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20.4函数的初步应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图反映的过程是：小强从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，如果菜地和玉米地的距离为千米，小强在玉米地除草比在菜地浇水多用的时间为分钟，则，的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是
A．他离家8km共用了30min B．他等公交车时间为6min
C．他步行的速度是100m/min D．公交车的速度是350m/min
3．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A．火车的长度为120米 B．火车的速度为30米/秒
C．火车整体都在隧道内的时间为35秒 D．隧道的长度为750米
4．如图，把一个小球垂直向上抛出，则下列描述该小球的运动速度（单位：）与运动时间（单位）关系的函数图像中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家步行去体育场，在体育场锻炼了一阵后又步行到文具店买笔，然后再跑步回家，图中x表示离家时间，y表示小明离家的距离，依据图中的信息，下列说法正确的是（ ）
A．体育场离小明家 B．小明在体育场锻炼时间为
C．小明从家到体育场时步行的平均速度是 D．小明从文具店跑步回家的平均速度是
6．如图-①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿→→向点运动，设点的运动路径为，的面积为，图-②是关于的函数关系图像，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，曲线表示一只风筝离地面的高度随飞行时间变化而变化的情况，则下列说法错误的是（ ）
A．风筝最初的高度为
B．时风筝的高度和时风筝的高度相同
C．时风筝的高度最高，为
D．到之间，风筝的高度持续上升
8．一个寻宝游戏场景的俯视图如图（1）所示，为同一平面内的通道．小星沿着通道寻找宝物，为记录小星的行进路线，在的中点处放置了一台定位仪．设小星行进的时间为，小星与定位仪之间的距离为，若小星匀速行进，且表示与的函数关系的图像大致如图（2）所示，则小星的行进路线可能为（ ）

A． B． C． D．
9．下列四个图象分别给出了与的对应关系，其中是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，在中，是斜边的中点，动点从点出发，沿运动，设，点运动的路程为，若与之间的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．一艘轮船以的速度从甲港驶往远的乙港，后，一艘快艇以的速度也从甲港驶往乙港，轮船行驶的路程和快艇行驶的路程与时间的图象如图所示，则下列判断错误的是（　　）

A．4小时前， B．5小时前，
C．4小时后， D．5小时后，
12．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为 （填序号）．
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）；
②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）；
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）；
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．

14．如图所示的函数图象反映的过程是：小红从家去书店，又去学校取封信后马上回家，其中x表示时间，y表示小红离她家的距离，则小红从学校回家的平均速度为 千米/小时．

15．已知：y=（m﹣1）x|m|+4，当m= 时，图象是一条直线．
16．如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，当线段BP最短时，△BCP与△ABP的周长的差为 。
17．下面共有四种情景：
A．一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）；
B．从树上开始往下掉的苹果（苹果落地前的高度与下落时间的关系）；
C． 一杯越来越凉的开水（水温与时间的关系）；
D．竖直向上抛出的篮球（篮球落地前的速度与时间的关系）；
上面各种情景可以近似的用下面那个图象来表示（横轴表示时间，纵轴表示相应的因变量），A、B、C、D各情景对应的图象依次为：
三、解答题
18．数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
(1)函数的自变量x的取值范围是______；
(2)下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为______；
x … 0 2 4 5 …
y … m 0 1 3 4 4 3 2 …
(3)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质：______；
(4)画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围．
19．【直观想象】如图1，动点在数轴上从负半轴向正半轴运动，点到原点的距离先变小再变大，当点的位置确定时，点到原点的距离也唯一确定；
【数学发现】当一个动点到一个定点的距离为，我们发现是的函数；
【数学理解】
(1)动点到定点的距离为，当　　时，取最小值；
【类比迁移】
(2)设动点到两个定点的距离和为．
①随着增大，怎样变化？
②直接写出函数表达式并在给出的平面直角坐标系中画出关于的函数图象；
③当时，的取值范围是 　　．
20．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表：
其中，________．
（2）根据表格数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质：
________；
________．
21．甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的关系图象如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题：
（1）A地与B的路程是　 　km；
（2）　 　同学先到达B地；提前了　 　h；
（3）乙的骑行速度是　 　km/h；
（4）甲从A地到B地的平均速度是　 　km/h．
22．下面的图象记录了某地1月份某一天的温度情况，请你仔细观察图象后回答下面的问题．
(1)图中反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？
(2)你能描述气温随时间的变化而变化的情况吗？
23．物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示．
(1)下滑2 s时物体的速度为____m/s.
