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【攻克压轴大题】2025年中考数学压轴题精选：图形的相似
1．（2025 广东模拟）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P是线段OC上一个动点（不与点O，C重合），过点P分别作AD，CD的平行线，交CD于点E，交BC，BD于点F，G，连接EG．
（1）如图1，如果，∠BOC＝α，求证：∠DGE＝180°﹣α；
（2）如图2，如果∠ABC＝90°，，且△DGE与△PCF相似，求的值，并补全图形；
（3）如图3，如果BA＝BG＝BC，且射线EG过点A，求∠ABC的度数．
2．（2025 望花区模拟）阅读下列材料，完成相应任务：
三等分角问题是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即用圆规与直尺（没有刻度，只能做直线的尺子）把一个任意角三等分，此问题曾吸引许多人去研究，但无一成功.1837年法国数学家凡齐尔（1814～1848）运用代数方法证明，仅用尺规不可能三等分任意角．但对于一些特殊角可以采用折纸或尺规作图实现三等分．
（1）如图1，下面介绍一种折纸三等分直角的方法：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．观察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系？你能证明吗？
（2）如图2，第一学习小组同学受到启发，在直角∠ABC内部，利用尺规作图，构造等边△ABE，得到∠EBC＝30°，实现尺规作图三等分直角．第二小组同学不甘示弱，经过讨论，研究出108°角的三等分尺规作图方法，并设计题目如下：
如图3，已知△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，以C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于G．
①求证：；
②如图4，点D，点H是线段AB上的动点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，交AG于点F．连接HG，以G为旋转中心，将射线GH顺时针方向旋转108°，交线段DE于点I，若GH＝Gl，求的值．
3．（2025 铁岭模拟）（1）如图1，Rt△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，BC的延长线交DE于点F，求证：BC⊥DE；
（2）如图2，四边形ABCD是正方形，点M在AD边上的一个动点，以AM为边在正方形ABCD的外侧作等边三角形AMN，连接BM，DN，BM的延长线交DN于点P．
①当BM⊥DN时，求证：；
②当时，求的值．
4．（2025 锦江区校级模拟）在数学活动课上，某兴趣小组准备了两张矩形纸片ABCD和CEFG来探究图形旋转的性质，先将顶点C固定，然后使矩形纸片CEFG绕点C旋转．已知AB＝6，BC＝8，CE＝4，EF＝3，AC，CF分别是矩形ABCD和CEFG的对角线，连接AF，DG．
【尝试初探】
（1）如图1，在矩形纸片CEFG的旋转过程中，试探究的值；
【深入探究】
（2）如图2，当AC的中点O恰好在FE的延长线上时，OF交CD于点M，AF交CD于点N，求MN的长；
【拓展延伸】
（3）当AF⊥CE时，请直接写出△CDG的面积．
5．（2025 琼山区校级一模）【问题背景】（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE；
【问题探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．
【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，求的值．
6．（2025 海口模拟）问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E．作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．
（1）探究发现：旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
（3）延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，分别取AB，BC的中点D，E．作△BDE，将△BDE绕点B逆时针旋转得到△BD'E'，连接CE'，当边AB平分线段D'E'时，求tan∠E′CB的值．
7．（2025春 青神县期中）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段CP的长；
（2）如图2，当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值；
（3）如图3，若点M为DQ的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与△ABC相似时t的值．
8．（2025 方山县一模）综合与探究
