 分，小李能答对甲类题的概
2 1
率为3，乙类题答对一题得 20 分，小李能答对乙类题的概率为2、丙类题答对一题得 30 分，小李能答对丙
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1
类题的概率为3，各小题回答正确得到相应分值，否则得 0 分.竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束各轮得分
之和即为选手最终得分。竞赛规则为：第一轮先回答一道甲类题，若正确进入第二轮答题，若错误继续回
答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题，否则退出比赛。第二轮在乙类题中选择一道作答，
若正确进入第三轮答题，否则退出比赛，第三轮在丙类题中选择一道作答．
(1)求小李答题次数恰好为 2 次的概率；
(2)求小李最终得分的数学期望．
18.(本小题 17 分)
某学校有 ， 两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了 餐厅则后一
1
天继续选择 餐厅的概率为4，前一天选择 餐厅则后一天选择 餐厅的概率为 ，如此往复．已知他第 1 天
2 1
选择 餐厅的概率为3，第 2 天选择 餐厅的概率为3．
(1)求王同学第 1～3 天恰好有两天在 餐厅用餐的概率；
(2)求王同学第 ( ∈ )天选择 餐厅用餐的概率 ．
19.(本小题 17 分)
若存在一个实数 ，使得对于函数 ( )定义域内的任意 ，都有 ( ) ≥ ，则称 ( )有下界，且 是 ( )的
一个下界．
(1)求函数 ( ) = e + 2 的下界 的取值范围：
(2)若 1 是函数 ( ) = ln + 1 的一个下界，求 的取值集合；
(3)若 是函数 ( ) = + 2 + ln 的一个下界，求证： 的最大值为 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.240
13.7
14.2
15. (1) 1 解： 因为 ( ) = ln ，所以
′( ) = ′ + 2，所以 (1) = 1 + ，
又 (1) = ，
所以函数 ( )在 = 1 处的切线方程为 + = (1 + )( 1)，
因为切线经过点(0,1)，所以 1 + = (1 + )(0 1)，解得 = 1；
(2) (1) 1 + 由 知 ′( ) = + 2 = 2 ，函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，无极值，
当 < 0 时，令 ′( ) = 0，得 = ，
所以当 0 < < 时， ′( ) < 0，函数 ( )在(0, )上单调递减，
当 > 时， ′( ) > 0，函数 ( )在( , + ∞)上单调递增，
所以当 = 时，函数 ( )有极小值，极小值为 ( ) = ln( ) + 1，
由 ln( ) + 1 > 2，所以 < e，所以 的取值范围为 ∈ ∞, e ．
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16.解：(1)提出假设 0：青少年对台球的喜爱与性别无关
填表得： = 10， = 20， = 60， = 40， = 50，
2 = ( )
2 100(40×30 20×10)2 50
所以 ( + )( + )( + )( + ) = 50×50×60×40 = 3 ≈ 16.667 > 10.828．
因为当 0成立时，
2 > 10.828 的概率约为 0.001，所以我们有 99.9%的把握认为对台球运动的喜爱与性别有关．
(2)记从喜爱打台球的青少年中选中男生为事件 ，由频率可知，
( ) = 23，
30
则 ( ) = 2，所以 ( ) = 2 13 30 3 3 ，
2 1 30 2 1 30 ( 1) 1 1
( ) ≥ ( 1) 30
则 3 3
≥ 30 3 3
( ) ≥ ( + 1)，即 2 1 30 2 +1 1 30 ( +1) +130 3 3 ≥ 30 3 3
59 ≤ ≤ 62解得 3 3，
因为 ∈ ，所以 = 20．
故当 = 20 时， ( )取得最大值．
17.解：(1)记事件 =“小李先答对一道甲类试题”，事件 =“小李继续答对另一道甲类试题”，
事件 =“小李答对乙类试题”，事件 =“小李答对丙类试题”，
则 ( ) = ( ) = 23， ( ) =
1
2， ( ) =
1
3，
记事件 =“小李答题次数恰好为两次”，则 = + ，
所以 ( ) = + = + ( ) = 1 × 1 + 2 × 1 43 3 3 2 = 9．
(2)设小李最终得分为 ，则 的可能取值为 0，10，30，60，
则 ( = 0) = = 1 × 1 13 3 = 9，
( = 10) = + = 2 × 1 1 2 1 43 2 + 3 × 3 × 2 = 9，
2 1 2 1 2 1 2 8
( = 30) = + = 3 × 2 × 3+ 3 × 3 × 2 × 3 = 27
( = 60) = 1 ( = 0) + ( = 10) + ( = 30) = 427，
