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【攻克压轴大题】2025年中考数学压轴题精选：三角形和四边形
1．（2025 乾安县模拟）【探究思考】
（1）通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常用的方法．已知，如图①，△ABC是等边三角形，CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，点D为射线BC上一点，且∠ADE＝∠ABC，DE与CE相交于点E．我们可以过点D作AC的平行线，交AB于点G，构造得到　 　 （填两个全等三角形），来证明AD＝DE；
【问题解决】
（2）如图②，在△ABC中，AB＝BC，在边BC上取一点D，以D为顶点，AD为一条边在AD的右侧作∠ADE＝∠ABC，点F在BC延长线上，∠ECF＝∠ACB．
①求证：AD＝DE；
②如图③所示，当点D在BC的延长线上时，若∠CAD＝∠B，CD＝1，AB＝4，直接写出DE的长．
2．（2025 港北区三模）在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，设EC＝k BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
3．（2025春 铁西区期中）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠BAC＝30°，AB＝6，则AC＝ 　 　 ．
（2）在（1）的条件下，作点A关于直线BC的对称点A1，连接A1B．
①如图2，分别以点A1，C为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点G，H，连接GH，分别交A1B，A1C于点D，E，求DE的长；
②如图3，若点P是边BA1的延长线上一点，连接PA交BC的延长线于点M，∠BAP的平分线AN交边A1B于点N，过点N作NH∥PA交BC于点H．求证：HM＝HN．
4．（2025 西城区校级模拟）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D为线段AC上一点．在AB边上截取BE＝2AD，过点E作EF⊥BD交BC于点F，连接FD．
（1）如图1，若BD平分∠ABC，求证：；
（2）如图2，猜想线段DF，EF，BD之间的数量关系，并证明．
5．（2024秋 承德县期末）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．
特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　 　 ；
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数．
②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数．
6．（2025春 肃州区期中）综合与实践：在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
操作判断：
（1）如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段BD与CE之间的数量关系：　 　 ．
性质探究：
（2）如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，D，E均在△ABC外，连结BD、CE，试说明（1）中BD和CE之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程．
拓展应用：
（3）如图3，△ABC和△CDE互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CN为△CDE的高，连结BE，请直接写出线段CN，AE，BE之间的数量关系：　 　 ．
7．（2025 海珠区校级二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点．
（1）如图①，过点P作PE⊥PB交边DC于点E．当点E在边CD上时，直接写出PB与PE的大小关系；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由．
（3）如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，连接BP，BQ，且始终满足AP＝2DQ，设，求t的最小值．
8．（2025 西陵区模拟）将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°）得到矩形AB′C′D′，连结BD．
（1）如图1，当α＝90°时，若∠D'AC'＝20°，求∠D′DB的度数；
（2）如图2，过点D'作D'M∥AC'交BD于点M．求证：D′M＝DM；
（3）在（2）的条件下，射线DB分别交AD′，AC'于点P，N（如图3），线段DN，MN，PN之间存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
9．（2025 翔安区二模）在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究．
【活动1】折叠矩形纸片：
第一步：如图1，把矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：点M在AD上，再次沿BM折叠纸片，使点A落在EF上的点N处．
