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2024-2025学年云南省昭通市昭通一中教研联盟高二下学期期中考试
数学试卷(A卷)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(1 2 )5(1 + 3 )4的展开式中按 的升幂排列的第 3 项的系数为( )
A. 26 B. 26 C. 6 D. 6
2.某城市高中数学会考，假设考试成绩服从正态分布 (75, 82).如果成绩按照从高到低排列且以 16％，34％，
34％，16％的比例将考试成绩分为 ， ， ， 四个等级，则 等级的分数线为( )(精确到 1)(附：若随机
变量 ～ ( , 2)，则 ( < ≤ + ) = 0.6826； ( 2 < ≤ + 2 ) = 0.9544； ( 3 < ≤
+ 3 ) = 0.9974)
A. 70 B. 83 C. 67 D. 75
3.安排 4 名志愿者完成 5 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )
A. 240 种 B. 120 种 C. 600 种 D. 360 种
4.已知离散型随机变量 的分布列如下，若 (12 + 2) = 9，则 (2 + 3) =( )
1 0 2
1 1 1
6 4 4
A. 49 155 155 155144 B. 144 C. 72 D. 36
5.已知函数 ( ) = e ( 1)的大致图象如图所示，则不等式 ( ) ′( ) > 0 的解集为( )
A. ( 2, 1) B. (1,2)
C. (2, + ∞) D. ( ∞,1) ∪ (2, + ∞)
6.若函数 ( ) = cos2 + sin π π在区间 6 , 2 上是减函数，则 的取值范围是( )
A. ( ∞,2] B. [4, + ∞) C. (2,4) D. [2,4]
7.用总长 14.8 的钢条制作一个长方体容器的框架(接口处与损耗忽略不计)，若制作的容器的底面的一边长
比另一边长 0.5 .则长方体容积的最大值为( )
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A. 1.8m3 B. 2m3 C. 1.4m3 D. 2.2m3
8.某人在 次射击中击中目标的次数为 ，且 ～ ( , )，其中 ∈ N ，0 < < 1，则下列说法正确的是( )
A. = 5 = 1 5若 ， 2，则 ( ) = 4
B.若 确定，则当 = 12时， ( )有最小值
C. 4若 = 9， = 5，则当 = 7 或 = 8 时， ( = )取得最大值
D.若 = 5 = 1， 3，则 ( ≤ 2) =
176
243
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列 共有 5 项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第 3 项等于 80，第 2 项与第 4 项的和等于
136，第 1 项与第 5 项的和等于 132.求这个数列的第五项为( )
A. 180 B. 112 C. 16 D. 48
10.已知函数 ( ) = 3 + 1，则( )
A. ( )有两个极值点
B. ( )有三个零点
C.点(0,1)是曲线 = ( )的对称中心
D.直线 = 2 1 是曲线 = ( )的切线
11.甲乙两人参加三局两胜制比赛(谁先赢满两局则获得最终胜利).已知在每局比赛中，甲赢的概率为 0.6，
乙赢的概率为 0.4，且每局比赛的输赢相互独立．若用 表示事件“甲最终获胜”， 表示事件“比赛共进
行了两局且有人获得了最终胜利”， 为“甲赢下第三局时获得了最终胜利”.则下列说法正确的有( )
A. = 913 B. = 1 C. 与 互斥 D. 与 独立
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 = .函数 2 +1在 = 4 处的切线方程为 ．
13.从 0，2，4，6 中任取 3 个数字，从 1，3，5 中任取 2 个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数 ．
14 1.已知数列 的首项 1 = 1， 的前 项和为 ，且满足 2 +1 ( + 1) 2 + = 0，则数列
的通项公式为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某人工智能公司从 2018 至 2024 年的利润情况如下表所示：
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年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
利润 (单位：亿元) 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)根据表中的数据，推断变量 与 之间是否线性相关．计算 与 之间的相关系数(精确到 0.01)，并推断它
