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【攻克压轴大题】2025年中考数学压轴题精选：一次函数
1．（2025春 重庆期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交y轴于点A，交x轴于点B，∠ABO＝30°．直线l2：yx+6经过点A，交x轴于点C．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，点D是y轴负半轴上一动点，点E是x轴上一动点，若S△ACD＝10，求DEBE的最小值；
（3）如图3，点P是直线l2上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线l1于点Q，平面内有一个动点M，若以C，P，Q，M为顶点的四边形是菱形，请直接写出点M的坐标．
2．（2025春 长安区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E．
（1）直线CD的函数表达式为 　 　 ；
（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，求证：∠OEF＝45°；
（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ与△DOC全等时，直接写出点P的坐标．
3．（2025春 黄陂区月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足（b﹣2）2＝0，直线y＝x交AB于点M．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，直线x＝m⊥x轴于C，分别交直线AB、直线y＝x于D、E，若DE＝3，求m值；
（3）如图2，在直线y＝x上是否存在一点F，使得S△ABF＝6？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2025春 上海校级期末）如图，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①点M在线段AO上，若△PQB的面积为2，求点P的坐标；
②点M在线段AC上运动的过程中，联结BM，若∠BMP＝∠BAC，请直接写出点Q的坐标．
5．（2025春 衡阳期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数yx+2的图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C．
（1）直线BC的表达式为　 　 ，并直接写出点A的坐标　 　 ，点C的坐标　 　 ；
（2）若点F为直线BC上的动点，当∠FAB＝∠ABO时，请求出点F的坐标；
（3）如图2，已知点D（1，0），点F在直线BC上运动，连接DF，直线DF与直线AB交于点E，当△CDF与△BEF面积相等时，求出点E的坐标．
6．（2025春 垫江县月考）如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）如图1，若点P是直线AB上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q．若△ABQ的面积为3，求点P的坐标；
（3）如图2，若点M是线段AC的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点N，连接BM，在点M的运动过程中是否存在∠BMN＝∠BAC的情况，若存在，请求出点N坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2025 新兴县一模）【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数y＝﹣x+10的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证：△AOB是等腰直角三角形．
（2）如图3，M，N是直线y＝kx上的两动点，连接BM，AN．若BM⊥MN，BM＝6，求AN的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点B的直线与y轴交于点C，H为线段OB上的一点，作射线CH．若∠BCH＝45°，求直线CH的函数解析式．
8．（2025春 福田区校级期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点P在直线CD上，且△ABP的面积为，
①求出点P的坐标；
②点Q为平面内一点，当点P在直线AB下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标．
9．（2025春 鲤城区校级期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y＝kx﹣6的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E．
（1）直线CD的函数表达式为：　 　 ；点D的坐标为　 　 ；（直接写出结果）
（2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．
①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，试求点Q的坐标；
②点Q是否存在某个位置，将△BDE沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的y轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2025春 万州区期末）如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）如图1，若点P是直线AB上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q．若△ABQ的面积为3，求点P的坐标；
