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2024-2025 学年四川省成都石室中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 21 .双曲线 3 2 = 1 的渐近线方程是( )
A. =± 2 3 63 B. =± 2 C. =± 2 D. =±
6
3
2.数列 是首项为 1 且公差不为 0 的等差数列，若 2 8 = 3 5，则 20 =( )
A. 20 B. 39 C. 41 D. 58
3.已知(2 1) ∈ 的展开式中只有第 3 项的二项式系数最大，则 2项的系数为( )
A. 16 B. 32 C. 24 D. 8
4.记 为等比数列 的前 项和.若 2 = 4， 4 = 6，则 6 =( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5.在某次研讨会中，甲、乙、丙、丁、戊、己 6 位专家轮流发言，其中甲和乙不能连续发言，则这 6 位专
家的不同发言顺序共有( )
A. 240 种 B. 280 种 C. 480 种 D. 720 种
6 π .已知函数 ( ) = 2 + sin 2 + 在 0, 2 上单调递减，则实数 的最大值为( )
A. 1 1 2 22 B. C. 3 D.
7.已知正四棱锥的侧棱长为 3 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
8.若 ∈ (1, + ∞)，不等式e +ln + ln + 1 ≥ ln( 1)恒成立(其中 e 是自然对数的底数)，则实数 的最小
值为( )
A. e 2 B. e 1 C. e D. e2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列 满足 1 + 2 + + 2 12 = 2 ，数列 的前 项和为 ，则( )
A. 5 = 6 B.数列 是等比数列
C. 1 504， 8， 12构成等差数列 D.数列 前 200 项和为 +1 101
10.若(1 + )2024 = 0 + 1 + 2 2 + + 20242024 ，则( )
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A. 0 = 0
B. 10121 + 2 + 3 + + 2023 + 2024 = 4 1
C. + 1 + 1 + 1 = 320240 2 1 22 2 22024 2024
D. 1 + 3 + 5 + 2023 = 22023
11.已知 ( )是定义在 上的奇函数， ( ) = ′( )， ( )不恒为零且 ( 2)为偶函数，则( )
A. ( )为偶函数 B. ( 2) = 0
C. ( + 2) = ( 2) D. (2024) + (2026) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.已知曲线 = ln 在 = 1 处的切线与直线 + 5 = 0 平行，则实数 的值为 ．
13.将 5 本不同的书分发给甲、乙、丙三个同学，每个同学至少得到 1 本书，且甲同学只得到 1 本书，则不
同的分法总数为 ．
14 = 1 2

.设数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 ( +1) 的前 项和为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知数列 是首项为 2 且公差不为 0 的等差数列， 4为 2和 8的等比中项，记数列 的前 项和为 ．
(1)求 和 ；
(2)设 = ( 1) 1
2
∈
，求数列 的前 2022 项的和．

16.(本小题 12 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，平面 1 ⊥平面 1 1， 为 1 的中点， 1 = = 2， 1 = 2 2，
1 = 2 = 2 3．
(1)证明： 1 ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 1的夹角的余弦值．
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17.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 3ln + 1．
(1)求函数 ( )的极值；
(2)若不等式 ( ) ≤ 12 ( + 6)恒成立，且 ∈ ，求 的最小值．
18.(本小题 12 分)
2 2
已知 1， 2分别是椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点，直线 : + 2 = 0 与 轴相交于点 ，与
椭圆 相交于不同的 ， 两点， 1 2的面积为 2 2，且椭圆 的短轴长与焦距相等．
(1)求椭圆 的方程和实数 的取值范围；
(2)若线段 的垂直平分线与 轴相交于点 ，且 为直角三角形，求点 的坐标和直线 的方程．
19.(本小题 12 分)
已知曲线 ( ) = ( 1) 与直线 = 1 有且仅有两个不同的交点 1, 1 ， 2, 2 ，且 > 0. (其中 e
是自然对数的底数)
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： 1 + 2 < 2ln ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.70
14.( 1) 2 +1 + 2
15.(1)因为 4为 2和 8的等比中项，所以 42 = 2 8，
又因为数列 是首项为 2 且公差不为 0 的等差数列，则(2 + 3 )2 = (2 + )(2 + 7 )，所以 = 2， = 2 ，
= (2+2 ) 2 = ( + 1)．
(2) = ( 1) 1 2 = ( 1) 1 2 ( +1)因为 2 = ( 1)
1 ( + 1)

