资源简介

2024-2025 学年河北省雄安新区高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 5 i 1 9i ，则 =( )
A. 14 + 46i B. 14 46i C. 4 + 46i D. 4 46i
2.下列几何体中，有且仅有 8 个面的是( )
A.六棱柱 B.六棱锥 C.八棱锥 D.五棱柱
3.已知向量 = ( 1,1)， = (2,1)，若 + ⊥ ，则 =( )
A. 2 B. 14 C.
1
4 D. 2
4.石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施.如图，这是某广场的石凳的
实物图，该石凳上方的部分可以近似地看成一个圆台.若该圆台的上底面直径为 30 厘米，下底面直径为 40
厘米，高为 6 厘米，则该圆台的体积为( )
A. 925 立方厘米 B. 1850 立方厘米 C. 3700 立方厘米 D. 5550 立方厘米
5.设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A.若 ， ， // ， // ，则 //
B.若 ⊥ ， ， ⊥ ，则 //
C.若 // ， // ， ∩ = ，则 //
D.若 // ， // ， ⊥ ，则 ⊥
6.在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 cos2 + 1 = cos2 + cos2 ，且 cos = sin ，则
的形状一定是( )
A.等腰锐角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰钝角三角形 D.不确定的
7.如图，四边形 是圆柱 1 2的轴截面， = 6，圆 1的周长为 4， 是线段 的中点，曲线 在圆
柱 1 2的侧面上，且曲线 的长度等于在圆柱 1 2的侧面上从 到 的最短距离，若 为曲线 上的动点，
第 1页，共 8页
则点 到点 的距离的最小值是( )
A. 5 13 B. 12 1313 13 C. 13 D. 2 13
8.如图，以边长为 4 的菱形 的四条边为直径向外作四个半圆， 是这四个半圆弧上的一动点，∠ =
60°，则 的最大值是( )
A. 16 B. 16 2 C. 18 D. 20
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数 满足 4 = 1，且 ≠ 1，则 可能是( )
A. i B. i C. 1 D. 1 i
10.在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， = 6，且(2 )cos = cos ，则下列结论正确的
是( )
A. = π6 B. 外接圆的面积为 12
C. 的面积的最小值是 9 3 D. + 2 的最大值是 4 21
11.如图，在正方体 1 1 1 1中， = 2， 是棱 1(不包含端点)上的动点， 在正方形 1 1
内， //平面 1 ，则下列结论正确的是( )
A.平面 1 截正方体 1 1 1 1所得的截面一定是等腰梯形
B. 3 2存在点 ，使得异面直线 1 与 1夹角的余弦值为 8
C.若 是 1的中点，则点 的轨迹长度是 2
D. 41π三棱锥 1 外接球表面积的最小值是 4
第 2页，共 8页
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,2)， = ( 2,7)，则 2 = ．
13.某数学兴趣小组成员为测量 ， 两地(视为质点)之间的距离，在 的正北方向和西偏北 15°方向上分别
选取点 ， ，已知 ， 两地相距 5 6千米， ， 两地相距 10 3千米，且 在 的西南方向上， 在 的西
南方向上，则 ， 两地之间的距离是___ __千米．
14.坡度是指地表或道路等倾斜的程度，通常用垂直高度差与水平距离的比值表示.如图，这是某水渠侧面和
底面的直观图，其中点 在该水渠的侧面上，点 在底面上，直线 是该水渠侧面与底面的交线，且 ⊥ ，
⊥ ，垂足分别为 、 ，若 = 3， = 5， = 8， = 10，则该水渠侧面的坡度(即该水渠的侧面
与底面夹角的正切值)是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = + i ∈ R ，且 + 5 是实数．
(1)求 的值；
(2)若 ∈ R，且 + i > | |，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是梯形， // ， = 3 ， 、 分别是棱 、 上的点，
且 = 2 ， = 2 ．
(1)证明：平面 //平面 ；
(2)记多面体 的体积为 1，三棱锥 的体积为 2，求 1 的值．2
17.(本小题 15 分)
第 3页，共 8页
如图，四边形 是边长为 3 的菱形， 、 分别在线段 、 (不包含端点)上，且 = ， = 3 ，
且 = 6．
(1)用 、 表示 ；
(2)求∠ 的值；
(3)求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，在平面四边形 中， = = 2， = 1， = 3．
(1)若 cos = 34，求 cos 的值；
(2)若 + = π，求四边形 的面积；
(3)求四边形 的面积的最大值．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱柱 1 1 1 1中，四边形 为菱形， 1 = 1 = = 2， ，
， 是侧棱 1上的一点．
(1)证明： 1 ⊥ 1 1．
(2)求点 到平面 1 1 的距离．
(3) 42若直线 1 与平面 1 1 所成角的正弦值为 14 ，求 1 的长度．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13.20
14.4 14
15.(1)因为 = + i，
5 = 5 = 5 i = 5 5i 5 5所以 +i +i i 2+1 = 2+1 2+1 i，
5 5 5
所以 + = + 2+1 + 1 2+1 i，
因为 + 5 5 是实数，所以 1 2+1 = 0，解得 =± 2；
(2)由(1)可知 = 2 + i 或 = 2 + i，
当 = 2 + i 时， + i = 2 + ( + 1)i，
所以 + i = 22 + ( + 1)2，| | = 22 + 12 = 5．