综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答．
【初步研究】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在线段BC，CD上，且AM⊥BN，则的值为 　 　 ．
【知识迁移】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E，F，G，H分别在线段AB，CD，AD，BC上，且GH⊥EF，求的值．
【深入探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝DC＝6，当时，请直接写出边AB的长．
9．（2025 宝安区模拟）综合与探究
【定义】三角形一边上的点（中点除外）将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD CD，则称点D是△ABC中BC边上的“中项点”．
【概念理解】
（1）①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，判断D 　 　 （填“是”或“否”）为△ABC中AB边上的“中项点”．
②如图2，在矩形ABCD中，点E为BC边上的动点，连接DE交对角线AC于点F，已知矩形的边AD为a，DC为b，设BE长为x，问：当矩形ABCD的AD边与DC边之比满足什么条件时，F同时为△ADC和△DCE的边上“中项点”，并求出此时x的值．
【性质应用】
（2）如图3，在菱形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE交对角线AC于点F，点F恰好是△ACD中AC边上的“中项点”，求证：点F也是△CDE中DE边上的“中项点”；
【性质拓展】
若把（2）中的条件“点E为BC边上的一点”改为“点E为直线BC上的一点”，若菱形的边长为5，BE＝3，tanB，求DF的长度．
10．（2025 石家庄二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△RBS，其中点A，C的对应点分别为点RS，连接AR，CS，其旋转角满足0°＜∠ABR＜180°．
（1）如图1，AC＝　 　 ，在图中找出一对相似但不全等的三角形　 　 ．
（2）当旋转到AB⊥RS位置时，记CS和BR的交点为M．
①请在图2中补全图形；
②求BM的长．
（3）如图3，延长SC交AR于点F，AC的中点为G，连接FG．请直接写出线段FG的取值范围．
11．（2025 成都三模）从特殊到一般是研究数学的重要方法，在一次数学课上，某学习小组的同学运用这一方法探究矩形的折叠．已知矩形纸片ABCD中，点P为射线AB上一点，将△APD沿DP折叠得到△MPD，点A的对应点为M，延长DP，DM交直线BC于点Q，N．
【尝试初探】已知AD＝6，AB＝8，
（1）如图1，若点B与点N重合，求线段AP的长度；
（2）如图2，若点B与点N不重合，当3时，求线段DN的长．
【拓展延伸】若k（k＞1），连接PN，当△PNQ为直角三角形时，直接写出tanQ的值．（用k的代数式表示）．
12．（2025春 新野县期中）在△ABC中，，D是边AC上的一点，将△ABD沿BD折叠，得到△EBD，连接AE．
【特例发现】
（1）如图1，当m＝1，BE落在直线BC上时，求证：∠DBC＝∠EAC．
【类比探究】
（2）如图2，当m≠1，BE与边AC相交时，在BD上取一点F，使∠BCF＝∠ACE，CF交BE于点H．试探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，当，D是边AC的中点时，若AE EH＝9，请直接写出CE的长．
13．（2025 武汉模拟）【初识模型】如图（1），在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，点E在AD上．连接CE．且CD＝CE，∠BAD＝∠ACE，求证：△ABD∽△CAE；
【尝试应用】如图（2），在 ABCD中，AC、BD交于点O，点E在线段OC上，连接BE，且BD＝2BE，∠CBE＝∠DCO，若BD＝12，OE＝5，求AB的长；
【拓展提升】如图（3），在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，点E为BC的中点，点F在边CD上，连接OE、AE、AF，若∠AEO＝∠CAF，，AC＝6，请直接写出：菱形ABCD的边长为　 　 ．
14．（2025 宿豫区三模）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PBC，△PAB或△PCA中，如果有一个三角形与△ABC相似，那么称点P是△ABC的“相似点”．
例：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠BCA，∠PCB＝∠BAC，则△BCP∽△CAB，故点P为△ABC的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CP平分∠ACB．求证：点P为△ABC的“相似点”；