（3）如图2，若点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点N，连接BM，在点M的运动过程中是否存在∠BMN＝∠BAC的情况，若存在，请求出点N坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2024秋 寿阳县期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线m：y＝x﹣1与x轴、y轴分别交于点A，B，直线n：y＝﹣2x+b经过点A，并与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标及b的值．
（2）若动点P在直线AC上运动，
①当时，求点P的坐标；
②当点P与点C重合时，在第一象限内是否存在一点Q，使△APQ为等腰直角三角形，若存在直接写出点Q的坐标；若不存在说明理由．
12．（2025春 西山区校级期末）如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝3，OC＝2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD＝∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．
（1）若△APD为等腰直角三角形．
①求直线AP的函数解析式；
②在x轴上另有一点G的坐标为（2，0），请在直线AP上找一点M，使△GEM的周长最小，并求出此时点M的坐标和△GEM周长的最小值．
（2）如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式．
13．（2025春 法库县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝2x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
【基本问题】
（1）求k，b的值；
【问题探究】
（2）①M为射线CB（点C除外）上一点，过点M作y轴的平行线交y＝2x于点N，设点M的横坐标为m，线段MN的长度为W，请求出W与m之间的函数关系式；
②当MN＜2DO时，直接写出m的取值范围．
【问题拓展】
（3）在x轴上是否存在一点P，满足△APC是等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
14．（2025春 金牛区校级期末）如图，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点C坐标为，将B点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，直线CD交直线AB于点E．
（1）求直线CD的表达式；
（2）点F是直线AB上第一象限内一点，在△EFD中有一个内角是45°，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点F的横坐标大于时，作点B关于x轴的对称点B′，点P为直线FD上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP的中点，连接B'Q，当AP+2B'Q最小时，求点Q的坐标．
15．（2025春 东城区期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．例如：如图①，已知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．
（1）如图②，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过点G（﹣1，0），且与x轴的夹角∠FGO＝30°，当点P是直线EF的“伴随点”时，点P的坐标为 　 　 ；
（2）如图③，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，，点P是△ABC上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
（3）如图④，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．
【攻克压轴大题】2025年中考数学压轴题精选：一次函数
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．（2025春 重庆期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交y轴于点A，交x轴于点B，∠ABO＝30°．直线l2：yx+6经过点A，交x轴于点C．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，点D是y轴负半轴上一动点，点E是x轴上一动点，若S△ACD＝10，求DEBE的最小值；
（3）如图3，点P是直线l2上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线l1于点Q，平面内有一个动点M，若以C，P，Q，M为顶点的四边形是菱形，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）直线l2：yx+6经过点A，交x轴于点C，则点A、C的坐标分别为：（0，6）、（2，0），
在Rt△ABO中，OA＝6，则AB＝12，OB＝6，即点B（﹣6，0），
设直线l1的解析式为：y＝kx+6，
将点B的坐标代入上式得：0＝﹣6k+6，则k，
则直线l1的解析式yx+6；
（2）S△ACD＝10AD×COAD×2，
则AD＝10，
过点D作DH⊥AB于点H，
∵∠ABC＝30°，则HEBE，
此时DEBE＝DE+HE＝DH为最小，
在Rt△DHA中，∠BAO＝60°，AD＝10，
则AH＝5，DH＝5，
即DEBE的最小值为5；
（3）设点P（m，m+6），则点Q（m，m+6），点C（2，0），
