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2024-2025 学年安徽省蒙城第一中学高二下学期期末模拟
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 + .已知函数 ( )在 = 0处可导，且 lim 0 0 = 1，则 ′ =( ) →0 3 0
A. 3 B. 3 C. 1 D. 1
2.正项等比数列 中， 4 = 1， 5 11 = 81，则 6 =( )
A. 3 B. 3 C. 6 D. 9
3.已知随机变量 服从正态分布 (2, 2)，且 ( < 4) = 0.8，则 (0 < < 2)等于( )
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
4.三棱锥 中， = , = , = ，点 为 中点，点 满足 = 2 ，则 =( )
A. 1 1 22 3 3 B.
1
2
1 + 23 3
C. 2 1 3 2
12 D.
1 2 12 3 + 2
5.已知直线 1：2 + 1 = 0， 2： 1 + = 0，则“ = 2”是“ 1// 2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、
糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这 6 种美食中随机选择 2 种品尝(选择的 2 种美食不分先后顺序)，若
三天后他品尝完这 6 种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为( )
A. 15 B. 90 C. 270 D. 540
7.已知数列 的前 项和为 ，且 1 = 1， 2 = 2， +1 + = 3 ，则( )
2
A. 19 = 300 B. 为奇数时， =
3 +1
4
C. 31 = 720 D. 4 = 6
2 2
8.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左 右焦点分别为 1, 2，若在 上存在点 (不是顶点)，使得
∠ 2 1 = 3∠ 1 2，则 的离心率的取值范围为( )
A. (1,2) B. 2, + ∞ C. 1, 3 D. 2, 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(2 )10 = 0 + 1 + 2 2 + + 1010 ，则下列说法正确的是( )
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A. (2 )10的展开式中奇数项的二项式系数之和为29
B. 0 + 1 + 2 + + 9 + 10 = 310
C. 1 + 2 + + 10 = 1
D. (2 )10的展开式中二项式系数最大项为 C510 25 5
10.已知函数 ( ) = ( 2 2 ) ′，其导函数为 ( )，则下列说法正确的是( )
A. (1) = ′(1)
B. ( )在区间( 2,2)上单调递减
C. ( )无最大值，有最小值
D.若函数 = ( ) ∈ R 有两个零点，则(2 2 2) 2 < 0
11.已知 ， ， 是抛物线 ： 2 = 28 上不同的动点， 为抛物线 的焦点，直线 为抛物线 的准线，
的中点为 ( , )，则( )
A.当 = 9 时，| |的最大值为 32
B.当 = 8 时，| | + | |的最小值为 22
C. = 5 14当 时，直线 的斜率为 5
D.当 // 时，点 到直线 的距离的最小值为 14
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.数列 的前 项和 且 +2 + 2 +1 = 0 ∈ N .若 11 + 15 + 19 = 12，则 29 = ．
13 .已知随机变量 ～ (0, 2)，且 ( ≤ 0) = ，则( )6 的展开式中常数项为 ．
14.已知正四棱锥 的底面边长为 3，该四棱锥内部的球 与其所有面均相切，若球面上有且仅有一
点 满足 = = 0，则球 的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设正项等比数列 ， 4 = 81
9
，且 3、 4的等差中项为2 1 + 2 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 = log
1
3 2 1，数列 的前 项为 ，数列 满足 = 1， 为数列 的前 项和，求 ． 4
16.(本小题 15 分)
如图，四棱柱 — 1 1 1 1的底面 是正方形， = 1 = 2， 1 ⊥平面 1 1D.
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(1)求点 1到平面 的距离；
(2) 10 若 是线段 1上一点，平面 与平面 1 1 夹角的余弦值为 5 时，求 的值．1
17.(本小题 15 分)
甲、乙两名小朋友每人手中各有 3 张龙年纪念卡片，其中甲的 3 张卡片的颜色为 1 张金色和 2 张银色，乙
手中的 3 张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取 1 张，去与对方交换，重复 次这样
的操作，记甲手中有银色纪念卡片 张，恰有 2 张银色纪念卡片的概率为 ，恰有 1 张银色纪念卡片的概
率为 ．
(1)分别求 2， 2的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现 0 张，并求首次出现这种情况
的概率 ．
(2)记 = 2 + ．
(ⅰ)证明数列 1 是等比数列；
(ⅱ)求 的数学期望．(用 表示)
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + 2 3 ( ∈ )．
(1)若函数 ( )在点(2, (2))处的切线与直线 3 2 = 0 平行，求函数 ( )的极值；
(2)若 = 1，对于任意 1, 2 ∈ [1,10]，当 1 < 2时，不等式 ( 1) (
( 2 1)
2) > 恒成立，求实数 的取1 2
值范围．
19.(本小题 17 分)