（2）如图3，若△ABC为锐角三角形，点E是△ABC的“相似点”，且点B与点A对应，点E在∠ABC的平分线BF上，连接CE．若，求的值；
（3）如图4，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，AC＝4EF，连接DE交AC于点G，连接DF，GF．若点G是△DEF的“相似点”，且点D与点F对应．若∠EDF＝∠BAC＝∠FGC，探究DE与EF的数量关系，并证明．
15．（2025 青白江区模拟）【问题情境】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点（不与B、C重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE．点F是DE中点，连接AF并延长交BC的延长线于点G．
【探究发现】
（1）如图1，若BD＝CD，判断线段AF与BC的数量关系，并说明理由；
【探究猜想】
（2）如图2，若BD＝2CD．
①判断线段AF与BC之间的数量关系，并说明理由；
②若，求CG的长度．
【探究拓广】
（3）如图3，若BD＝nCD，在AB上取一点M，使得AM＝BM，连接EM并延长交CB的延长线于点N，请求出的值（用含n的式子表示）．
【攻克压轴大题】2025年中考数学压轴题精选：图形的相似
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．（2025 广东模拟）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P是线段OC上一个动点（不与点O，C重合），过点P分别作AD，CD的平行线，交CD于点E，交BC，BD于点F，G，连接EG．
（1）如图1，如果，∠BOC＝α，求证：∠DGE＝180°﹣α；
（2）如图2，如果∠ABC＝90°，，且△DGE与△PCF相似，求的值，并补全图形；
（3）如图3，如果BA＝BG＝BC，且射线EG过点A，求∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：∵，PG∥CD，
∴．
在平行四边形ABCD中，OA＝OC，
∴．
又∵PE∥AD，
∴，
∴，
∴，
∵∠GDE＝∠ODC，
∴△DGE∽△DOC，
∴∠DGE＝∠DOC，
∴EG∥OC，
∴∠BGE＝∠BOC＝α，
∴∠DGE＝180°﹣α；
（2）解：补全图形，如图2即为所求；
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，AB∥CD，
∴OC＝OD，∠CPF＝∠PCE，
∴∠GDE＝∠PCE＝∠CPF．
又∵PG∥CD，
∴AB∥PG，∠DEG＝∠PGE，
∴∠CFP＝∠ABC＝90°，
∵∠DEG＜90°，△DGE与△PCF相似，
∴只能∠DGE＝90°，∠DEG＝∠PGE＝∠PCF，
∴此时有△DGE∽△PFC∽△CEP∽△ABC，
∵，
∴，
同理可得：△PGE∽△EPC，
∴，
设CE＝4k，那么PE＝6k，PG＝9k，
在直角三角形PEG中，由勾股定理得：，，
在直角三角形DEG中，由勾股定理得：．
∴CD＝17k，
∵PG∥CD，
∴△OPG∽△OCD，
∴，
∴．
（3）解：∵BA＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∠ABD＝∠CBD，
∴∠BAC＝∠BCA，∠CBD＝∠ABD，
∵PF∥CD∥AB，PE∥AD∥BC，
∴四边形PFCE为平行四边形，∠CPF＝∠CAB，
∴∠FCP＝∠CPF，
∴PF＝CF，
∴四边形PFCE为菱形，
∴PF＝FC＝CE，
同理可得：FB＝FG，
设FB＝FG＝a，PF＝FC＝CE＝b，
∴GP＝a﹣b．
∵GP∥CE，
∴△APG∽△ACE，
∴，
∴，
∴a2﹣ab﹣b2＝0，
∴，
∴（负值已舍去），
同理可得：，
∴，
∵BG＝BA，
∴，
又∵∠ADG＝∠BDA，
∴△DGA∽△DAB，
∴设∠DAG＝∠DBA＝∠ADB＝α，
∴∠BAG＝∠BGA＝2α，
∴5α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠ABC＝72°．
2．（2025 望花区模拟）阅读下列材料，完成相应任务：
三等分角问题是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即用圆规与直尺（没有刻度，只能做直线的尺子）把一个任意角三等分，此问题曾吸引许多人去研究，但无一成功.1837年法国数学家凡齐尔（1814～1848）运用代数方法证明，仅用尺规不可能三等分任意角．但对于一些特殊角可以采用折纸或尺规作图实现三等分．
（1）如图1，下面介绍一种折纸三等分直角的方法：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．观察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系？你能证明吗？
（2）如图2，第一学习小组同学受到启发，在直角∠ABC内部，利用尺规作图，构造等边△ABE，得到∠EBC＝30°，实现尺规作图三等分直角．第二小组同学不甘示弱，经过讨论，研究出108°角的三等分尺规作图方法，并设计题目如下：
