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2024-2025学年新疆乌鲁木齐市第101中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.若在处有极值，则( )
A. B. C. D.
3.在数列中，，且，则( )
A. B. C. D.
4.有张卡片分别写有数字，，，，，，从中任取张，可排出的四位数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.已知等比数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A.
B. 函数的极值点为，
C. 函数的极大值为
D. 函数在上递增，在上递减
7.第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行甲、乙等名杭州亚运会志愿者到羽毛球、游泳、射击、体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.若函数的图象恒在图象的上方，则的最大整数值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照留念，下列结论正确的是( )
A. 站成一排不同的站法共有种
B. 若甲和乙不相邻，则不同的站法共有种
C. 若甲站在最中间，则不同的站法共有种
D. 若甲不站排头，且乙不站排尾，则不同的站法共有种
10.已知数列的项和为，则下列说法正确的是( )
A. B. 为的最小值
C. D. 使得成立的的最大值为
11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中就有出现如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和则下列命题中正确的是( )
A. 在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B. 由“第行所有数之和为”猜想：
C. 在“杨辉三角”中，当时，从第行起，每一行的第列的数字之和为
D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
13.二项式的展开式的常数项是 ．
14.已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则关于的不等式解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为等差数列的前项和，已知，．
求数列的通项公式；
求，并求的最小值．
16.本小题分
已知二项式展开式中．
求其二项式系数之和与各项系数之和的差；
设，求的值
17.本小题分
已知函数，且满足．
求实数的值；
求函数在区间上的最大值和最小值．
18.本小题分
已知数列满足，
请证明是等比数列，并求数列的通项公式；
令，求数列前项的和．
19.本小题分
记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”已知函数．
若在上为“凸函数”，求的取值范围；
若，判断在区间上的零点个数．
参考答案
1.
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5.
6.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：为等差数列的前项和，，．
，
解得，，
数列的通项公式．
．
时，取最小值为．
16.二项式系数之和为，
令，可得各项系数之和为，
所以二项式系数之和与各项系数之和的差为．
设，则
，
，
所以．
17.解：因为，
所以，
令，即方程，
解得．
由知，，所以，
令，即，
解得，
列表如下：
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以有极大值；有极小值，
又因为，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
18.因为，则，
又，因此是以为首项，为公比的等比数列，
由，得到．
由知，，
所以，
则，
由得到，
所以，
故．
19.由可得其定义域为，且，
所以，
若在上为“凸函数”可得在恒成立，
当时，显然符合题意；
当时，需满足，可得；
综上可得的取值范围为；
若，可得，所以，
令，则；
易知在区间上恒成立，
因此可得在上单调递减；
显然，；
根据零点存在定理可得存在使得，
因此可知当时，，即在上为单调递增；
当时，，即在上为单调递减；
又，显然在上不存在零点；
而，结合单调性可得在上存在一个零点；
综上可知，在区间上仅有个零点．

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