则PQ＝|m|，QC2＝（m﹣2）2+（m+6）2，PC2＝（m+6）2+（m﹣2）2，
当点P在AB的下方时，
则PQ＝PC，即（|m|）2＝（m+6）2+（m﹣2）2，
解得：m＝12﹣6（不合题意的值已舍去），
则点P、Q的坐标分别为：（12﹣6，24﹣12）、（12﹣6，4），
由中点坐标公式得，点M（﹣2，1624）；
当点P在AB的上方时，则PQ＝CQ，
即（|m|）2＝（m﹣2）2+（m+6）2，
解得：m＝﹣2（不合题意的值已舍去），
则点P、Q的坐标分别为：（﹣2，12）、（﹣2，4），
由中点坐标公式得，点M（2，8）；
综上，M（﹣2，1624）或（2，8）．
2．（2025春 长安区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E．
（1）直线CD的函数表达式为 　yx+3　 ；
（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，求证：∠OEF＝45°；
（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ与△DOC全等时，直接写出点P的坐标．
【解答】（1）解：∵直线yx+4交x轴，y轴分别于点A，点B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，
∴△AOB≌△COD，
∴CO＝OA＝3，OD＝OB＝4，
∴C（0，3），D（﹣4，0），
设直线CD 的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线CD 的解析式为yx+3，
故答案为：yx+3；
（2）证明：①由（1）知，△AOB≌△COD，
∴OB＝OD，∠ABO＝∠CDO，
∵OF⊥OE，∠COF+∠BOE＝90°，
∵∠COE+∠DOF＝90°，
∴∠BOE＝∠DOF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴OE＝OF，
∵∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEF＝45°；
（3）解：如图1，
①∠DP'Q'＝90°，
∵△P'Q'D≌△OCD，
∴DP'＝OD＝4，
∵CO＝3，OD＝4，
∴CD＝Q'D＝5，P'Q'＝CO＝3，
∴DQ' P'HP′Q' DP'，
∴P'H，
作P'H⊥x轴，则DH，
∴OH＝OD+DH，
∴点P'坐标（，）；
②∠DQP＝90°，
∵△PQD≌△COD，（SAS）
∴DQ＝OD＝4，PQ＝3，
∴点P坐标（﹣8，﹣3）；
③∠DP''Q''＝90°，
∵△P''Q''D≌△OCD，（SAS）
∴DP''＝OD＝4，P''Q''＝OC＝3，
∴P''G，DG，
∴OG，
∴点P坐标（，）；
即：△DPQ和△DOC全等时，点P的坐标为（，）或（﹣8，﹣3）或（，）．
3．（2025春 黄陂区月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足（b﹣2）2＝0，直线y＝x交AB于点M．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，直线x＝m⊥x轴于C，分别交直线AB、直线y＝x于D、E，若DE＝3，求m值；
（3）如图2，在直线y＝x上是否存在一点F，使得S△ABF＝6？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵（b﹣2）2＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣2＝0，
∴a＝4，b＝2，
∴A（4，0），B（0，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为yx+2；
（2）设D（m，），E（m，m），
∵DE＝3，
∴m﹣（m﹣2）＝3，或，
解得m或m；
（3）存在点F，
∵F在y＝x上，
∴设F（a，a） ①如图2，若F在AB的下方，
∵S△AOB＝4，S△ABD＝6，
∴F在MO的延长线上，
∴S△AOF+S△BOF+S△AOB＝S△ABF，
∴（AO+BO）|a|+4＝6，
∴6a＝2，
解得：a，
∴F（，），
②若D在AB的上方同理求得F′（，），
即F（，）或（，）．
4．（2025春 上海校级期末）如图，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①点M在线段AO上，若△PQB的面积为2，求点P的坐标；
②点M在线段AC上运动的过程中，联结BM，若∠BMP＝∠BAC，请直接写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）在yx+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），B（0，3），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（6，0），
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，把B（0，3），C（6，0）代入得：
，
解得，
∴直线BC的函数解析式为yx+3；
（2）①设M（m，0），则P（m，m+3），Q（m，m+3），
∴PQm+3﹣（m+3）＝﹣m，
∵△PQB的面积为2，
∴PQ |xM|＝2，即（﹣m） （﹣m）＝2，
解得m＝2（此时M不在线段AO上，舍去）或m＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②设Q（t，t+3），
当M在线段AO上时，过B作BH⊥PQ于H，如图：
∵∠BHM＝∠HMO＝∠MOB＝90°，
∴四边形BOMH是矩形，
∴HM＝OB＝3，
∵∠BHM＝90°＝∠BOA，∠BMP＝∠BAC，
∴△BHM∽△BOA，
∴，即，
解得t，
∴Q（，）；
当P在线段OC上时，如图：
同理可得Q（，）；