【活动2】折叠正方形纸片：
第一步：如图2，把正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：点M在AD上（不与点A，D重合），再次沿BM折叠纸片，使点A落在EF下方的点N处，延长MN交CF于点P．
（1）在活动1中，求证：∠NBC＝30°；
（2）在活动2中，若正方形ABCD的边长为8，PF＝3，求AM的长．
10．（2025 铁岭县二模）【问题初探】
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E在BC上（且不与点B，C重合），在△ABC的外部作△BED，使∠BED＝90°，BE＝DE，连接CD，过点A作CD的平行线交DE的延长线于点F，连接CF．根据以上操作，判断：四边形ACDF是　 　 ，　 　 ．
【变换探究】
（2）如图②，将图①中的△BED绕点B逆时针旋转，使点E落在AB边上，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，它们相交于点F，连接CE，CF，若CE＝4，求CF的长．
勤奋小组通过第（1）问的解题经验，尝试连接EF，猜想△CEF为特殊的三角形；
创思小组在勤奋小组的提示下，成功地证明出一对三角形全等，进而求得CF的长度．
请结合两个小组的解题思路，写出解题过程．
【迁移拓展】
（3）如图③博文小组在第（2）问的基础上进行了如下创新，将图①中的△BED绕点B顺时针旋转，使点D在BC的右侧，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，它们相交于点F，连接CF，并尝试连接CE，EF．他们发现：若BE＝1，BC＝3，当四边形ACDF为菱形时，可求得CF的长度．请完成以下问题：
①求CF的长；
②当点D在BC左侧时，请直接写出CF的长．
11．（2025 南海区校级三模）综合与实践
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”．
（1）理解应用
如图1，在 ABCD中，AE⊥BD于点P，交CD于点E，若E为CD的三等分点，则 ABCD是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若DE，BP＝6，则DP＝　 　 ；AD＝　 　 ．
（2）问题探究
如图2，在垂对三等分平行四边形ABCD中，P是垂三等分点，且满足AEAB，若CE＝CB，试猜想BD与BC的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P，交CD于点E，AB＝9，当四边形ABCD是垂对三等分平行四边形时，直接写出AD的长度．
12．（2025春 离石区期中）综合与实践
【问题情境】综合与实践课上，王老师提出了一个有关正方形中“十字型”的问题：
如图1，在正方形ABCD中，边长为6，E，F分别是边CD，AD上的点，AE⊥BF．
【独立思考】
（1）试判断AE与BF的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（2）阳光小组在王老师的问题上继续思考．如图2，记AE与BF的交点为G，若阴影部分的面积之和为24，求△ABG的面积．
【实践探究】
（3）缤纷小组进一步探究，如图5，连接EF并延长，交BA的延长线于点P．已知DF＝2，，请直接写出PE的长．
13．（2025春 杭州月考）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在线段BC上运动，作△ACD关于直线AP的对称△AC1D1（点C，D的对称点分别为C1，D1）．
（1）如图1，当点C1在AB的延长线上时，求CC1的长．
（2）如图2，当点P与点C重合时，连结DD1，CD1、DD1交AB分别于点E、F．求证：BD1⊥DD1．
（3）当直线C1D1经过点B时，求CP的长．
14．（2025 雁塔区校级模拟）问题发现：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，若AD将△ABC分成面积相等的两部分，则AD＝ 　 　 ；
（2）如图②，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2，若直线l经过点E，且将该菱形的面积平分，并与边BC交于点F，求线段EF的长．
问题解决：
（3）某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备在秦岭北麓兴建一处“和谐观光园”，其形状为四边形ABCD，如图③所示．在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，实际长度AD＝5公里，AB＝9公里，BC＝13公里，CD＝15公里，点P在CD上且PD＝5公里，根据用地需求，需在BC上确定点E，将五边形ABEPD作为特色植物繁育展示区，使其面积为四边形ABCD总面积的一半，并在AB上确定点F，在△PEF中修建游客休息区，剩余部分作为花卉展示区，为方便游客游览，要求修建PE、PF、EF三条观光道路的总长度最小．请问这样的△PEF是否存在？若存在，请求出点E到点B的距离及△PEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【攻克压轴大题】2025年中考数学压轴题精选：三角形和四边形
参考答案与试题解析
一．解答题（共14小题）
1．（2025 乾安县模拟）【探究思考】