2
+
2
已知椭圆 ： 4 2 = 1( > 0)， (0, )， (0, ).椭圆 内部的一点 ,
1
2 ( > 0)，过点 作直线 交椭
圆于 ，作直线 交椭圆于 ． 、 是不同的两点．
(1) 3若椭圆 的离心率是 2 ，求 的值；
(2)设 的面积是 ， 的面积是 ，若 11 2 = 5， = 1 时，求 的值；2
(3)若点 , ， , 满足 < 且 > ，则称点
1
在点 的左上方．求证：当 > 2时，点 在点
的左上方．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.116
13.154
14.3π
15.(1)解：设等比数列 的公比为 ，则 > 0，
由题意可得 3 + 4 = 2 1 + 2 = 9 1 + 2 ，解得 = 3，
则 = 4 4 = 81 × 3 4 = 3 ．
(2)解：由(1)得 = log 2 133 = 2 1，则 +1 = 2( + 1) 1 (2 1) = 2，
= 1+ = 1+(2 1)所以，数列 为等差数列，所以， 2 2 =
2，
所以， =
1 1 4 4 1 1
1
= = =
2
1 4 2 1 (2 1)(2 +1) = 2 2 1 2 +1 ，
4 4
则 = 2 1 1 1 1 3 + 3 5 + +
1 1 1 4
2 1 2 +1 = 2 1 2 +1 = 2 +1．
16.解：(1)连接 交 于点 ．
因为 1 ⊥平面 1 1 ， 平面 1 1 ，所以 1 ⊥ ，
又 ⊥ ， 1 ∩ = ， 1C、 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
又 平面 ，所以平面 1 ⊥平面 ．
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因为 1 ⊥平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，所以 1 ⊥ 1，
又 1// 1，所以 1 ⊥ 1，
在 △ 1 中， 1 = 2， = 2，所以 1 = 2．
又 为 的中点，所以 1 ⊥ 且 1 = 1，
又平面 1 ⊥平面 ，平面 1 ∩平面 = ，且 1 平面 1 ，
所以 1 ⊥平面 ．
故点 1到平面 的距离为 1 = 1．
(2)以 为原点，分别以 ， ， 1所在直线为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (1,0,0)， (0,1,0)， 1(0,0,1)， (0, 1,0)，
由 1 = 1 = 0,1,1 ，可得 1(1,1,1)，
1 = (0,1, 1)， = (1,1,0)，
由(1)知，平面 1 1 的一个法向量 1 = 1 = (0,1, 1)，

设 = (0 1)，1
所以 = 1 = (0, , )， = + = (1, + 1, )， = (0,2,0)，
设 2 = ( , , )为平面 的一个法向量，
2 = 0 + ( + 1) + = 0由 得 ,
= 0 = 02
取 2 = ( , 0, 1)，
设平面 与平面 1 1 的夹角为 ，
cos = 1· 1 10则有 2| 1|·| |
= = ，
2 2× 1+ 2 5
1
解得 = 2 (舍负)，
1
即 = 2．1
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17.(1)根据题意， 2表示“重复 2 次操作，甲手中恰有 2 张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况：
第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片；
第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片，
= 1 × 3 1 2 3 2 1 3 2 1 7则 1 3 3 = 3， 1 = 3 × 3 = 3， 2 = 1 × 3 × 3 + 1 × 3 × 3 = 27，
2表示“重复 2 次操作，甲手中恰有 1 张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况：
第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片；
第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片，
乙交换金色卡片，则 2 = 1 ×
2
3 ×
3
3 +
1 1 2 2 1 2 2 5 16
1 × 3 × 3+ 3 × 3 = 3 × 3 + 3 × 9 = 27．
23
其中 1 + 1 = 1，故交换一次不会出现 1 = 0 的情况，而 2 + 2 = 27，
操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现 0 张，其概率为 = 1 2 =
4
2 27．
(2)(ⅰ) 1 3 2 1 1 2由题意可得 +1 = × 3 × 3 + × 3 × 3 = 3 + 9 ，
2 3 1 +1 = × 3 × 3 + × 3 ×
1 2 2
3 + 3 × 3 + 1 ×
3 × 2 = 1 23 3 9 + 3，
2 1 2 1 2
则 1 = 2 1 + 1 = 4， +1 = 2 +1 + +1 = 3 +1 + 3 + 3 = 3 + 3，
所以 +1 1 =
1
3 1
1
， 1 1 = 3，
1 1
所以数列 1 是首项为3，公比为3的等比数列，
(ⅱ) (ⅰ) 1 1由 知 1 = 3 ，所以 = 3 + 1．
的所有可能取值为 0，1，2，
其分布列为