(2)v(m/s)与t(s)之间的函数表达式为_____．
(3)下滑3 s时物体的速度为______m/s.
24．如图1，在长方形ABCD中，点P从点B出发，沿B→C→D→A运动到点A停止．设点P的运动路程为x，△PAB的面积为y，y与x的关系图象如图2所示．
(1)AB的长度为______，BC的长度为______．
(2)求图象中a和b的值．
(3)在图象中，当m＝15时，求n的值．
《20.4函数的初步应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C D B D C D B
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象即可分析求解，解题的关键是从图象中获取信息．
【详解】解：由函数图象可知：
分钟，小强从家走到菜地；
分钟，小强在菜地浇水；
分钟，小强从菜地走到玉米地；
分钟，小强在玉米地除草；
分钟，小强从玉米地回到家；
综合上面的分析得：由的过程知，； 由的过程知，
故选：．
2．D
【详解】A、依题意得他离家8km共用了30min，故选项正确；
B、依题意在第10min开始等公交车，第16min结束，故他等公交车时间为6min，故选项正确；
C、他步行10min走了1000m，故他步行的速度为他步行的速度是100m/min，故选项正确；
D、公交车（30-16）min走了（8-1）km，故公交车的速度为7000÷14=500m/min，故选项错误．
故选：D．
3．B
【分析】根据图像上点的坐标意义逐项分析即可．
【详解】解：由线段OA可知，火车正在进入隧道，A点表示火车刚好全部进入隧道，
∴火车的长度为150米，故A选项错误；
由线段BC可知，火车正在出隧道，B点表示火车出隧道的初始时刻，C点表示火车完全出了隧道，一共用时35-30=5（秒），
∴火车的速度为150÷5=30（米/秒），
故B选项正确；
∵OA段对应时间为150÷30=5（秒），
∴AB段对应时间为：30-5=25（秒）
∴整体在隧道内的时间为25秒，
故C选项错误；
∵30×30=900（米），
∴隧道的长度为900米；
故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了图像的意义，解决问题的关键是能理解图像上点的含义，以及路程=速度×时间之间的关系，蕴含了数形结合的思想方法．
4．C
【分析】一个小球垂直向上抛出，小球的运动速度v越来越小，到达最高点是为0，小球下落时速度逐渐增加，据此选择即可．
【详解】根据分析知，运动速度v先减小后增大．
故选：C．
【点晴】考查了动点问题的函数图象．解题关键分析小球的运动过程：一个小球垂直向上抛出，小球的运动速度v越来越小，到达最高点是为0，小球下落时速度逐渐增大．
5．D
【分析】本题主要考查了对函数图象的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解答此题的关键．利用函数图象中横、纵坐标的意义分别求解即可．
【详解】解：、体育场离小明家，选项错误，不符合题意；
、小明在体育场锻炼时间为，选项错误，不符合题意；
、小明从家到体育场时步行的平均速度是，选项错误，不符合题意；
、小明从文具店跑步回家的平均速度是，选项正确，符合题意；
故选：．
6．B
【分析】根据函数图象可知AB+BC＝7，△AOB的面积为3，再根据矩形的性质可知点O到AB的距离为BC的长，利用面积建立方程即可求解.
【详解】解：观察图象可知：AB+BC＝7，S△AOB＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴点O到AB的距离是BC的长，
设AB＝x，则BC＝7-x，
∵S△AOB＝＝3，
∴，
解得，
∵，即，
∴AB＝4.
故选B.
【点睛】本题考查了函数的图象.结合图象得出矩形邻边和为7，△AOB的面积为3并利用面积建立关于AB的方程是解题的关键.