（1）通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常用的方法．已知，如图①，△ABC是等边三角形，CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，点D为射线BC上一点，且∠ADE＝∠ABC，DE与CE相交于点E．我们可以过点D作AC的平行线，交AB于点G，构造得到　△DCE≌△AGD　 （填两个全等三角形），来证明AD＝DE；
【问题解决】
（2）如图②，在△ABC中，AB＝BC，在边BC上取一点D，以D为顶点，AD为一条边在AD的右侧作∠ADE＝∠ABC，点F在BC延长线上，∠ECF＝∠ACB．
①求证：AD＝DE；
②如图③所示，当点D在BC的延长线上时，若∠CAD＝∠B，CD＝1，AB＝4，直接写出DE的长．
【解答】（1）解：过点D作AC的平行线，交AB于点G，构造得到△DCE≌△AGD，来证明AD＝DE，如图1，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，
∴∠BGD＝∠BDG＝60°，
∴BD＝BG，
∴BC﹣BD＝AB﹣BG，
∴AG＝CD，
∵∠BAD+∠ABC＝∠EDC+∠ADE，
又∵∠ADE＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∵∠BGD＝60°，
∴∠AGD＝120°，
∵CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
又∵ACB＝60°，
∴∠ACE＝60°，∠DCE＝60°+60°＝120°，
∴∠AGD＝∠DCE，
在△DCE与△AGD中，
，
∴△DCE≌△AGD（ASA），
∴AD＝DE，
故答案为：△DCE≌△AGD；
（2）①证明：如图②，过点D作AC的平行线，交AB于点G′，
∴∠BDG′＝∠ACB，∠BG′D＝∠BAC，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴∠BG′D＝∠BDG′，
∴BD＝BG′，
∴BC﹣BD＝AB﹣BG′，
∴AG′＝CD，
∵∠BAD+∠ABC＝∠EDC+∠ADE，
又∵∠ADE＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴∠ECF＝∠ACB＝∠BG′D，
∴∠AG′D＝∠DCE．
在△DCE与△AG′D中，
，
∴△DCE≌△AG′D（ASA），
∴AD＝DE；
②解：如图3，过点D作AC的平行线，交AB于点G″，
∴∠BDG″＝∠ACB，∠BG″D＝∠BAC，
∵AB＝BC，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴∠BG″D＝∠BDG″，
∴BD＝BG''，
∴BD﹣BC＝BG″﹣AB，
∴AG''＝CD，
∵∠BAD﹣∠ABC＝∠EDC﹣∠ADE，
又∵∠ADE＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴∠ECF＝∠ACB＝∠BG″D，
∴∠AG″D＝∠DCE，
在△DCE与△AGD中，
，
∴△DCE≌△AGD（ASA），
∴AD＝DE，
∵∠ADB＝∠CDA，∠CAD＝∠B，
∴△ABD∽△CAD，
∴，
∴AD2＝BD CD，
∵CD＝1，AB＝BC＝4，
∴AD，
∴DE＝AD．
2．（2025 港北区三模）在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，设EC＝k BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
【解答】解：（1）k＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝DB，即k＝1；
（2）①k值发生变化，k，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴，∠DAB＝∠EAC，
∴△EAC∽△DAB，
∴，即ECBD，
∴k；
②作EF⊥AC于F，
设AD＝DE＝a，则AEa，
∵点E为DC中点，
∴CD＝2a，
由勾股定理得，ACa，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴，即，
解得，EFa，
∴AFa，
则tan∠EAC．
3．（2025春 铁西区期中）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠BAC＝30°，AB＝6，则AC＝ 　3　 ．
（2）在（1）的条件下，作点A关于直线BC的对称点A1，连接A1B．
①如图2，分别以点A1，C为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点G，H，连接GH，分别交A1B，A1C于点D，E，求DE的长；
②如图3，若点P是边BA1的延长线上一点，连接PA交BC的延长线于点M，∠BAP的平分线AN交边A1B于点N，过点N作NH∥PA交BC于点H．求证：HM＝HN．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝30°，AB＝6，∠ACB＝90°，
∴BC＝3，
∴AC3，
故答案为：3；
（2）①解∵点A关于直线BC的对称点A1，
∴AC＝A1C＝3，∠A＝∠A1＝30°，
由作图可知：DE是A1C的垂直平分线，
∴CE＝A1C，DE⊥A1C，
∴A1D＝2DE，
∵A1D2＝DE2+A1E2，
∴DE；
②证明：如图，连接MN，过N作NG⊥AP于点G，作NK⊥AB交延长线于点K，作NL⊥MB于点L，