如图3，已知△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，以C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于G．
①求证：；
②如图4，点D，点H是线段AB上的动点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，交AG于点F．连接HG，以G为旋转中心，将射线GH顺时针方向旋转108°，交线段DE于点I，若GH＝Gl，求的值．
【解答】解：（1）∠ABM＝∠MBN＝∠NBC．
证明：如图，连接AN．
∵由轴对称的性质可知，EF是AB的垂直平分线，
∴NA＝NB．
∵BA＝BN，
∴BA＝NA＝NB．
∴△ABN是等边三角形．
∴∠ABN＝60°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠NBC＝30°，
∵∠ABM＝∠NBM，∠ABN＝60°，
∴∠ABM＝∠NBM＝30°，
∴∠ABM＝∠MBN＝∠NBC．
（2）①证明：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
∴∠B＝∠C．
∵∠BAC＝108°，
∴，
同理：∠CAG＝∠CGA＝72°．
∵∠CGA是△AGB的外角，
∴∠B+∠BAG＝∠CGA＝72°．
∴∠BAG＝∠CGA﹣∠B＝72°﹣36°＝36°，
∴；
②解：如图，连接AI，
∵∠B＝∠BAG＝36°，
∴△ABG是等腰三角形．
∴GB＝GA，∠BGA＝108°．
∵∠BGH+∠HGA＝∠BGA＝108°，
∠AGI+∠HGA＝∠HGI＝108°，
∴∠BGH＝∠AGI．
∵在△BGH 与△AGI 中，
，
∴△BGH≌△AGI（SAS），
∴BH＝AI，∠HBG＝∠IAG＝36°．
∵∠BAG＝36°，∠GAI＝36°，
∴∠IAE＝∠BAC﹣∠BAG﹣∠GAl＝36°．
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABG＝36°，∠AED＝∠ACB＝36°．
∴△AFD是等腰三角形．
∴FA＝FD．
∵∠AID是△AIE的外角，
∴∠AID＝∠IAE+∠AED＝72°．
同理∠AFl＝72°．
∴△AFI是等腰三角形．
∴FA＝AI．
∴FA＝FD＝AI．
∵∠DAl＝∠DAF+∠GA1＝72°，
∴△DAI是等腰三角形．
∴DA＝DI，
∵在△AFI 和△DAI中，
∠IAF＝∠IDA＝36°，∠AID＝∠DIA．
∴△AFl∽△DAL．
∴，
设 FA＝FD＝Al＝x，DA＝DI＝y．
∴，
解得，
∵BH＝AI＝x，
∴．
3．（2025 铁岭模拟）（1）如图1，Rt△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，BC的延长线交DE于点F，求证：BC⊥DE；
（2）如图2，四边形ABCD是正方形，点M在AD边上的一个动点，以AM为边在正方形ABCD的外侧作等边三角形AMN，连接BM，DN，BM的延长线交DN于点P．
①当BM⊥DN时，求证：；
②当时，求的值．
【解答】（1）证明：由题意可知，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠B＝∠D，
∵∠B+∠ACB＝90°，∠ACB＝∠DCF，
∴∠D+∠DCF＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∴BC⊥DE；
（2）①证明：延长DN，BA交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAH＝90°＝∠BAD，
∵BM⊥DN，
∴∠DMP+∠PDM＝90°＝∠AMB+∠ABM，
∴∠PDM＝∠ABM，
∴△ABM≌△ADH（ASA），
∴AM＝AH，
∵△AMN 为等边三角形，
∴AN＝AM＝NM，∠ANM＝∠AMN＝60°，
∴AH＝AN，∠HAN＝30°，
∴∠H＝∠ANH＝75°，
∵∠PNM＝180°﹣∠ANH﹣∠ANM＝45°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴，
∵AB＝AD＝AM+DM，
∴；
②解：如图，延长BM，CD交于点Q，过点N作NF⊥AB于点E，交BA于点F，过点P作PG⊥DQ于点G，
∵，四边形ABCD是正方形，
设 AB＝5k，AM＝4k，则DM＝k，
∵DQ∥NF∥AB，
∴△QDM∽△ABM，
∴，
∴，
∵NF⊥AB，△AMN 是等边三角形，
∴AE＝EM＝2k，，
∵△MEF∽△ABM，
∴，
∴，
∵△PDQ∽△NPF，
∴，
∴，
∴，
∵△PDQ∽△DNE，
∴．
4．（2025 锦江区校级模拟）在数学活动课上，某兴趣小组准备了两张矩形纸片ABCD和CEFG来探究图形旋转的性质，先将顶点C固定，然后使矩形纸片CEFG绕点C旋转．已知AB＝6，BC＝8，CE＝4，EF＝3，AC，CF分别是矩形ABCD和CEFG的对角线，连接AF，DG．
【尝试初探】
（1）如图1，在矩形纸片CEFG的旋转过程中，试探究的值；
【深入探究】