所以数列 的前 2022 项的和为：
1 + 2 + + 2022 = 2 3+ 4 5 + + 2022 2023 = (2 3) + (4 5) + + (2022 2023) =
1 × 20222 = 1011．
16.(1)因为 为 1 的中点， 1 = 2 ，所以 1 = = ，
则∠ 1 = ∠ 1，∠ = ∠ ，∠ 1 + ∠ = ∠ 1 + ∠ ，
又∠ 1 + ∠ + ∠ 1 + ∠ = 1800，所以∠ 1 = 900，即 1 ⊥ ．
因为 1 = 2 2， = 2， = 2 3，所以 2 2 21 1 + = 1 ，即 ⊥ 1 ，
又平面 1 ⊥平面 1 1，平面 1 ∩平面 1 1 = 1 ， 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 1，又 1 平面 1 1，则 ⊥ 1，又 ∩ = ，
所以 1 ⊥平面 ．
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(2)由(1)知， ⊥平面 1 1，又 平面 1 1，则 ⊥ ，
又 1 ⊥平面 ， 平面 ，则 1 ⊥ ，所以 , , 1两两垂直，
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为 1 = = 2， 1 = 2 2，所以 = 2，则 (0,2,0), 1(0,2,2), (0,0,0), (2,0,0)，所以 1 的中点
(1,1,1)， = (1,1,1)， = (0,2,0)，

= + + = 0
设平面 的一个法向量 = ( , , )，则

,
= 2 = 0
令 = 1，则 = 1，所以 = (1,0, 1).因为平面 1的一个法向量 = (1,0,0)，
cos , = = 1 = 2 2则 2×1 2 ，所以平面 与平面 1的夹角的余弦值为 2 ．
17.(1) ′( ) = 3 1 ln 因为 2 ，
当 ∈ 0, e 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ e, + ∞ 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
3
所以当 = e 时，函数 ( )取得极大值 (e) = e + 1，无极小值．
(2) 1因为不等式 ( ) ≤ 2 ( + 6)恒成立，
3ln
即 + 1 ≤
1
2 ( + 6)恒成立，
1 3ln + 3ln +
由于2 ( + 6) > 0，则 ≥ 1 2 ，设 ( ) = ，
2 +3
1
2
2+3
3
+1
1 2
2 +3 (3ln + )( +3) ( +3) 3
1
2 3ln 则 ′( ) = = ，
1 2 2 2 1 22 +3 2 +3
设 ( ) = 3 12 3ln ，则
′( ) = 12
3
< 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
又 (1) = 52 > 0， (2) = 2 3ln2 = lne
2 ln8 < 0，
1 1
所以存在 0 ∈ (1,2)，使 0 = 3 2 0 3ln 0 = 0，即 3ln 0 = 3 2 0．
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当 ∈ 0, 时， ′0 ( ) > 0，函数 ( )单调递增，
当 ∈ ′0, + ∞ 时， ( ) < 0，函数 ( )单调递减．
1 1
3ln
所以 ( ) = = 0+ 0
3 2 = 0
+ 0 3+2 0 1
max 0 1 = = ．
2
2
0+3
1 2
0 2 0+3
1
0 2
2
0+3 0 0
1 1
又 0 ∈ (1,2)，则 ∈ 2 , 1 ，由于 ≥ ( )恒成立， ( )
1
max ∈ , 1 ，且 ∈
0 2
所以 的最小值为 1．
18.(1) 1由题意知 (0,2)，因为 1 2的面积为 2 2，所以2 2 2 = 2 2
= 2，又因为椭圆 的短轴长与焦距相等，所以 2 = 2 = 2 2 = 2，则
2 2
2 = 2 + 2 = 4 ，椭圆 的方程为： 4 + 2 = 1．
+ 2 = 0
联立 2 2 ，整理得： 1 + 2 2 2 + 8 + 4 = 0，因为直线 与椭圆 相交于不同的两点
4 + 2 = 1
、 ，所以 = 64 2 16 1 + 2 2 > 0 2，解得： > 2 或 <
2
2 ，
2 2
则实数 的取值范围为： ∞, 2 ∪ 2 , + ∞ ．
(2)设 1 1 ， 2, 2 ，设线段 的中点为 ( 0, 0)，由(1)知： 1 + 2 =
8 4
1+2 2， 1 2 = 1+2 2，
2
则 0 =
4 4 2 4 2
1+2 2， 0 = 1+2 2 + 2 = 1+2 2，即 1+2 2 , 1+2 2 ．
2
设 ( , 0) 2，由 ⊥ ，则 1+2 4 =
1
，化简为 2
2 + 2 + = 0，①