们的相关程度；
(2)求出 关于 的经验回归方程，并预测该人工智能公司 2025 年的利润；
(3)把利润不超过 4(亿元)的年份叫做“试销年”，从 2018 年到 2024 年这七年中任取 2 年， 表示取到“试
销年”的个数，求 的分布列和数学期望．
参考数据：7 =1
7 2 7 2
= 14， =1 = 7.08， =1 = 28， 28 × 7.08 ≈ 14.08
参考公式：对于一组数据 1, 1 , ( 2, 2), , ，

= =1 ①相关系数为： ；
=1 2
2
=1

②经验回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别 = =1 ， = ． =1 2
16.(本小题 15 分)
求下列数列的和：
(1)1 + 2 + 3 2 + + 1( ≠ 0)；
1 1
(2)1 + 11 + 111 + 1111 + + ︸ ．
个 1
17.(本小题 15 分)
1
在信道内传输 ， ， 信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为2，收
1 1
到其他两种字母的信号的概率均为4 .发送五个相同的信号 ， ， 的概率均为3．
(1)已知发送信号 ，求收到的信号为 的概率；
(2)求收到的信号只有三个 的概率；
(3)已知收到的信号为 ，求发送信号为 的概率．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + ( 2) ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 ( )有两个零点，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
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甲、乙、丙三人相互做传球训练，第 1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两
个人中的任何一人．
(1)求 2 次传球后球在甲手中的概率；
(2) 次传球后球在甲手中的概率为 ．
证明：( ) 1 3 为等比数列；
( )当 ≥ 2 1时， ≤ 2．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. = 5 + 1627 27/5 27 + 16 = 0．
13.1224
14. =
15.(1)由题设，易知 与 线性相关，且 = 4, = 4.3，
7
= =1 = 14 = 14
7 2 7 2 28×7.08 14.08
≈ 0.99，
=1 =1
由于 ≈ 0.99，可以推断变量 与 成正线性相关且相关程度很强．
7
(2) 由题设， = =1 = 147 2 28 = 0.5， =
= 4.3 0.5 × 4 = 2.3，
=1
所以 = 0.5 + 2.3，因此 关于 的回归方程为 = 0.5 + 2.3，
当 = 8 时， = 0.5 × 8 + 2.3 = 6.3，即预测该人工智能公司 2025 的利润为 6.3 亿元；
(3)由题意，2018 年到 2024 年这七年的“试销年”为三个，
因此从 2018 年到 2024 年这七年中任取 2 个，取到“试销年”的个数 能取的值为 0,1,2，
C2 6 2 C1C1 2
则 ( = 0) = 42 = 21 = 7， ( = 1) =
4 3 = 4 ( = 2) = C3 = 1， ，
C7 C
2 7 C27 7 7
因此 的分布列如下：
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0 1 2
2 4 1
7 7 7
2 4 1 6
所以其数学期望为 ( ) = 0 × 7+ 1 × 7 + 2 × 7 = 7．
16.(1)当 = 1 时，1 + 2 + 3 2 + + 1 = 1 + 2 + 3 + + = (1+ ) 2 ，
当 ≠ 1 时，记 = 1 + 2 + 3 2 + + 1①
① × ： 2 3 = + 2 + 3 + + ②

① ②：(1 ) = 1 + + 2 + + 1 =
1 1 ，
= 1 ( +1)
+ +1
化简得： (1 )2 ，
(1+ )
2 , = 1
综上所述：1 + 2 + 3 2 + + ( 1) = 1 ( +1) + +1
(1 )2 , ≠ 0,1
(2)该数列为 ，其前 项和为 ，
因为
= 1 = 11 9 × (10 1)，
2 = 11 =
1
9 × 10
2 1 ，
3 = 111 =
1
9 × 10
3 1 ，
= 1111 = 1 × 1044 9 1 ，
5 = 11111 =
1
9 × 10
5 1 ，
……
1
所以该数列的一个通项公式为 = 9 × 10
1 ∈ ，
1
= 9 × (10 1) + 10