∵AN平分∠BAP，
∴NK＝NG，
∵∠ABC＝∠MBP＝60°，
∴∠KBP＝60°＝∠MBP，即BP平分∠MBK，
∴NK＝NL，
∴NL＝NG，
∴MN平分∠BMP，
∴∠HMN＝∠PMN，
∵HN∥AP，
∴∠HNM＝∠PMN，
∴∠HMN＝∠HNM，
∴HM＝HN．
4．（2025 西城区校级模拟）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D为线段AC上一点．在AB边上截取BE＝2AD，过点E作EF⊥BD交BC于点F，连接FD．
（1）如图1，若BD平分∠ABC，求证：；
（2）如图2，猜想线段DF，EF，BD之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：如图，过点D作DM⊥BC于M，设EF，AD交于O，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DM⊥BC，
∴DM＝AD，∠EBO＝∠FBO，
设AD＝DM＝a，则BE＝2AD＝2a，
∵∠A＝90°，AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∴△DMC是等腰直角三角形，
∴CM＝DM＝a，
∴；
∵EF⊥BD，∠BOE＝∠BOF＝90°，
又∵OB＝OB，
∴△BOE≌△BOF（ASA），
∴BF＝BE＝2a，
∴；
（2）解：BD＝EF+DF，证明如下：
如图，作正方形ABHC，取BE中点G，连接HG交BD于T，延长EF交CH于M，
由正方形的性质可得AB＝BH，∠A＝∠ABH＝90°，AB∥CH，
∵G是BE中点，BE＝2AD，
∴BG＝AD，
∴△BGH≌△ADB（SAS），
∴GH＝BD，∠ABD＝∠BHG，
∵∠BHG+∠BGH＝90°，
∴∠ABD+∠BGH＝90°，
∴∠BTG＝90°，
∴GH⊥BD，
∵EF⊥BD，
∴GH∥EM，
又∵AB∥CH，
∴四边形GHME是平行四边形，
∴BD＝GH＝EM，，
∴AC﹣AD＝CH﹣HM，
即CD＝CM，
∵CF＝CF，∠DCF＝∠MCF＝45°，
∴△DCF≌△MCF（SAS），
∴DF＝MF，
∵EM＝EF+MF，
∴BD＝EF+DF．
5．（2024秋 承德县期末）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．
特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　60　 ；
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数．
②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD∠BAC，
∴∠BAD60，
∴α＝60°，
故答案为：60°；
（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN，
即：∠BAM＝∠EAN，
在△BAM和△EAN中，
，
∴△BAM≌△EAN（ASA），
∴AM＝AN；
（3）解：①如图1，
当DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°，
∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO，
∴∠BAD＝∠MOD＝30°，
∴α＝30°，
如图2，
当DM＝DO时，∠DMO＝∠DOM75°，
∴α＝∠DOM＝75°，
如图3，
当OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°，
∴α＝∠DOM＝120°，
此时AD和AC重合，这种情形不存在．
综上所述：α＝30°或75°．
②如图：
当∠EDP＝90°时，
∵∠ABC＝ADE＝30°，
∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵0°＜α＜100°，
∴旋转角α为60°．
6．（2025春 肃州区期中）综合与实践：在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
操作判断：
（1）如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段BD与CE之间的数量关系：　BD＝CE　 ．
性质探究：
（2）如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，D，E均在△ABC外，连结BD、CE，试说明（1）中BD和CE之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程．
拓展应用：
（3）如图3，△ABC和△CDE互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CN为△CDE的高，连结BE，请直接写出线段CN，AE，BE之间的数量关系：　CN（AE﹣BE）　 ．
【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
故答案为：BD＝CE．
（2）BD和CE之间的数量关系仍然成立，理由如下：
∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（3）CN（AE﹣BE），