因为 + i > | |，所以 22 + ( + 1)2 > 5，
整理可得( + 1)2 > 1，即 + 1 > 1 或 + 1 < 1 ，
解得 > 0 或 < 2．
当 = 2 + i 时，同理可解得 > 0 或 < 2．
综上， 的取值范围是( ∞, 2) ∪ (0, + ∞)．
16.(1)因为 = 3 且 = 2 ，所以 = ，
因为 // ，所以 // ，故四边形 为平行四边形，则 // ，
第 5页，共 8页
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
因为 = 2 = 2 ， = 2 2，所以 = = 3，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
因为 ∩ = ， 、 平面 ，所以平面 //平面 ;
(2)设四棱锥 1的底面积为 ，高为 ，则四棱锥 的体积为 = 3 ，
由(1) 可知 =
= 2 2 1 3，则点 到平面 的距离为3 ， = 2 ，
从而三棱锥 1 1 2 1的体积为 2 = 3 × 2 × 3 = 9 ，
所以多面体 = = 1 1 = 2 的体积为 11 2 3 9 9 ，故 = 2．2
17.(1) 1 2因为 = 3 ，所以 = 3 ，解得 = 3 + 3 ．
(2) 1由(1)可知 = + 2 ，则3 3
= 1 3
+ 2 3 = 6，
所以 ，
解得 ，
因为 ，故 ．
(3)因为 = + ，
所以
2 =
2 2
+ = + 2 +
2
=
2
+ 2
2
cos π + ，
1
因为四边形 是菱形，故 ，所以 cos π = cos = 2，
设 = ，因为 = ，所以 = 3 ，其中 0 < < 3，
2
所以
2
= 2 + 2 (3 ) 12 + (3 )
2 = 3 2 9 + 9 = 3 3 92 + 4，
2
因为 0 < < 3 3 3 3 3 9，所以 2 < 2 < 2，则 0 ≤ 2 < 4，
2 3 2 9 9 3
所以 = 3 + ∈ , 9 ，故 2 4 4
∈ 2 , 3 ，即
3的取值范围是 2 , 3 ．
18.(1)在 3中，已知 = 2， = 1，cos = 4，
根据余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，可得：
2 = 22 + 12 2 × 2 × 1 × 34 = 4 + 1 3 = 2，所以 = 2.
第 6页，共 8页
2 2 2
在 中， = 2， = 3， = 2 + ，再根据余弦定理 cos = 2 ，
2 2 2
则：cos = 2 +3 ( 2) = 4+9 2 = 112×2×3 12 12．
(2)在 中， 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 1 4cos = 5 4cos ；
在 中， 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 9 12cos = 13 12cos ．
则 5 4cos = 13 12cos ，即 3cos cos = 2．
因为 + = π，所以 cos = cos .则 4cos = 2，解得 cos = 12，
那么 sin = 1 cos2 = 3 32 ，sin = sin(π ) = sin = 2 ．
1
四边形 的面积 = + ，根据三角形面积公式 = 2 sin ，可得：
1 = 2 sin =
1
2 × 2 × 3 ×
3 3 3
2 = 2 ，
=
1
2 sin =
1 3 3
2 × 2 × 1 × 2 = 2 ．
3 3 3
所以 = 2 + 2 = 2 3．
(3)四边形 1 1的面积 = + = 2 sin + 2 sin = 3sin + sin ．
则 2 = 9sin2 + 6sin sin + sin2 ．
由(2)知道 3cos cos = 2，则 9cos2 6cos cos + cos2 = 4：
则 2 + 4 = (9sin2 + 9cos2 ) + 6(sin sin cos cos ) + (sin2 + cos2 )．
可得 2 + 4 = 9 6cos( + ) + 1.则 2 = 6 6cos( + )．
因为 1 ≤ cos( + ) ≤ 1，当 cos( + ) = 1 时， 2最大， 2 = 6 6 × ( 1) = 12．
所以 max = 12 = 2 3．
19.(1)连接 1, 1, 1 1，设 1 1, 1 1的交点为 ，连接 ；
因为 1 1 = 1 1， ，所以 1 1与 1 1全等，所以 1 = 1，
因为底面为菱形，所以 1 1 ⊥ 1 1，且 为 1 1的中点，所以 ⊥ 1 1，
因为 ∩ 1 1 = , , 1 1 平面 1，所以 1 1 ⊥平面 1，又 1 平面 1，所以 1 ⊥ 1 1．
(2)因为四边形 是边长为 2 的菱形，且 ，
所以 1 = 3， 1 = 1．
因为 1 = 1 = 2，且 为 1 1的中点，所以 ⊥ 1 ．
因为 1 = 2, 1 = 3，所以 = 1，所以 ， 1 = 2．
由(1)知 ⊥ 1 1，因为 ⊥ 1 ， 1 ∩ 1 1 = , 1 , 1 1 平面 1 1 1 1，所以 ⊥平面 1 1 1 1;
第 7页，共 8页
设点 到平面 1 1 的距离为 ，
1 1 3 1 1 1 2 21因为 1 1 1 = 1 1 1，所以3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 1 = 3 × 2 × 2 × 4 2 ，解得 = 7 ．
因为 1 //平面 1 1 ，所以点
2 21
到平面 1 1 的距离为 7 ．
(3)因为直线 42 421 与平面 1 1 所成角的正弦值为 14 ，所以 1
= 14 ，即 1 = 2 2．
过 作 ⊥平面 1 1 1 1，垂足为 ，连接 1 , 1 ，则点 在 1 1的延长线上，
，从而 1 = 2 , 1 = 3 ，
设 = ，则 1 = 3 , 1 = 2 ；
因为四边形 为菱形，且 ，所以 ，所以 ，
由余弦定理可得 2 = 4 + 3 2 4 3 cos150°1 = 3 2 + 6 + 4，
则 1 = 21 + 2 = 4 2 + 6 + 4 = 2 2
1
，解得 = 2，故 = 1．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