（2）如图2，当AC的中点O恰好在FE的延长线上时，OF交CD于点M，AF交CD于点N，求MN的长；
【拓展延伸】
（3）当AF⊥CE时，请直接写出△CDG的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形CEFG为矩形，AB＝6，BC＝8，CE＝4，EF＝3，
∴AC10，
CF5．
∵，∠ADC＝∠FGC＝90°，
∴△ADC∽△FGC，
∴∠ACD＝∠FCG，
∴∠ACF＝∠GCD．
∵2，2，
∴，
∴△ACF∽△DCG，
∴；
（2）连接DF，如图，
∵O为AC的中点，
∴OC＝OA＝5，
∵AC的中点O恰好在FE的延长线上，
∴OE⊥OF，
∴OE3，
∵，∠ADC＝∠CEO＝90°，
∴△ADC∽△CEO，
∴∠ACD＝∠EOC，
∴MO＝MC，
设EM＝x，则MC＝MO＝3+x，
∵CE2+EM2＝CM2，
∴42+x2＝（x+3）2，
∴x．
∴CM＝3+x，
∴DM＝CD﹣CM，MF＝EF﹣EM，
∴DM＝MF，
∴∠MDF＝∠MFD，
∵∠OMC＝∠DMF，
∴∠MDF＝∠MFD＝∠ACD＝∠EOC，
∴DF∥AC．
∴△DMF∽△CMO，
∴，
∴DF．
∵DF∥AC，
∴△DFN∽△CAN，
∴，
∴，
∴MN．
（3）△CDG的面积为或．理由：
①连接AC，CF，过点C作CH⊥GD于点H，如图，
∵AF⊥CE，
∴AE2，
∴AF＝AE+EF＝23，
由（1）知：，
∴DG．
设GH＝a，则DH＝DG﹣GHa，
∵CG2﹣GH2＝CH2＝CD2﹣DH2，
∴，
∴a．
∴CH，
∴△CDG的面积；
②连接AC，CF，过点G作GH⊥CD于点H，如图，
∵AF⊥CE，
∴AE2，
∴AF＝AE﹣EF＝23，
∴46．
由（1）知：△ACF∽△DCG，
∴，
∴△CDG的面积（46）．
综上，△CDG的面积为或．
5．（2025 琼山区校级一模）【问题背景】（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE；
【问题探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．
【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，求的值．
【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，
∴，∠EBF＝∠C＝90°，
∴△BCD∽△FBE；
（2）证明：如图，延长FE交DA的延长线于点M，作FH⊥AD于点H，
∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，
∴∠MAE＝∠FBE，AE＝BE，四边形HDCF是矩形，
又∵∠AEM＝∠BEF，
∴△BEF≌△AEM（ASA），
∴BF＝AM，
∵AD＝2CF，HD＝CF，
∴AH＝HD＝CF，
∴MA+AH＝BF+CF，
即BC＝HM，
又∵MHF＝90°＝∠BCD，HC＝CD，
∴△MHF≌△BCD（SAS），
∴∠CBD＝∠M＝∠MFB，
∴BG＝FG；
（3）解：如图，连接AF，过点F作FH⊥AD于点H，
设CF＝a，则AH＝HD＝a，AD＝CD＝2a＝HF，
在Rt△AHF中，AFa，
又∵AG＝BG＝FG且AE＝BE，
∴FE⊥AB，，
取BD中点M，连接EM，
∴，
∴△EGM∽△FGB，
∴．
6．（2025 海口模拟）问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E．作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．
（1）探究发现：旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
（3）延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，分别取AB，BC的中点D，E．作△BDE，将△BDE绕点B逆时针旋转得到△BD'E'，连接CE'，当边AB平分线段D'E'时，求tan∠E′CB的值．
【解答】解：（1）BD＝CE，理由如下：
∵点D和点E为分别为AB，AC中点，
∴ADAB，AEAC，
∴，
∴，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝4，
∴∠BAC＝45°，
∴cos∠BAC，
根据旋转的性质可得：∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴，即BD＝CE；
【类比应用】由图1可知，
∵点D和点E为分别为AB，AC中点，
∴DE∥BC，ADAB＝2，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE，
根据勾股定理可得：BD2，
由【探究发现】可得，
∴，
解得CE＝2；
（3）令AB，D′E′相交于点Q，过点E′作E′G⊥BC于点G，如图4，
根据题意可得BE′BC＝3，
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC10，
∴sin∠CAB，cos∠CAB，
