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2024-2025学年湖北省部分重点中学高一下学期6月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
2.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，则平面四边形的周长为( )
A. B. C. D.
3.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
若，则；
过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；
若，则必垂直于面内的无数条直线；
若为异面直线且点，则存在两条直线过点且与都相交．
A. B. C. D.
4.清乾隆云龙纹双螭龙耳方形炉摆件，是乾隆时期玉雕工艺的杰出代表．它玉质细腻，古韵十足，线条流畅，造型规整，雕刻着精美的云龙纹与螭龙耳，底部落“乾隆年制”款，尽显皇家气派．这件方形炉摆件可近似看作台体，高约，上底面与下底面为相似长方形，上底面的长约，宽约，若下底面的长和宽均为上底面长和宽的倍，则该方形炉摆件主体体积约为( )
参考数据：，结果保留一位小数
A. B. C. D.
5.在正方形中，，分别为，的中点，若，则( )
A. B. C. D.
6.甲船在处观察乙船，乙船在它的北偏东的方向，相距海里的处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东方向前进，则( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知的三个内角，，所对的边分别是，，，若，，则该三角形的外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 当时，在上的投影向量为
10.已知，设，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则的最大值为
11.如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内含边界的一动点，且满足平面，则下列说法正确的是( )
A. 点的轨迹是一条长为的线段
B. 平面截正方体所得截面的面积为
C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为单位向量，且，则的夹角为 ．
13.记的内角的对边分别为，，，，，，则边上的高为 ．
14.在四边长均为的菱形中，沿对角线折成二面角为的四面体，则此四面体的外接球表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，．
用向量，表示，；
求的值．
16.本小题分
在中，，，所对的边分别为，，，已知，．
求的值；
求的值；
求的值．
17.本小题分
如图，、、为圆锥的三条母线，．
证明：；
若圆锥的侧面积为，为底面直径，，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
若的最小正周期为，
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求的单调递增区间．
若在上没有最小值，求的取值范围．
19.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，为中点，，求的面积；
在内，将满足的点称为的布洛卡点．若为的布洛卡点，且，求的周长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，，所以；
因为，，所以，
所以．
由题知，，，的夹角为，
所以．
16.由已知结合正弦定理角化边可得，
又，所以，．
由结合余弦定理可得，．
又，
所以为锐角，
所以，．
由知，，，
所以，
，
所以，．
17.如图，取的中点，连接、，
因为，为的中点，所以，
因为、均是圆锥的母线，所以，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以．
设圆锥的母线长为，底面半径为，则，所以．
因为，所以，
因为为底面直径，为底面圆周上一点，，则，
由勾股定理可得，所以．
因为，，，所以，所以，，
过点在平面内作，垂足为点，连接，
因为，，，所以，则，
所以，即，所以即为二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以，则，
在中，．
因此，二面角的余弦值为．
18.
，
因为的最小正周期为，所以，解得．
(ⅱ)由(ⅰ)得，．
令，，解得，．
故的单调递增区间为．
由得，，
由正弦函数的性质可知，
解得，．
因为，所，
又，，取，，所以，或，
故的取值范围为．
19.由，
得．
由正弦定理，得，整理得．
由余弦定理，得．
又，所以．
由题知，所以．
则，所以．
由得，，又，所以，联立，得，
故的面积为．
如图，设，因为，所以，

由知，，所以，
在中，设，
由正弦定理得，所以，
在中，由上可知，，
由正弦定理，得所以，
所以，则，整理，得，
所以，，解得，．
又，所以，
则，因此为等边三角形．
在中，
由余弦定理得，，
所以，故的周长为．

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