分布表如下：
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0 10 30 60
( ) 1 4 8 4
9 9 27 27
所以 ( ) = 0 × 1 4 89+ 10 × 9 + 30 × 27 + 60 ×
4 = 20027 9 ．
18.解：(1)设 =“王同学第 天选择 餐厅”( = 1,2,3)．
则 ( 2 11) = 3， ( 1) = 3 ; (
1 2
2) = 3， ( 2) = 3 ;
( 2| ) =
1
1 4， ( 2| 1) = ．
由全概率公式，得 ( 2) = ( 1) ( 2| 1) + ( 1) ( 2| 1)
= 23 ×
1 1 1 1
4 + 3 × = 3，解得 = 2．
设 =“王同学第 1 3 天恰好有两天在 餐厅用餐”，
则 = 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3，
因此 ( ) = ( 1 2 3) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3)
= 2 × 13 4 ×
3 + 1 × 1 × 1 2 3 1 54 3 2 4 + 3 × 4 × 2 = 12．
(2)设 =“王同学第 天选择 餐厅”( ∈ )，则 = ( )， ( ) = 1 ，
由题与(1)可得 ( +1| ) =
1
4， (
1
+1| ) = 2，
由全概率公式，得 +1 = ( +1) = ( ) ( +1| ) + ( ) ( +1| )
= 1 1 1 14 + 2 (1 ) = 4 + 2．
2 1 2 2 4则 +1 5 = 4 ( 5 )，又因为 1 5 = 15 ≠ 0，
{ 2 } 4 1所以 5 是以首项为15，公比为 4的等比数列．
因此 2 4 1 1 2 4 1 1 5 = 15 × ( 4 ) ，即 = 5 + 15 × ( 4 )
19.(1)由函数 ( ) = e + 2 ，得 ′( ) = + 2 1，
令 ( ) = + 2 1，得 ′( ) = + 2 > 0，
所以 ( ) = + 2 1 为增函数；
又 (0) = 0，
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所以当 > 0 时， ′( ) > 0，当 < 0 时， ′( ) < 0，
所以 ( )min = (0) = 1，故 ≤ 1；
(2) ( ) = ln + 1 ′( ) = 1 = 1函数 ，得 2 2 ，
若 ≤ 0，则 ′( ) < 0，函数 ( )在(0, + ∞)为减函数，
因为 (1) = 1，所以当 ∈ (1, + ∞)时， ( ) < 1，不合题意，舍去，
若 > 0，令 ′( ) = 0，得 = 1 ，
1 1
故当 > 时，
′( ) > 0，当 < 时，
′( ) < 0，
所以函数 ( )在 0, 1 1 单调递减，在 , + ∞ 上单调递增，
所以 ( ) 1min = = ln + ，
由题知 ln + ≥ 1，
令 ( ) = ln + 1， ′( ) = ln ，
故当 > 1 时， ′( ) > 0，当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，
所以函数 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)单调递增，
所以 ( )min = (1) = 0，所以 = 1，所以 的取值集合为 1 ．
(3) ( ) = + 2 + ln ，
即证 ( ) = + 2 + ln 的最小值为 0，
′( ) = + 2 + ln ，
令 ( ) = ′( ) 1，则 ′( ) = + 2 + > 0，
1
故函数 ′( )单调递增，又 ′ < 0，
′(1) > 0，
故 ′( ) 1在 , 1 上存在唯一零点

0，即 0 + 2 0 + ln 0 = 0，
故当 ∈ 0, 0 ， ′( ) < 0，当 ∈ 0, + ∞ 时， ′( ) > 0，
故函数 ( )在 ∈ 0, 0 上单调递减，在 ∈ 0, + ∞ 上单调递增，
故 ( )min = = 0 0 + 20 0 + 0ln 0，
由 0 + 2 0 + ln 0 = 0 得 0 = 0 + 1 0 + ln 0 ，
下面证明： 0 + ln 0 = 0；
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因为 0 + 2 0 + ln 0 = 0，
所以 0 + ln 0 = 0 0，即 0 + ln = 0 0 + ln 0，
令 ( ) = + ln ，则上式等式可化为 0 = 0
1
因为 ′( ) = 1 + > 0，所以 ( ) = + ln 在(0, + ∞)单调递增，
故 = 0 0，即 0 + ln 0 = 0，
故 ( ) = + 2 + ln 的最小值为 0；
即 的最大值为 0，得证．
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