综上所述，Q的坐标为（，）或（，）．
5．（2025春 衡阳期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数yx+2的图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C．
（1）直线BC的表达式为　y＝﹣x+2　 ，并直接写出点A的坐标　（﹣4，0）　 ，点C的坐标　（2，0）　 ；
（2）若点F为直线BC上的动点，当∠FAB＝∠ABO时，请求出点F的坐标；
（3）如图2，已知点D（1，0），点F在直线BC上运动，连接DF，直线DF与直线AB交于点E，当△CDF与△BEF面积相等时，求出点E的坐标．
【解答】解：（1）在yx+2中，令x＝0得y＝2，
∴点B坐标为（0，2），
将点B坐标代入y＝﹣x+b得：b＝2，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2；
在yx+2中，令y＝0得x＝﹣4
∴点A坐标为（﹣4，0）；
y＝﹣x+2中，令y＝0得x＝2，
∴点C坐标为（2，0），
故答案为：y＝﹣x+2，（﹣4，0），（2，0）；
（2）当F在AB上方时，如图：
∵∠FAB＝∠ABO，
∴AF∥y轴，
在y＝﹣x+2中，令x＝﹣4得y＝6，
∴F（﹣4，6）；
当F在AB下方时，设AF交y轴于K，如图：
设K（0，t），
∵∠FAB＝∠ABO，
∴AK＝BK，
∴16+t2＝（2﹣t）2，
解得t＝﹣3，
∴K（0，﹣3），
由A（﹣4，0），K（0，﹣3）得直线AF解析式为yx﹣3，
联立，
解得，
∴F（20，﹣18）；
综上所述，F的坐标为（﹣4，6）或（20，﹣18）；
（3）如图：
∵S△CDF＝S△BEF，
∴S△CDF+S四边形ABFD＝S△BEF+S四边形ABFD，即S△ABC＝S△ADE，
∵A（﹣4，0），C（2，0），B（0，2），
∴S△ABCAC OB（2+4）×2＝6，
设E（m，m+2），
∵D（1，0），
∴（1+4） （m+2）＝6，
解得m，
∴点E的坐标为（，）．
6．（2025春 垫江县月考）如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）如图1，若点P是直线AB上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q．若△ABQ的面积为3，求点P的坐标；
（3）如图2，若点M是线段AC的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点N，连接BM，在点M的运动过程中是否存在∠BMN＝∠BAC的情况，若存在，请求出点N坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在yx+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），B（0，3），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（6，0），
设直线BC解析式为y＝kx+b，
把B（0，3），C（6，0）代入得：，
解得，
∴直线BC解析式为yx+3；
（2）设P（m，m+3），则Q（m，m+3），
∴PQ＝|m+3﹣（m+3）|＝|m|，
∵△ABQ的面积为3，
∴PQ |xA﹣xB|＝3，即|m|×6＝3，
解得m＝1或m＝﹣1，
∴P的坐标为（1，）或（﹣1，）；
（3）在点M的运动过程中存在∠BMN＝∠BAC的情况，理由如下：
设M（t，0），则N（t，t+3），
∵MN∥y轴，
∴∠BMN＝∠MBO，
∵∠BMN＝∠BAC，
∴∠MBO＝∠BAC，
∵∠MOB＝90°＝∠BAO，
∴△MOB∽△BOA，
∴，即，
∴t或t，
∴N的坐标为（，）或（，）．
7．（2025 新兴县一模）【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数y＝﹣x+10的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证：△AOB是等腰直角三角形．
（2）如图3，M，N是直线y＝kx上的两动点，连接BM，AN．若BM⊥MN，BM＝6，求AN的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点B的直线与y轴交于点C，H为线段OB上的一点，作射线CH．若∠BCH＝45°，求直线CH的函数解析式．
【解答】（1）证明：对于y＝﹣x+10，当x＝0时，y＝10，当y＝0时，x＝10，
即点A、B的坐标分别为：（0，10）、（10，0），
则OA＝OB，∠AOB为直角，
故△AOB是等腰直角三角形．
（2）解：当AN⊥MN时，AN最小，
由“一线三垂直”模型知，△ANO≌△OMB，
则AN＝OM，
在Rt△BOM中，OB＝10，BM＝6，则OM＝8＝AN，
即AN的长的最小值为8．
（3）解：过点B作BT⊥CH于点T，则△BTC为等腰直角三角形，
过点T作MN⊥y轴交于点N，交过点B和y轴的平行线于点M，
则∠NTO＝∠VTB＝∠TMB＝90°，BT＝CT，
由“一线三垂直”模型知，△ONT≌△TMB，设点T（x，y），
则ON＝TM，TN＝BM，即10﹣x＝y+5且x＝y，
解得：x＝y＝2.5，即点T（2.5，2.5），
由点C（0，﹣5）和点T的坐标得，直线CH的表达式为：y＝3x﹣5．
8．（2025春 福田区校级期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点P在直线CD上，且△ABP的面积为，
①求出点P的坐标；
②点Q为平面内一点，当点P在直线AB下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标．
【解答】解：（1）对于yx，令x＝0，则y，令y＝0，解得x＝﹣2，
故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，）；
（2）①设直线AP交y轴于点H，
