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高二第二学期第二次阶段检测数学试卷
一、单选题（每题5分）
1．集合的另一种表示法是（ ）
A． B． C． D．
2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．60
3．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
5．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．是区间上的增函数 B．是区间上的减函数
C．1是的极大值点 D．4是的极小值点
6．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（ ）
A．0 B．2或 C．或 D．0或或
7.若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分）
9．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值为1
B．若，则的最小值为2
C．若，则有最大值1
D．若，则的最小值为2
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则．
B．某单位有个连在一起的车位，现有辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的个空车位连在一起，则不同的停放方法的种数为．
C．从，，，，这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，共可得到的不同值的个数是．
D．用，，，十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为．
11.已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．函数有唯一极值点
B．函数有一个零点
C．若函数两个零点，则
D．函数的值域
三、填空题（每题5分）
12．若，则 ．
(参考数据：若，则．)
若事件，互斥，，，，则 ．
14．已知函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等．
(1)求展开式中各项系数之和；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中的有理项．
16．某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表:
性别 比赛项目 合计
乒乓球组 羽毛球组
男生 50 25 75
女生 35 40 75
合计 85 65 150
(1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联.
(2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望.
附:
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．表为2018年~2024年某公司年利润（单位：亿元）的统计表，其中2018年~2024年对应的年份代码依次为1~7.
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
年利润 2.2 2.5 2.9 3.6 4.1 4.6 5.3
(1)由上表数据，是否可用线性回归模型拟合与之间的关系？请用相关系数加以说明；
(2)求关于的线性回归方程.
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数，若，则与的线性相关程度高；
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
18．为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
试题类别 软件 软件
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
几何试题
函数试题
(1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率；
(2)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题
(3)现在道类似试题，其中几何、函数试题各道．小明比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，用表示这试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差．
19．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)若函数有两个极值点，求的取值范围.
答案第1页，共2页高二第二学期第二次阶段检测数学试卷解析
一、单选题（每题5分）
1．集合的另一种表示法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以．
又因为，所以，
所以．
故选：B.
2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．60
【详解】个位只能是2和4，十位和百位可以从剩下的数字中选择，
故符合条件的偶数有，
故选：A
3．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A，，A错误，
对于B, ,B正确，
对于C，，C错误，
对于D, ，D错误，
故选：B
4．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【详解】由题意知，1为方程的两根，所以解得则不等式可化为，解得．
5．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．是区间上的增函数 B．是区间上的减函数
C．1是的极大值点 D．4是的极小值点
【详解】由图可知：当时，，
当时，，
故在、上单调递减，在、上单调递增，
故A错误，B错误，C错误，D正确.
故选：D.
6．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（ ）
A．0 B．2或 C．或 D．0或或
【答案】D
【详解】解法1 ．因为p是q的必要条件，所以 ．当，即时，符合题意；当时，由 ，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或．
解法2（代入法） ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意．
7.若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】对于A选项，当时不满足，故A错误；
对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误；
对于C选项，若，则，，，，
故，即，故C正确；
对于D选项，取，，可得，故D错误．
故选：C
8．将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意，，，
则.
二、多选题（每题6分）
9．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值为1
B．若，则的最小值为2
C．若，则有最大值1
D．若，则的最小值为2
【答案】ACD
【详解】因为，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为1，故A正确；因为的等号成立条件是，不成立，所以B错误；当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，当时，，故有最大值1，故C正确；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以D正确．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则．
B．某单位有个连在一起的车位，现有辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的个空车位连在一起，则不同的停放方法的种数为．
C．从，，，，这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，共可得到的不同值的个数是．
D．用，，，十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为．
【详解】对于A选项，因为，
所以，且，
化简得，，解得，故A正确；
对于B选项，将个连在一起的空车位“捆绑”，作为一个整体考虑，然后将辆车放在余下的个车位，
则不同的停放方法的种数，故B正确；
对于C选项，首先从，，，，这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，
因为，，所以从，，，，这五个数中，
每次取出两个不同的数分别记为，共可得到的不同值的个数是，故C错误；
对于D选项，利用间接法，用所有的三位数减去没有重复数字的三位数，
即个，故D错误.