7．D
【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象逐项判断即可得．
【详解】解：根据函数图象逐项判断如下：
A、风筝最初的高度为，正确，不符合题意；
B、时风筝的高度和时风筝的高度相同，均为，正确，不符合题意；
C、时风筝达到最高高度为，正确，不符合题意；
D、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查函数图像在生活的应用，利用排除法首先排除B选项，再逐一分析A，C，D选项路线中y随x的变化情况，即可得结果．
【详解】解：根据函数图象与x轴有交点可知，小星一定经过点P，由此可排除B选项．对A，C，D选项的路线逐项分析，如下：
选项 路线 y随x的变化情况 是否与题中函数图象一致
A 减小→增大→减小→增大 否
C 减小→减小→增大 是
D 减小→增大→减小→增大 否
故选：C．
9．D
【分析】根据函数的定义：一个变化过程中，两个变量，，其中随着的变化而变化，对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，我们把叫做的函数，进行判断即可．
【详解】解：A．当时，每一个确定的值，都有2个值与之对应，不符合题意；
B．当时，有3个值与之对应，不符合题意；
C．当时，每一个确定的值，都有2个值与之对应，不符合题意；
D．对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查函数的识别．熟练掌握对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，是解题的关键．
10．B
【分析】由图2可得，AC+BC=4，由图1可得，当点E从点A运动至点C时，的面积随着点E的运动增大，当点E从点C运动至点B时，的面积随着点E的运动减小，由此可得，当点E运动路程为2即运动至点C时，的面积为1，即AC=BC=2，所以是等腰直角三角形，所以，BD=CD，根据的面积为1列式，求出CD的长度即可．
【详解】，D是斜边的中点，
BD=CD，
由题意可得：AC=2，AC+BC=4，
BC=2，
BC=AC，
是等腰直角三角形，
，
由题意可得：的面积为1，
，
解得：CD=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数图像的识别、直角三角形斜边上的中线的性质以及平方根的求解，把函数图像信息转化为几何图形的信息是解题关键．
11．B
【分析】本题考查了函数图象，从图像中获取信息是解题的关键；由图像知，当时，，当时，，当时，，由此即可作出判断．
【详解】解：由图像知，当时，；
由于轮船先于快艇出发，故当时，，即A正确；当时，，故C正确；自然5小时后，，即D正确；所以错误的是B选项；
故选：B．
12．D
【分析】本题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．点，，在同一个函数图象上，可得P、Q关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴得P、Q关于y轴对称，
∴选项A、C错误，
∵，在同一个函数图象上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴选项B错误，选项D正确．
故选：D．
13．③②④①
【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案．
【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系，
故图象顺序为：③②④①，
故答案为：③②④①．
14．6．
【详解】小红家与学校的距离为6km，从图象可知她从学校到家用时为3-2=1小时，故从学校到家的平均速度等于6÷1=6 km/h，
故答案为6.
【点睛】本题考查了函数的图象，分段函数，解此题的关键是找到相应的路程与时间，根据速度=路程÷时间得到相应的速度．
15．±1
【分析】根据一次函数与常值函数的图象都是一条直线可得当m=±1，原函数的图象都是一条直线.
【详解】解：当m=1时，原函数为y=4，其图象是一条直线；
当m=﹣1时，原函数为y=﹣2x+4，其图象是一条直线.
故答案为±1.
【点睛】本题主要考查函数图象，解此题的关键在于熟记一次函数与常值函数的图象均为一条直线.
16．5.5
【分析】由图2及题意可得、、及的长，当线段最短时，，此时由勾股定理可求得的长，从而可分别求得及的周长，最后可求得这两个三角形周长的差．
【详解】解： 从图2可以看出：
，
当线段最短时，，此时，，
的周长，
的周长，
故：与的周长的差为5.5，
故答案为：5.5．
【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理，读懂y与x之间的关系图，进而得、、及的长是解题的关键．
17．④⑤③⑧
【详解】试题分析：A. 一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系），因为匀速行驶，所以汽车行驶的路程与时间的关系是一条直线，所以选④； B. 从树上开始往下掉的苹果（苹果落地前的高度与下落时间的关系），速度有零逐渐增大，刚开始时高度是树的高度，速度比较小，所花时间多，到落地之前，速度很大，苹果离地面高度越来越近，至最后为0，所以选⑤； C. 一杯越来越凉的开水（水温与时间的关系），刚开始是开水，温度为100，随着时间的推移，开水的温度越来越低，最后接近气温，所以选③； D. 竖直向上抛出的篮球（篮球落地前的速度与时间的关系），向上抛出的时候速度为一定的数值，时间为0，抛出的篮球做上抛运动，在上升过程中速度越来越小，至某个时候，速度为0，然后篮球做自由落体运动，速度越来越大，所以选⑧