1+2 2
因为 为直角三角形，又 = ，所以∠ = 90 ，即 = 0，
所以 1 2 + 1 2 = 0， 1 2 + 1 + 2 2 + 2 = 0，
整理为 2 + 1 21 2 + (2 ) 1 + 2 + + 4 = 0，
4
则： 2 + 1 + (2 ) 8 + 21+2 2 1+2 2 + 4 = 0，
化简为 2 1 + 2 2 4 2 + 8 + 8 = 0②
由①得 2 2 + 1 = 2 ，即 2 2 + 1 2 = 2 ，代入②得 2 4 2 + 8 + 8 = 0，
整理得 2 2 + 3 + 4 = 0 2 ③，又由①得 = 2 2+1，代入③得：
2 2 + 3 2 2 22 2+1 + 4 = 0，即 2 2 + 1 + 3 ( 2 ) + 4 2
2 + 1 = 0，
整理得 4 = 1，即 =± 1，满足 > 0．
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当 = 1 2 2时， = 3，点 的坐标为 3 , 0 ，直线 的方程为： = + 2；
当 = 1 时， = 23，点
2
的坐标为 3 , 0 ，直线 的方程为： = + 2．
19.(1)因为曲线 ( ) = ( 1) 与直线 = 1 有且仅有两个不同的交点，
所以关于 的方程 ( 1)e = 1 有且仅有两个不同的实数根，
即e ( 1) = 0 有且仅有两个不同的实数根．
令 ( ) = e ( 1)，则 ′( ) = e ，又 > 0，由 ′( ) = 0 得 = ln ，
所以 ∈ ∞, ln 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
∈ ln , + ∞ 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 = ln 时， ( )取得极小值，也是最小值，要使 ( )有两个零点，
则 ln < 0，即 2 ln < 0，解得 > e2，
当 = 1 < ln 时，得 (1) = e > 0，则 ( )在区间 1, ln 上有且只有一个零点；
当 = 2ln > ln 时， 2ln = 2 2 ln + = 2ln + 1 ，
设 ( ) = 2ln + 1 ′( ) = 1 2 = 2，则 > 0，所以 ( )在 e
2, + ∞ 上单调递增，
则 ( ) > e2 = e2 3 > 0，所以 2ln = 2ln + 1 > 0，
则 ( )在 ln , 2ln 上有且只有一个零点，故 ( )有且仅有两个零点，
实数 的取值范围为：( 2 +∞)．
(2)由(1)可知： 1， 2分别为函数 ( )的两个零点，不妨设 1 < 1 < ln < 2，
要证 1 + 2 < 2ln ，即证 2 < 2ln 1，
因为 1 < 1 < ln < 2，所以 2ln 1 > ln ，
由(1)知 ( )在 ln , + ∞ 上单调递增，故只需证明 2 < 2ln 1 ，而 2 = 1 ，
所以只需证 1 < 2ln 1 ，令 ( ) = 2ln ( )，且 1 < < ln
2
所以 ( ) = e e + 2 2 ln ，1 < < ln ，
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2 2 + e2 2 e 2 ′( ) = e e + 2 = e = e < 0
所以 ( )在 1, ln 上单调递减， ( ) > ln = 2ln ln ln = 0，
所以 2ln > ( )在 1, ln 上恒成立，即 2ln 1 > 1 ，
综上所述： 1 + 2 < 2ln ．
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