0 1 2
1

从而 = 2 + =
1
3 + 1．
18.解：(1)由题可得函数的定义域为(0, + ∞)，
1′ = + 2 3，
1 3
由题意得， ′(2) = 2 + 4 3 = 2，解得 = 1，
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2
所以 ′ = 1 + 2 3 =
2 3 +1
，
令 ′ = 0，解得 = 1 或 = 12，
当 ∈ (0, 12 )或 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
1
当 ∈ ( 2 , 1)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
则当 = 1 时，函数 ( )取得极小值为
(1) = ln1 + 1 3 = 2，
当 = 12时，函数 ( )取得极大值为
( 12 ) = ln
1
2+
1 3 5
4 2 = ln2 4．
(2)由 = 1 得 ( ) = + 2 3 ，
( )
不等式 ( 1) ( 2) > 2 1 可变形为：1 2
( 1) (

2) > ，即 ( 1) > ( 2) 1 2 1
，
2
因为 1, 2 ∈ [1,10]，且 1 < 2，

所以函数 = ( ) 在[1,10]上单调递减，
令 ( ) = ( ) = +
2 3 ， ∈ [1,10]，
则 ′( ) = 1 + 2 3 +

2 ≤ 0 在 ∈ [1,10]上恒成立，
即 ≤ 2 3 + 3 2 在 ∈ [1,10]上恒成立，
设 ( ) = 2 3 + 3 2 ，
则 ′( ) = 6 2 + 6 1 = 6( 1 22 ) +
1
2，
因为当 ∈ [1,10]时， ′( ) < 0，
所以函数 ( )在[1,10]上单调递减，
所以 ( ) = (10)
= 2 × 103 + 3 × 102 10 = 1710，
所以 ≤ 1710，
则实数 的取值范围为( ∞, 1710]．
19.(1) 3因为椭圆 的离心率是 2 ．
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0 < < 2 3 = 4
2
当 时， 2 2 ，得 = 1；
> 2 3
2
= 4当 时， 2 ，得 = 4；
所以 的值为 1 或 4；
(2)由题意，直线 的斜率 存在，直线 的斜率 存在，
1
= 2
1 1
= 2 ，直线 的方程 = 2 + 1，设 ( , )．
2 2
4 + = 1 2则 +1 2 4 2 = 0 = 2 ．
= 12 + 1
4 +1
1+1
= 2 = 3 3 2 ，直线 的方程 = 2 1，设 ( , )．
2 2
4 + = 1 2 +9 2 3 则 3 4 2 = 0 =
12

= 1
2+9．
2
1
| | | | sin∠
由图， 1 = 2 1 ，2 2| | | | sin∠
注意到∠ + ∠ = π，则 sin∠ = sin∠ ．
又| | = 2 2 + = 1+ 2 ，同理可得
| | = 1 + 2 , | | = 1 + 2 , | | = 1 + 2
1 | | | |
.则 =2 | | | |
=
4 3 3
| | 2+1 2+1 2+9

=
| | 12
= 3 = = 5 = 1 3 2+1
2+9 2+9
(3)由题意，直线 的斜率 存在，直线 的斜率 存在，
1
2 1 2 1 2 = = 2 ，直线 的方程 = 2 + ，设 ( , )．
= 1 2 2 + (1 2 )
2+ 2 2 2 4 (1 2 ) 4 (2 1) 则 2 2 + = 1
2 + = 0 = (1 2 )2+ 2 2．
4 2
1
2+ = = 1+2 2 ，直线 的方程 =
1+2
2 ，设 ( , )．
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= 1+2 2 (1+2 )2+ 2 2 2 4 (1+2 )则 2 2 2 = 0 =
4 (2 +1)

+ (1+2 )
2+ 2 2．
4 2 = 1
2 2 2
= 4 (2 1) (2 +1) == 4 (2 1) (2 +1) + (2 +1) (1 2 )
2+ 2 2
则 (1 2 )2+ 2 2 (2 +1)2+ 2 2 (1 2 )2+ 2 2 (2 +1)2+ 2 2 =
8 4 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2
(1 2 )2+ 2 2 (2 +1)2+ 2 2 .又 , 2 在椭圆内部，则 4 + 4 2 < 1 4 1 > 0，故 > ．
1 1
又根据题意知 > 2 , 2 > ，所以
1
> 2 >
1
.所以当 > 2时，点 在点 的左上方．
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