考点：函数
点评：本题考查函数，解答本题的关键是掌握函数的关系，变量与变量之间的关系，认真的分析每一个运动的过程
18．(1)
(2)
(3)画图象见解析；时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小
(4)时，x的取值范围是或
【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据描点法画函数图象，根据图象的变化趋势，可得答案；
（4）根据图象，可得答案．
【详解】（1）解：当时，分母都不为0，
故答案为：；
（2）解：当时，，
故答案为：；
（3）解：画出函数的图象如图：
；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
故答案为：时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
（4）解：画出函数的图象，如上图，
观察图象，时，x的取值范围或．
【点睛】本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．
19．(1)2
(2)①先变小然后不变再变大；②见解析；③或
【分析】（1）当重合时，最小，此时．
（2）①利用图像法可得结论；②分三种情形，分别画出函数图像即可；③利用图像法解决问题即可．
【详解】（1）解：（1）当重合时，最小，此时．
故答案为：2．
（2）①动点到两个定点的距离和为
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
∴y先变小然后不变再变大．
②画出函数图象如图，
∴y先变小然后不变再变大．
③观察图像可知，满足条件的x的取值范围为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查函数图像，函数关系式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（1）m=0；（2）见解析；（3）①函数图象关于y轴对称，②当x＜-1时，y随x的增大而减小（答案不唯一，能从图上观察得到即可）．
【分析】(1)将x=-2代入解析式求出即可；（2）按照表格里的点画图；（3）通过对图像的观察，写出2点即可
【详解】当x=-2时，y=（-2）2-2×|-2|=0，
∴m=0，故答案为0．
（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图1所示．
（3）观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称，②当x＜-1时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键
21．（1）18；（2）甲，0.5；（3）12；（4）12
【分析】（1）利用函数图象，直接得出AB的路程即可；
（2）利用函数图象，直接得出甲比乙先到达B地的时间；
（3）利用路程除以时间得出乙的速度即可；
（4）利用总路程除以总时间得出甲的平均速度．
【详解】解：（1）利用图象可得： A地与B的路程是18千米，
故答案为：18；
（2）利用图象可得出：甲比乙先到达B地；提前了2﹣1.5＝0.5（小时），
故答案为：甲，0.5；
（3）乙的骑行速度是18÷（2﹣0.5）＝12（千米/时）
故答案为：12；
（4）整个过程中甲的平均速度是 18÷1.5＝12（千米/时），
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，利用函数图象得出正确的信息是解题的关键．
22．(1)图象反映的是温度和时间两个变量之间的关系，时间是自变量，温度是因变量
(2)在时，气温不断上升；在时或时，气温不断下降
【分析】本题考查了变量，掌握相关定义是解题关键．在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量．若一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化，那么我们称前一个变量为因变量，后一个变量为自变量，据此即可作答．
（1）根据变量的定义作答即可；
（2）根据图象进行描述即可．
【详解】（1）解：图象反映的是温度和时间两个变量之间的关系，时间是自变量，温度是因变量；
（2）解：在时，气温不断上升；在时或时，气温不断下降．
23． 5 v＝t 7.5
【详解】试题分析：（1）由图象可得，t=2时，v=5;
(2)先求出每秒增加的速度，再根据：速度＝时间每秒增加的速度列关系式;
(3)当t=3时代入计算即可.
试题解析：
(1)由图可知，当t＝2时，v＝5，
∴下滑2 s时物体的速度为5 m/s.
(2)由题意可知，平均每秒速度增加 m/s，
∴v＝t.
(3)当t＝3时，v＝×3＝7.5(m/s)．
24．(1)8、5
(2)a=18、b=20
(3)12
【分析】（1）根据函数图象直接可得答案；
（2）利用三角形的面积公式结合图象可得a和b的值；
（3）首先确定点P在AD上，求出AP的长，再代入三角形面积公式即可.
【详解】（1）解：由图2知，当x=5时，点P与C重合，
∴BC=5，
当x=13时，点P与D重合，
∴BC+CD=13，
∴CD=8=AB，
故答案为：8，5；
（2）当P与C点重合时，
＝，
当点P与A重合时，
＝5＋8＋5＝18；
（3）∵，
∴此时点P在AD边上，且AP＝3．
∴．
【点睛】题目主要考查函数图象中的动点问题，理解题意，结合函数图象及图形得出相关信息是解题关键．
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