设直线AP的表达式为：y＝k（x+2），
当x＝0时，y＝2k，当x＝2时，y＝4k，
即点H、P的坐标分别为（0，2k），（2，4k），
则△ABP的面积＝S△HBP+S△HBAAC BH4（2k），
解得：k，
∴点P的坐标为（2，）；
当点P在点D的上方时，根据对称性可知P（2，），
综上所述，点P的坐标为（2，）或（2，），
②由（1）（2）知，P（2，），A（﹣2，0），B（0，），设点Q（s，t），
∵点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴①Ⅰ、以AP为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点Q（0，﹣3），
Ⅱ、以AB为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点Q（﹣4，3）；
Ⅲ、以AQ为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴Q（4，0），
综上所述，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q坐标为（0，﹣3）或（﹣4，3）或（4，0）．
9．（2025春 鲤城区校级期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y＝kx﹣6的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E．
（1）直线CD的函数表达式为：　y＝3x﹣6　 ；点D的坐标为　（4，6）　 ；（直接写出结果）
（2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．
①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，试求点Q的坐标；
②点Q是否存在某个位置，将△BDE沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的y轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把C（2，0）代入y＝kx﹣6得，
0＝2k﹣6，
∴k＝3，
∴直线CD的解析式为y＝3x﹣6．
解得，
∴D（4，6）；
故答案为：y＝3x﹣6，（4，6）；
（2）①∵直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，
∴S△BED或S△BEQS△BDE，
在yx+3中，当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝6，
∴B（0，3），D（4，6），
在y＝3x﹣6中，当x＝0时，y＝﹣6，
∴E（0，﹣6），
∴BE＝9，
如图1中，过点D作DH⊥y轴于点H，则DH＝4．
∴S△BDEBE DH9×4＝18，
∴S△BEQ18＝6或S△BED18＝12，
设Q（t，3t﹣6），由题意知t＞0．
过点Q作QM⊥y轴于点M，则QM＝t．
∴或，
解得t或．
当t时，3t﹣6＝﹣2；当t时3t﹣6＝2．
∴Q的坐标为（，﹣2）或（，2）；
②当点D落在y轴负半轴上（记为点D2）时，如图3中．
过点Q作QM⊥BD，QN⊥OB，垂足分别为点M、N．
由翻折得∠DBQ＝∠D2BQ．
∴QM＝QN．
由（2）知S△BDE＝18，即S△BQD+S△BQE＝18．
∴BD QMBE QN＝18，
在Rt△BDH中，由勾股定理，得BD5，
∴，
解得QN，
∴点Q的横坐标为，
在y＝3x﹣6中，当x18时，y，
∴Q（）．
10．（2025春 万州区期末）如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）如图1，若点P是直线AB上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q．若△ABQ的面积为3，求点P的坐标；
（3）如图2，若点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点N，连接BM，在点M的运动过程中是否存在∠BMN＝∠BAC的情况，若存在，请求出点N坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对于yx+3，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，0x+3，
解得：x＝﹣6，
∴点B（0，3），A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴点C（6，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为yx+3；
（2）如图1，①延长QP交x轴于点D，
设D（m，0），则点P（m，m+3），Q（m，m+3），
则PQ＝|m+3﹣（m+3）＝|m|，
∵△ABQ的面积为3，
∴PQ AO|m|×6＝3，
解得：m＝±1，
∴点P的坐标为（1，）或（﹣1，）；
（3）如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMN＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMN+∠BMC＝90°，
∴∠BCA+∠BMC＝90°，
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则N（x，x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，
解得：x，
∴N（，），
当点M在y轴的右侧时，
同理可得N（，），
综上所述，点N的坐标为（，）或（，）．
11．（2024秋 寿阳县期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线m：y＝x﹣1与x轴、y轴分别交于点A，B，直线n：y＝﹣2x+b经过点A，并与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标及b的值．