∵边AB平分线段D′E′，∠D′BE′＝∠ABC＝90°，
∴BQ＝D′QDE′，
∴∠QBD′＝∠QD′B，
∵△D′BE∽△ABC，
∴∠QD′B＝∠CAB，
∴∠QBD′＝∠CAB，
根据旋转的性质可得：∠QBD′＝∠E′BG，
∴∠CAB＝∠E′BG，
∴sin∠CAB＝sin∠E′BG，cos∠CAB＝cos∠E′BG，
∴E′G＝BE′ sin∠E′BG，BG＝BE′ cos∠E′BG，
∴CG＝BC﹣BG＝6，
∴tan∠E′CB．
7．（2025春 青神县期中）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段CP的长；
（2）如图2，当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值；
（3）如图3，若点M为DQ的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与△ABC相似时t的值．
【解答】解：（1）由题意得AB＝5，BC＝4，BP＝2t，CQ＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝5，
当点P与点C重合时，则2t＝4，
解得t＝2，
当点Q与点D重合时，则t＝5，
∵当点Q到达点D时，两点同时停止运动，
当0＜t≤2时，CP＝4﹣2t，
当2＜t≤5时，CP＝2t﹣4；
（2）当0＜t≤2时，如图1，PQ∥BD，则△CPQ∽△CBD，
∴，
∴，
解得t；
当2＜t≤5时，如图2，PQ∥AC，则∠QPC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠QCP＝∠ABC＝90°，
∴△QCP∽△ABC，
∴，
∴，
解得t，
综上所述，t的值为或；
（3）∵点M为DQ的中点，DQ＝5﹣t，
∴DM（5﹣t），
∴CM＝5（5﹣t）t，
当0＜t≤2，△PCM∽△ABC，且∠CPM＝∠BAC时，如图3，
则，
∴，
解得t；
当0＜t≤2，△MCP∽△ABC，且∠CMP＝∠BAC时，如图4，
则，
∴，
解得t；
当2＜t≤5，△MCP∽△ABC，且∠CMP＝∠BAC时，如图5，
则，
∴，
解得t；
当2＜t≤5，△PCM∽△ABC，且∠CPM＝∠BAC时，如图6，
则，
∴，
解得t，不符合题意，舍去，
综上所述，t的值为或或．
8．（2025 方山县一模）综合与探究
综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答．
【初步研究】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在线段BC，CD上，且AM⊥BN，则的值为 　1　 ．
【知识迁移】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E，F，G，H分别在线段AB，CD，AD，BC上，且GH⊥EF，求的值．
【深入探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝DC＝6，当时，请直接写出边AB的长．
【解答】解：（1）∵四边形正方形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，∠BAM+∠AMB＝90°，
∵AM⊥BN，
∴∠AMB+∠CBN＝90°，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴AM＝BN；
∴，
故答案为：1；
（2）作EM⊥DC于点M，作GN⊥BC于点N，记GN、EF的交点为K，
则EM∥AD∥BC，GN∥AB∥DC，
∴EM⊥GN，EM＝AD＝BC，GN＝AB＝DC，
又∵EF⊥HG，∠GKF＝∠EKN，
∴∠HGN＝∠MEF，
∴Rt△EMF∽Rt△GNH，
∴，
即；
（3）当CB＜AB时，如图，过B作AD的平行线交DC的延长线于S，过A作AR⊥SB于R，
∴∠S＝∠ADC＝90°＝∠R，
∴四边形ARSD为矩形，
∴AR＝SD，
∵CB＝CD＝6，AC＝AC，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴AB＝AD，
∴AC⊥BD，
同（2）可得：△DBS∽△ACD，
∴，
∴BS＝3，，，
∴∠CBS＝60°，，
∵∠CBS+∠ABR＝90°＝∠ABR+∠BAR，
∴∠BAR＝∠CBS＝60°，
∴；
如图，当CB＞AB时，过D作BC的平行线交BA的延长线于T，过C作CH⊥TD于H，
同理可得：AB＝AD，四边形TBCH为矩形，，∠ADT＝60°＝∠DCH，
∴，
设AB＝AD＝x，则，，
∴，
解得；
综上：AB为或．
9．（2025 宝安区模拟）综合与探究
【定义】三角形一边上的点（中点除外）将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD CD，则称点D是△ABC中BC边上的“中项点”．
【概念理解】
（1）①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，判断D 　是　 （填“是”或“否”）为△ABC中AB边上的“中项点”．