故选：.
11.已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．函数有唯一极值点
B．函数有一个零点
C．若函数两个零点，则
D．函数的值域
【答案】BD
【详解】对求导，可得：
.
令，即，因为恒成立，
所以，解得.
当时，，，则，单调递减；
当时，，，则，单调递增.
所以是函数的极小值点，极小值为，极值点是，
而是函数图象上的点，不是极值点，A选项错误.
令，因为恒成立，所以，解得，
即函数只有一个零点，B选项对.
函数有两个零点，即与的图象有两个交点.
由前面分析可知在处取得极小值，且当时，，
当时，，
所以当时，与的图象有两个交点，C选项错误.
由的单调性可知，在处取得最小值.
当时，，所以函数的值域是，D选项正确.
故选：BD
三、填空题（每题5分）
12．若，则 ．
(参考数据：若，则．)
【答案】
【详解】由题意可得，
.
故答案为：
若事件，互斥，，，，则 ．
【详解】由于事件，互斥，
,故，
故，
，
故答案为：
14．已知函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【详解】，
，
设，，函数单调递增，
即，则，
即，
设，，，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
所以，则.
故答案为：
四、解答题
15在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等．
(1)求展开式中各项系数之和；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中的有理项．
(1)0 (2)
(3)有理项为，，
【详解】（1）依题意，由组合数的性质得，
令，得展开式中各项系数之和为.
（2）因为二项式的展开式的通项为，
因为，
所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为.
（3）由（2）可得：二项式的展开式的通项为，
令，得，
当时，；
当时，；
当时，.
综上所述：二项式展开式中的有理项为，，
16．某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表:
性别 比赛项目 合计
乒乓球组 羽毛球组
男生 50 25 75
女生 35 40 75
合计 85 65 150
(1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联.
(2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望.
附:
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)与性别有关联，理由见解析
(2)
【详解】（1），
故可以在的情况下，得到该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别有关联；
（2）女生中，乒乓球组与羽毛球组选取人数比例为，
故选取的15人中，选取乒乓球组的有人，选取羽毛球组的有人，
故的可能取值为，
，，，
故的分布列为
0 1 2
数学期望为.
17．表为2018年~2024年某公司年利润（单位：亿元）的统计表，其中2018年~2024年对应的年份代码依次为1~7.
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
年利润 2.2 2.5 2.9 3.6 4.1 4.6 5.3
(1)由上表数据，是否可用线性回归模型拟合与之间的关系？请用相关系数加以说明；
(2)求关于的线性回归方程.
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数，若，则与的线性相关程度高；
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)可用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析；
(2).
（2）根据给定的数据，利用最小二乘法公式求出回归直线方程.
【详解】（1）依题意，，，
则相关系数
，与的线性相关程度高，
所以可用线性回归模型拟合与之间的关系.
（2）依题意，，
由（1）得，，
所以关于的线性回归方程为.
18．为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
试题类别 软件 软件
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
几何试题
函数试题
(1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率；
(2)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题
(3)现在道类似试题，其中几何、函数试题各道．小明比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，用表示这试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差．
(1)、
(2)小明应该使用软件来解决这道试题
(3)，
【详解】（1）记、软件能正确解答数学问题的概率分别为和，
由题中数据可得，.
（2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件，
“该题为几何题”为事件．
则，，，，
，，
由全概率公式可得，
，
因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大，
故小明应该使用软件来解决这道试题.
（3）因为，，
故选择几何试题用软件解答，函数试题用软件解答，
用、分别表示这道几何试题与3道函数试题被正确解答的个数，．
则，，
所以，，
，，
因为、相互独立，则，
.
19．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)若函数有两个极值点，求的取值范围.
19．(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，由，得，由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的递减区间是，无递增区间；
当时，函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由（1）知，当时，函数在取得最小值，
要证，只需证明，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以当时，，即成立.
（3）函数的定义域为，求导得，
由函数有两个极值点，得方程在上有两个不等实根，
设，对称轴为，，
则，且，，
即；
，
令，由，得，即，解得，
令，求导得，
因此函数在上单调递减，，即，
所以的取值范围是.试卷第1页，共3页
答案第1页，共2页

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