（2）若动点P在直线AC上运动，
①当时，求点P的坐标；
②当点P与点C重合时，在第一象限内是否存在一点Q，使△APQ为等腰直角三角形，若存在直接写出点Q的坐标；若不存在说明理由．
【解答】解：（1）直线m：y＝x﹣1，令y＝0，则x＝1，
∴点A的坐标为（1，0），
令x＝0，则y＝﹣1，
∴点B的坐标为（0，﹣1），
将A（1，0）代入直线n：y＝﹣2x+b，得0＝﹣2+b，
解得b＝2；
（2）①由（1）知，直线AC的表达式为y＝﹣2x+2，
∴C（0，2），
∴S△ABCBC OA（1+2）×1，
设点P（t，﹣2t+2），
∵S△AOPS△ABC，
∴S△AOP1×|﹣2t+2|，
解得t或，
∴点P的坐标为（，）或（，）；
②当点P与点C重合时，P（0，2），
在第一象限内存在一点Q，使△APQ为等腰直角三角形，分∠AQP＝90°，AQ＝PQ；∠QAP＝90°，AQ＝AP；∠APQ＝90°，AP＝QP三种情况，
当∠AQP＝90°，AQ＝PQ时，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，交过点P与x轴平行的直线于点E，
设点Q（m，n），而点A、P的坐标分别为：（1，0）、（0，2），
∵∠PQE+∠AQD＝90°，∠QAD+∠AQD＝90°，
∴∠QAD＝∠PQE，
又∵∠ADQ＝∠QEP＝90°，AQ＝QP，
∴△ADQ≌△QEP（AAS），
∴PE＝QD，EQ＝DA，
∴，解得，
∴点Q的坐标为（，）；
当∠QAP＝90°，AQ＝AP时，过点Q作QD⊥x轴于点D，
设点Q（m，n），而点A、P的坐标分别为：（1，0）、（0，2），
同理得△ADQ≌△POA（AAS），
∴AD＝PO＝2，DQ＝OA＝1，
∴OD＝3，
∴点Q的坐标为（3，1）；
当∠APQ＝90°，AP＝QP时，过点Q作QD⊥y轴于点D，
设点Q（m，n），而点A、P的坐标分别为：（1，0）、（0，2），
同理得△QDP≌△POA（AAS），
∴QD＝PO＝2，DP＝OA＝1，
∴OD＝3，
∴点Q的坐标为（2，3）；
综上，点Q的坐标为（，）或（3，1）或（2，3）．
12．（2025春 西山区校级期末）如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝3，OC＝2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD＝∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．
（1）若△APD为等腰直角三角形．
①求直线AP的函数解析式；
②在x轴上另有一点G的坐标为（2，0），请在直线AP上找一点M，使△GEM的周长最小，并求出此时点M的坐标和△GEM周长的最小值．
（2）如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式．
【解答】解：（1）①∵矩形OABC，OA＝3，OC＝2，
∴A（3，0），C（0，2），B（3，2），
∴AO∥BC，AO＝BC＝3，∠B＝90°，CO＝AB＝2，
∵△APD为等腰直角三角形，
∴∠PAD＝45°，
∵AO∥BC，
∴∠BPA＝∠PAD＝45°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAP＝∠BPA＝45°，
∴BP＝AB＝2，
∴P（1，2），
设直线AP解析式y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AP解析式y＝﹣x+3；
②作点G关于直线AP对称点G'（3，1），
连接G'E交直线AP于M，此时△GEM周长的最小．
∵PB＝AB＝2，BC＝OA＝3，
∴PC＝CE＝1，
∴OE＝OC﹣CE＝1，
∴E（0，1），
∴EG′∥OA，
∴EG′＝3，
∴△GEM周长的最小值＝EG′+EG＝33，
把y＝1代入y＝﹣x+3得，x＝2，
∴M（2，1）；
（2）如图：作PM⊥AD于M，
∵BC∥OA，
∴∠CPD＝∠PDA且∠CPD＝∠APB，
∴PD＝PA，且PM⊥AD，
∴DM＝AM，
∵四边形PAEF是平行四边形，
∴PD＝DE，
又∵∠PMD＝∠DOE，∠ODE＝∠PDM，
∴△PMD≌△ODE（AAS），
∴OD＝DM，OE＝PM，
∴OD＝DM＝MA，
∵PM＝2，OA＝3，
∴OE＝2，OM＝2，
∴E（0，﹣2），P（2，2），
设直线PE的解析式y＝mx+n，
则，
∴，
∴直线PE解析式y＝2x﹣2．
13．（2025春 法库县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝2x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
【基本问题】
（1）求k，b的值；
【问题探究】
（2）①M为射线CB（点C除外）上一点，过点M作y轴的平行线交y＝2x于点N，设点M的横坐标为m，线段MN的长度为W，请求出W与m之间的函数关系式；
②当MN＜2DO时，直接写出m的取值范围．
【问题拓展】
（3）在x轴上是否存在一点P，满足△APC是等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在y＝2x中，令x＝1得y＝2，
∴C（1，2），
把A（﹣2，6），C（1，2）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴k的值是，b的值是；
（2）①∵M为射线CB（点C除外）上一点，设点M的横坐标为m，
∴，
∵MN∥y轴，
∴N（m，2m），
∴W＝Ny﹣My＝2m；
②由（1）知，直线AB的解析式为yx，
令x＝0得y，
∴D（0，），
∴OD，
设M（m，m），则N（m，2m），
∵MN＜2DO，
∴2m2，
解得m＜3；
（3）设P（a，0），
∵A（﹣2，6），C（1，2），
∴AC5，AP，PC，