理由：∵△ABC和△CDE互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠BCD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴DE＝AE﹣AD＝AE﹣BE，
∵CN为△DCE的高，
∴CN⊥DE，
∵DC＝EC，
∴DN＝EN，
∵∠DCE＝90°，
∴CNDE，
∴CN（AE﹣BE）．
故答案为：CN（AE﹣BE）．
7．（2025 海珠区校级二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点．
（1）如图①，过点P作PE⊥PB交边DC于点E．当点E在边CD上时，直接写出PB与PE的大小关系；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由．
（3）如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，连接BP，BQ，且始终满足AP＝2DQ，设，求t的最小值．
【解答】解：（1）连接PD，如图1所示：
由条件可知CB＝CD，∠PCB＝∠PCD＝45°，
在△PCB和△PCD中，
，
∴△PCB≌△PCD（SAS），
∴PB＝PD，∠CBP＝∠CDP，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝∠BCE＝90°，
∴∠CBP+∠CEP＝180°，
∵∠CEP+∠PED＝180°，
∴∠PED＝∠CBP，
∴∠PED＝∠CDP，
∴PE＝PD，
∴PB＝PE；
（2）点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．理由如下：
连接BD，与AC相交于点O，如图2．
由条件可知∠BOP＝90°，
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，
∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，
∴∠BOP＝∠PFE，
在△BOP和△PFE中，
，
∴△BOP≌△PFE（AAS），
∴BO＝PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OA，∠AOB＝90°，
∴AB2＝2OB2，
∵AB＝4，
∴，（负值不合题意，已经舍去），
∴，
∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为；
（3）如图3所示：过点D在正方形外作∠FDC＝45°，使FD＝AB＝4，在CQ上取点E，使QE＝DQ，连接EF，
由条件可知∠ACB＝∠ACD＝∠BAP＝45°，
∴∠BAP＝∠FDE＝45°，
∵AP＝2DQ，DQ＝QE，
∴AP＝DE，
∴△ABP≌△DFE（SAS），
∴BP＝FE，
如图3所示：在FD上取点G，使DG＝FG，连接QG、BG，
又∵DQ＝QE，
∴，
∴，
即：当B、Q、G三点共线时，t最小，最小值为t＝BG，
如图3所示：过点G作GH⊥AB，垂足为H，交CD于K，
由条件可知四边形ADKH是矩形，
∴AH＝DK，AD＝HK＝4，∠DKG＝90°，
∵∠FDE＝45°，
∴△DKG是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
，
在Rt△BHG中，，
∴t的最小值为6．
8．（2025 西陵区模拟）将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°）得到矩形AB′C′D′，连结BD．
（1）如图1，当α＝90°时，若∠D'AC'＝20°，求∠D′DB的度数；
（2）如图2，过点D'作D'M∥AC'交BD于点M．求证：D′M＝DM；
（3）在（2）的条件下，射线DB分别交AD′，AC'于点P，N（如图3），线段DN，MN，PN之间存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，
∴点A，B，D′在同一直线上，
∴∠DAD′＝90°，AD＝AD′．∠D′AC′＝∠ADB＝20°，
∴∠ADD′＝∠AD′D＝45°，
∴∠D′DB＝∠ADD′﹣∠ADB＝25°，
（2）：D'M＝DM．
证明：如图2，连接DD'，
∵D'M∥AC'，
∴∠AD'M＝∠D'AC'，
∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，
∴△AC'D'≌△DAB（SAS），
∴∠ADB＝∠D'AC'，
∴∠AD'M＝∠ADB，
∵AD＝AD'，
∴∠AD'D＝∠ADD'，
∴∠MD'D＝∠MDD'，
∴D'M＝DM；
（3）关系式为MN2＝PN DN．
证明：如图3，连接AM，
∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，
∴△AD'M≌△ADM（SSS），
∴∠MAD＝∠MAD'，
∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，
∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，
∴∠NAM＝∠AMN，
∴MN＝AN，
在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，
∴△NPA∽△NAD，
∴，
∴AN2＝PN DN，
∴MN2＝PN DN．
9．（2025 翔安区二模）在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究．
【活动1】折叠矩形纸片：