2 1 + 103 1 + + 10 1
1
= 2 39 × 10 + 10 + 10 + + 10

1 10 1 10
= 9 1 10
10 +1= 9 10 81 ∈ ．
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17.(1)设事件 表示“收到 ”，事件 1表示“发送 ”，
1×1×1×1×1×1 1 5 ∣ = 1 = 3 4 4 4 4 4 11 1 1
= 4 = 1024．
3
(2)设事件 1， 1， 1分别表示“发送 ”、“发送 ”、“发送 ”，事件 表示“收到的
信号只有三个 ”，
①当发送 时，收到的信号只有三个 的概率为
3 2
∣ 1 = C3
1 1 1 5
5 2 2 = 10 × 32 = 16；
②当发送 时，收到的信号只有三个 的概率为
3 2
∣ 2 = 3
1 3
5 4 4 = 10 ×
9 45
45 = 512；
③当发送 时，收到的信号只有三个 的概率为
3 2
∣ = 3 1 33 5 4 4 = 10 ×
9
45 =
45
512，
所以 ( ) = 1 ∣ 1 + 2 ∣ 2 + 3 ∣ 3
= 1 + 2 + 3
= 1 × 5 + 1 × 45 + 1 45 1253 16 3 512 3 × 512 = 768．
(3)设事件 2表示“收到 ”，事件 1， 1， 1表示“发送 ”“发送 ”“发送 ”，
5 5 5
2 = 1 2 + + =
1 × 1 + 1 + 1 11 2 1 2 3 2 4 4 = 3 ×
17
512，
5
1 11 2 = 3 × 2 ，
1× 1
5
所以 1∣ 2 =
1 2
=
3 2 16
2 1× 17
= 17．
3 512
18.解：(1)由 ( ) = 2 + ( 2) ，
则 ′ = 2 2 + 2 1
= 2 + 1 1 ，
导函数中 2 + 1 > 0 恒成立，
当 ≤ 0 时， 1 < 0 恒成立，
所以在 ∈ 上有 ′ < 0，
所以 在 ∞, + ∞ 上单调递减；
当 > 0 时，令 ′ > 0 1， > ，
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令 ′ < 0 1，解得 < ，
∴在( ∞, 1 )上， ( )单调递减，
在( 1 , + ∞)上， ( )单调递增．
综上可知：当 ≤ 0 时， ( )在 单调递减，
当 > 0 时， ( ) 1 1在( ∞, ln )单调递减，在(ln , + ∞)单调递增；
(2)若 ≤ 0 时，由(1)可知： ( )最多有一个零点，
所以 ≤ 0 不符合题意；
当 > 0 时，由(1)可知，要使函数 ( ) = 2 + ( 2) 有两个零点，则 ( )的最小值必须小于 0，
又 ( ) = ( 1 ) = 1
1 1
，
则 < 0，即 1
1
+ < 0，
( ) = 1 1 + ′ = 1令 ， 2 +
1
> 0，
所以 在 0, + ∞ 上单调递增，
又因为 1 = 0，
∴ 0 < < 1．
接下来说明 0 < < 1 时， 存在两个零点：
当 < 0 时， 2 > 0， 2 > 2，
此时 > 2 ，故 2 > 0，
又 在( 2, 1 )
1
上单调递减， ( ) < 0，
故存在 1 ∈ ( 2,
1
)，使得 1 = 0，
> 1当 > 0 时，易证 >
，
此时 > 2 + 3 = + 3 ，
故 ( 3 ) > 0
3 1
，且满足 > ，
又 1 3 1在( , )上单调递增， ( ) < 0，
故存在 2 ∈ (
1
,
3
)使得 2 = 0，
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所以当 0 < < 1 时， 存在两个零点．
综上所述， 的取值范围是(0,1)．
19.(1)依题意，传球 2 次后球在甲手中包括两个基本事件，即：甲乙甲和甲丙甲，所以传球 2 次后球在甲
1 1 1 1 1
手中的概率为 = 2 × 2 + 2 × 2 = 2．
(2)证明：( )记 表示事件“经过 次传球后，球在甲的手中”，
设 次传球后球在甲手中的概率为 ， = 1,2,3, …, ，
则有 1 = 0， +1 = +1 + +1
所以 +1 = +1 + +1 = +1 + +1
= 1 1 +1∣ + +1∣ = 1 2 + 0 = 2 1 ，
= 1 + 1即 +1 2 2， = 1,2,3, ，
1 = 1 1 1所以 +1 3 2 3 ，且 1 3 =
1
3，
1 1 1
所以数列 3 表示以 3为首项， 2为公比的等比数列．
1
( )
1
3 =
1
3 ×
1
2 ，
1 1 1 1
所以 = 3 3 2 ∈
，
1
当 为大于 1 1 1 1 1 1的奇数时， = 3 3 2 < 3 < 2，
1 1 1
1 1 1 1
当 为正偶数时， = 3 + 3 2 ≤ 3+ 6 = 2，
1
综上所述，当 ≥ 2 时， ≤ 2．
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