∵△APC是等腰三角形，
∴①当AC＝AP时，即5，
此方程无解；故这种情况不存在；
②当AC＝PC时，即5，
解得a＝1±，
∴P（1，0）或（1，0）；
③当PC＝AP时，即，
解得a，
∴P（，0），
综上所述，存在点P，满足△APC是等腰三角形，点P的坐标（1，0）或（1，0）或（，0）．
14．（2025春 金牛区校级期末）如图，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点C坐标为，将B点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，直线CD交直线AB于点E．
（1）求直线CD的表达式；
（2）点F是直线AB上第一象限内一点，在△EFD中有一个内角是45°，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点F的横坐标大于时，作点B关于x轴的对称点B′，点P为直线FD上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP的中点，连接B'Q，当AP+2B'Q最小时，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，当x＝0时，y＝0+2＝2．
∴B（0，2），
将B（0，2）点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，
∴D（4，1），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线CD的解析式为yx；
（2）如图，∠EFD＝45°时，
在y＝x+2中，当y＝0时，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴∠OBA＝45°，
∴∠OBA＝∠EFD，
∴FD∥OB，
∴点F的横坐标为4，
∴F（4，6），
如图，当∠EDF＝45°时，过点E作EH⊥ED，且EH＝ED，过点E作GT∥y轴，分别过点H，D作GT的垂线，垂足别为G、T，
联立直线AB和CD：，
解得：，
∴E（1，3），
∴ET＝2，DT＝3，
∵EH⊥ED，∠EDH＝45°，
∴△EDH是等腰直角三角形，
∴HE＝ED，
∵∠G＝∠T＝90°，
∴∠GEH+∠TED＝90°＝∠TED+∠TDE，
∴∠GEH＝∠TDE，
∴△GEH≌△TDE（AAS），
∴GE＝DT＝3，GH＝ET＝2，
∴H（3，6），
设直线DH的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线DH的解析式为：y＝﹣5x+21，
联立直线AB与DH解析式：，
解得：，
∴点F（，），
综上所述，F的坐标为（4，6）或（，）；
（3）∵点B′是点B关于x轴的对称点，
∴B（0，﹣2），
∵点F的横坐标大于，
∴F（4，6），
∴直线FD为直线x＝4，
∵点P在直线x＝4上运动，
∴点P的横坐标为4，
∵点Q为AP的中点，
∴点Q的横坐标为1，AQAP，
∴点Q在直线x＝1上运动，
如图所示，作点B′关于直线x＝1的对称点M，连接QM，
∴M（2，﹣2），
由轴对称的性质可得B′Q＝QM，
∵AP+2B′Q＝2（AP+B′Q）＝2（AQ+B′Q）＝2（AQ+MQ）．
∴当A、Q、M三点共线时，AQ+MQ最小，即此时AP+2B′Q最小，
设直线AM的解析式为y＝sx+t，
∴，
解得：，
∴直线AM的解析式为yx﹣1，
当x＝1时，y，
∴Q（1，）．
15．（2025春 东城区期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．例如：如图①，已知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．
（1）如图②，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过点G（﹣1，0），且与x轴的夹角∠FGO＝30°，当点P是直线EF的“伴随点”时，点P的坐标为 　（3，0）　 ；
（2）如图③，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，，点P是△ABC上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
（3）如图④，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．
【解答】解：（1）AB线段上任意两点距离的最大值为3﹣1＝2，即P到EF的距离为2，
过P作PC⊥EF于点C，
∵∠FGO＝30°，
∴GP4，
∵点G（﹣1，0），
∴OG＝1，
∴P（3，0）．
故答案为：（3，0），
（2）设等边三角形△ABC的边长为2a（0＜a），则C（a，），
△ABC上任意两点距离的最大值即为2a，
当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，距离为，由题意知，
2a，
解得，a＝1或﹣1（舍去），
所以此时等边三角形ABC的边长为2．
（3）由题意知，正方形ABCD的边长为1，
所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为，
即正方形ABCD上始终存在点P，P到EF的距离为．
则EF向上或者向下平移2个单位长度得到直线l1，l1与EF平行，且两直线间的距离为，
所以P既在l1上，又在正方形ABCD的边上，即l1与正方形ABCD有交点．
当b≤1时，l1为y＝﹣x+b+2，
当l1过A时，b＝﹣1，
当l1过C时，b＝1，
即﹣1≤b≤1；
当b＞1时，l1为y＝﹣x+b﹣2，
当l1过A时，b＝3，
当l1过C时，b＝5，
即3≤b≤5；
综上所述，当﹣1≤b≤1或3≤b≤5时，正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”．
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