第一步：如图1，把矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：点M在AD上，再次沿BM折叠纸片，使点A落在EF上的点N处．
【活动2】折叠正方形纸片：
第一步：如图2，把正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：点M在AD上（不与点A，D重合），再次沿BM折叠纸片，使点A落在EF下方的点N处，延长MN交CF于点P．
（1）在活动1中，求证：∠NBC＝30°；
（2）在活动2中，若正方形ABCD的边长为8，PF＝3，求AM的长．
【解答】解：（1））∵AE＝BEAB，AB＝BN，
∴BEBN，
∵∠BEN＝90°，sin∠BNE，
∴∠BNE＝30°，
∴∠NBE＝60°，
∵∠ABM＝∠NBM，
∴∠ABM＝∠NBM＝∠NBC＝30°；
（2）连接BP，
∵BN＝BC，BP＝BP，
∴Rt△BNP≌Rt△BCP（HL），
∴NP＝CP，
∵PF＝3，DF＝CFCD＝4，
∵DP＝DF+FP＝3+4＝7，
∵NP＝PC＝CF﹣PF＝1，
设AM＝NM＝x，MD＝8﹣x，
∴MD2+DP2＝PM2，
即（8﹣x）2+72＝（x+1）2，
解得：x，
∴AM．
10．（2025 铁岭县二模）【问题初探】
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E在BC上（且不与点B，C重合），在△ABC的外部作△BED，使∠BED＝90°，BE＝DE，连接CD，过点A作CD的平行线交DE的延长线于点F，连接CF．根据以上操作，判断：四边形ACDF是　平行四边形　 ，　　 ．
【变换探究】
（2）如图②，将图①中的△BED绕点B逆时针旋转，使点E落在AB边上，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，它们相交于点F，连接CE，CF，若CE＝4，求CF的长．
勤奋小组通过第（1）问的解题经验，尝试连接EF，猜想△CEF为特殊的三角形；
创思小组在勤奋小组的提示下，成功地证明出一对三角形全等，进而求得CF的长度．
请结合两个小组的解题思路，写出解题过程．
【迁移拓展】
（3）如图③博文小组在第（2）问的基础上进行了如下创新，将图①中的△BED绕点B顺时针旋转，使点D在BC的右侧，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，它们相交于点F，连接CF，并尝试连接CE，EF．他们发现：若BE＝1，BC＝3，当四边形ACDF为菱形时，可求得CF的长度．请完成以下问题：
①求CF的长；
②当点D在BC左侧时，请直接写出CF的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠BED＝90°，
∴DF∥AC，
∵AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴DF＝AC＝BC，
∴DE+EF＝BE+CE，
∵BE＝DE，
∴EF＝CE，
∵∠BED＝90°，
∴∠CEF＝90°，
由勾股定理得：，．
故答案为：平行四边形，；
（2）如图①，连接EF．
∴四边形ACDF是平行四边形，∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝BC，∠CDF＝90°，
∴∠BDF＝90°．
∵∠BED＝90°，BE＝DE，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∴∠FDE＝∠BDF﹣∠EDB＝45°＝∠B．
∵DF＝BC，∠FDE＝∠B，DE＝BE，
∴△FDE≌△CBE（SAS），
∴EF＝EC＝4，∠FED＝∠CEB，
∴∠FED﹣∠CED＝∠CEB﹣∠CED，
即∠FEC＝∠DEB＝90°，
∴由勾股定理，得，
即CF的长为；
（3）①∵四边形ACDF为菱形，
∴CD＝DF＝AC＝BC，
∴∠CBD＝∠CDB．
∵BC＝CD，BE＝DE，CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SSS），
∴∠BCE＝∠DCE，∠CBE＝∠CDE．
设∠BCE＝∠DCE＝α，则∠CBD＝∠CDB＝90°﹣α，∠ACD＝90°+2α，∠FCD∠ACD＝45°+α，∠FCE＝∠FCD﹣∠DCE＝45°．
∴∠CDE＝∠CDB﹣∠EDB＝90°﹣α﹣45°＝45°﹣α，
∵DF∥AC，
∴∠CDF＝180°﹣∠ACD＝90°﹣2α，
∴∠FDE＝∠CDF﹣∠CDE＝45°﹣α＝∠CDE．
∵DF＝CD，∠FDE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△FDE≌△CDE（SAS），
∴EF＝EC，
∴∠EFC＝∠FCE＝45°，
∴∠CEF＝90°，
∴CFCE，
如图②，延长CE交BD于点G．
∵BC＝CD，∠BCE＝∠DCE，
∴CG⊥BD，
∴，．
∴在Rt△BCG中，由勾股定理，得CG，
∴CE＝CG﹣EG，
∴CFCE1；
②当点D在BC左侧时，如图4，连接AD，记AD，CF的交点为O，
∵四边形ACDF为菱形，
∴CD＝DF＝AD＝AC，OC＝OF，∠DOC＝∠DOF＝90°，
∴∠CBD＝∠CDB，
同理①：△BCE≌△DCE（SSS），
∴∠BCE＝∠DCE，，
设∠BCE＝∠DCE＝α，则∠ACD＝90°﹣2α，
∴，∠CED+∠DCE＝45°+α＝∠CDA，
∴∠CDA为△CDE的外角，即A、D、E三点共线，
∵OC＝OF，∠EOC＝∠EOF，EO＝EO，
∴△EOC≌△EOF（SAS），
∴CE＝EF，∠OEF＝∠OEC＝45°，
∴∠CEF＝90°，
∴，
如图4，记CE、BD的交点为H，
∵BC＝CD，∠BCE＝∠DCE，
∴CE⊥BD，BH，EH＝BE sin 45°，
由勾股定理得：CH，
∴CE＝CH+EH，
∴CFCE1．
11．（2025 南海区校级三模）综合与实践
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”．
（1）理解应用
如图1，在 ABCD中，AE⊥BD于点P，交CD于点E，若E为CD的三等分点，则 ABCD是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若DE，BP＝6，则DP＝　2　 ；AD＝　　 ．
（2）问题探究
如图2，在垂对三等分平行四边形ABCD中，P是垂三等分点，且满足AEAB，若CE＝CB，试猜想BD与BC的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P，交CD于点E，AB＝9，当四边形ABCD是垂对三等分平行四边形时，直接写出AD的长度．
【解答】解：（1）∵，，
∴CD＝3DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△DEP∽△BAP，
∴，即，
∴DP＝2．
∵AE⊥BD，
∴在Rt△ABP中，AP，
在Rt△ADP中，AD．
故答案为：2；；
（2）BD＝2BC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，，
∴，
∵AB∥CD，
∴△BEP∽△DCP，
∴，
∴设EP＝2a，则CP＝3a，CE＝CP+EP＝5a，
∴BC＝CE＝5a，
∵CE⊥BD，
∴在Rt△BCP中，，
∴，
∴，
∴BD＝DP+BP＝10a，
∵BC＝5a，
∴BD＝2BC；
（3）分两种情况讨论：①如图，若，
∵在矩形ABCD中，CD∥AB，
∴△DEP∽△BAP，
∴，
设EP＝a，则AP＝3EP＝3a，AE＝AP+EP＝4a，
∵AE⊥BD，
∴∠DPE＝90°，
∵在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠DPE＝∠ADE，
∵∠DEP＝∠AED，
∴△DEP∽△AED，
∴，即，
解得a＝1或a＝﹣1（舍去），
∴AE＝4，
∴在Rt△ADE中，．
②如图，若，
∵在矩形ABCD中，CD∥AB，
∴△DEP∽△BAP，
∴，
设EP＝2b，则，AE＝AP+EP＝5b，
∵AE⊥BD，
∴∠DPE＝90°，
∵在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠DPE＝∠ADE，
∵∠DEP＝∠AED，
∴△DEP∽△AED，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴在Rt△ADE中，．
综上所述，AD的长为或．
12．（2025春 离石区期中）综合与实践
【问题情境】综合与实践课上，王老师提出了一个有关正方形中“十字型”的问题：
如图1，在正方形ABCD中，边长为6，E，F分别是边CD，AD上的点，AE⊥BF．
【独立思考】
（1）试判断AE与BF的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（2）阳光小组在王老师的问题上继续思考．如图2，记AE与BF的交点为G，若阴影部分的面积之和为24，求△ABG的面积．
【实践探究】
（3）缤纷小组进一步探究，如图5，连接EF并延长，交BA的延长线于点P．已知DF＝2，，请直接写出PE的长．
【解答】解：（1）AB＝BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝90°，AD＝AB，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）由（1）知，△ADE≌△BAF，
∴S△ADE＝S△BAF，
∴S△ADE﹣S△AFG＝S△BAF﹣S△AFG，
∴S四边形DEGF＝S△ABG，
∵S正方形＝AB2＝62＝36，S阴影＝24，
∴S△ABG+S四边形DEGF＝36﹣24＝12，
∴S△ABG；
（3）如图，
连接PD，作PH⊥CD，交CD的延长线于H，
∴∠H＝90°，
设S△DEF＝S，
∵DF＝2，AD＝6，
∴S△ADE＝3S，
∴S△AEF＝S△ADE﹣S△DEF＝2S，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴S△PDE＝S△ADE＝3S，
∴S△PDF＝S△PDE﹣S△DEF＝2S，
∴S△APF＝2S△PDF＝4S，
∴S△APD＝S△APF+S△PDF＝6S，
∴，
∴，
设AE＝13a，则AP＝4a，
∴DE＝2a，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE2﹣DE2＝AD2，
∴，
∴a或a（舍去），
∴AP＝48，DE＝4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAD＝∠DAB＝∠ADH＝∠ADC＝90°，
∴四边形APHD是矩形，
∴PH＝AD＝6，DH＝AP＝8，
∴EH＝DH+DE＝12，
∴PE6．
13．（2025春 杭州月考）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在线段BC上运动，作△ACD关于直线AP的对称△AC1D1（点C，D的对称点分别为C1，D1）．
（1）如图1，当点C1在AB的延长线上时，求CC1的长．
（2）如图2，当点P与点C重合时，连结DD1，CD1、DD1交AB分别于点E、F．求证：BD1⊥DD1．
（3）当直线C1D1经过点B时，求CP的长．
【解答】（1）解：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴，
∵△ACD、△ACD关于直线AP对称，
∴AC1＝AC＝5，
∴BC＝AC﹣AB＝1，
在Rt△BCC1中，由勾股定理得，
，
∴CC1的长为；
（2）证明：连结BD交AC于点O，
∵ABCD为矩形，
∴OB＝OD
∵D，D1关于AC对称，
∴AC垂直平分DD1，
∴H为DD1的中点，
∴OH为△BDD1的中位线，
∴OH∥BD1，
∵AC⊥DD1，
∴∠DHO＝90°，
∵OH∥BD，
∴∠BD1D＝∠DHO＝90°，
∴DD⊥BD1；
（3）解：连接PC1，
∵△ACD、△AC1D1关于直线AP对称，
∴AD＝AD，CD＝CD，∠ACD＝∠AC1B∠ACP＝∠AC1PPC＝PC1，∠ADC＝∠AC1C＝90°，
∵∠ACD+∠ACP＝90°
∴∠AC1B+∠AC1P＝90°，
即∠BC1P＝90°，
当直线C1D1经过点B时，
在Rt△AD1B中，BD1，
∴BC1＝C1D1﹣BD1＝4，
在Rt△BC1P中，，
∴，，
∴．
14．（2025 雁塔区校级模拟）问题发现：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，若AD将△ABC分成面积相等的两部分，则AD＝ 　3　 ；
（2）如图②，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2，若直线l经过点E，且将该菱形的面积平分，并与边BC交于点F，求线段EF的长．
问题解决：
（3）某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备在秦岭北麓兴建一处“和谐观光园”，其形状为四边形ABCD，如图③所示．在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，实际长度AD＝5公里，AB＝9公里，BC＝13公里，CD＝15公里，点P在CD上且PD＝5公里，根据用地需求，需在BC上确定点E，将五边形ABEPD作为特色植物繁育展示区，使其面积为四边形ABCD总面积的一半，并在AB上确定点F，在△PEF中修建游客休息区，剩余部分作为花卉展示区，为方便游客游览，要求修建PE、PF、EF三条观光道路的总长度最小．请问这样的△PEF是否存在？若存在，请求出点E到点B的距离及△PEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图①中，取BC的中点D，连接AD，线段AD即为所求．
∵AB＝AC＝6，BD＝DC，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°，
∴ADAB＝3，
故答案为：3；
（2）解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，
∴GH＝AE＝2，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴BG＝3，AG＝3EH，
∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，
∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，
∴FC＝AE＝2，
∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，
在Rt△EFH中，根据勾股定理，得
EF2；
（3）存在这样的这样的△PEF，
如图③，作DH⊥BC于点H，DG⊥BA交BA的延长线于点G，连接BD，
∵∠DHB＝∠HBG＝∠G＝90°，
∴四边形DGBH是矩形，
∴DG＝BH，∠GDH＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDH＝90°﹣∠ADH，
∵∠G＝∠DHC＝90°，AD＝5公里，CD＝15公里，
∴△ADG∽△CDH，
∴，
∴DH＝3DG＝3BH，
∵S△ABD+S△CBD＝S△ABC+S△ADC＝S四边形ABCD，AB＝9公里，BC＝13公里，
∴9BH13×3BH9×135×15，
解得BH＝4，
∴DH＝12公里，CH＝13﹣4＝9（公里），
∵CD＝15公里，PD＝5公里，
∴PC＝15﹣5＝10（公里），
作DK⊥BC于点K，则∠PKE＝90°，BK∥DH，
∴△PCK∽△DCH，
∴，
∴CKCH9＝6（公里），PKDH12＝8（公里），
∵S五边形ABEPDS四边形ABCD，
∴S△PCES四边形ABCD，
∴8CE（9×135×15），
解得CE＝12，
∴BE＝13﹣12＝1（公里），EK＝12﹣6＝6（公里），
∴PE10（公里），
延长CB到点L，使BL＝BE＝1公里，连接PL、FL，则LK＝6+1+1＝8（公里），
∴PL8（公里），
∵AB垂直平分EL，
∴LF＝EF，
∵PF+LF≥PL，
∴PE+PF+EF≥PL+PE，
∴PE+PF+EF≥810，
∴当点F落在PL上时，PE+PF+EF取得最小值，最小值为（810）公里，
∴存在这样的这样的△PEF，点E到点B的距离为1公里，△PEF周长的最小值为（810）公里．
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