②如图2，在矩形ABCD中，点E为BC边上的动点，连接DE交对角线AC于点F，已知矩形的边AD为a，DC为b，设BE长为x，问：当矩形ABCD的AD边与DC边之比满足什么条件时，F同时为△ADC和△DCE的边上“中项点”，并求出此时x的值．
【性质应用】
（2）如图3，在菱形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE交对角线AC于点F，点F恰好是△ACD中AC边上的“中项点”，求证：点F也是△CDE中DE边上的“中项点”；
【性质拓展】
若把（2）中的条件“点E为BC边上的一点”改为“点E为直线BC上的一点”，若菱形的边长为5，BE＝3，tanB，求DF的长度．
【解答】（1）解：①如图中，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ADC∽△CDB，
∴，
∴CD2＝AD DB，
∴点D是△ABC中AB边上的“中项点”．
故答案为：是；
②∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠DCE＝90°，要满足点F同时为两个三角形边上的“中项点”，则要使得DF⊥AC，CF⊥DE，
当AB＝BC，即a＝b时，此时点F为对角线AC与BD的交点，不符合“中项点”定义，
当AB≠BC，即a＜b或a＞b，当a＜b时存在这样的点F，但此时E点不在BC边上，不合题意，
当a＞b存在这样的点F，且点E在BC边上，此时△ADC∽△DCE，
∴，
∴CE，
∴x＝BE＝a，
综上所述，当时，点F同时为两个三角形边上的“中项点”；
（2）证明：∵点F为AC边上的中项点．
∴DF2＝AF CF，
即，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∴，
∴，
∴CF2＝EF DF；
∴点F也是△CDE中DE边上的“中项点”；
（3）解：①如图1，当点E在BC边上时，过点A作AG⊥BC于点G，
∵，AB＝5，
设BG＝3x，AG＝4x，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
∴x＝1，
即BG＝3．
∴点G与点E重合，
连接AE，即AE⊥BC且AE＝4，
在Rt△ACE中，，
由（1）知，△ADFC△CEF，且CE＝5﹣3＝2，
∴，
∴，CF2，
由（2）知，DF2＝AF CF，
∴DF；
②如图2，当点E在射线BC上时，此时对角线AC与DE无交点，点F不存在，不合题意舍去；
③如图3，点点E在射线CB上时，
∵点F为AC边上的中项点，
∴DF2＝AF CF，
∴，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∴，
∴，
∴CF2＝EF DF；
∴点F也是△CDE中DE边上的“中项点”；
过点A作AG⊥BC于点G，
∵，AB＝5，
设BG＝3x，AG＝4x，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
∴x＝1，
即BG＝3，AG＝4，
∴CG＝5﹣3＝2，
∴AC2，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∴AF2，CF2，
由（2）知，DF2＝AF CF，
∴DF，
综上所述，DF的值为或．
10．（2025 石家庄二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△RBS，其中点A，C的对应点分别为点RS，连接AR，CS，其旋转角满足0°＜∠ABR＜180°．
（1）如图1，AC＝　4　 ，在图中找出一对相似但不全等的三角形　△ABR∽△CBS　 ．
（2）当旋转到AB⊥RS位置时，记CS和BR的交点为M．
①请在图2中补全图形；
②求BM的长．
（3）如图3，延长SC交AR于点F，AC的中点为G，连接FG．请直接写出线段FG的取值范围．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC4，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△RBS，
∴BS＝BC，AB＝BR，∠ABR＝∠CBS，
∴1，
∴，
∴△ABR∽△CBS，
故答案为：4，△ABR∽△CBS；
（2）①当旋转到AB⊥RS位置时如图①，A、B、S三点共线；
如图所示；
②如图，过点C作 CE∥RB交AB于点E
则∠BEC＝∠SBR，△SBM∽△SEC，
∵△RBS是△ABC绕点B顺时针旋转得到的，
∴∠RBS＝∠ABC，SB＝BC＝3，
∴∠BEC＝∠EBC，
∴CE＝BC＝3，
作CD⊥AB于点D，
则BE＝2BD，∠CDB＝∠ACB＝90°，
又∠CBD＝∠ABC，
∴△CBD∽△ABC，
∴，
∴BD，
∴BE，
∴，
∵△SBM∽△SEC，
∴，
∴；
（3），
如图，过点A作 AH∥RS交SF延长线于点H，
则∠H＝∠RSF＝α，∠HAF＝∠SRF，
∵BS＝BC，
∴∠BCS＝∠BSC＝β，
∵∠ACB＝∠RSB＝90°，
∴∠ACH＝∠RSF＝α，
∴∠ACH＝∠H＝α，故AH＝AC＝4，
在△AHF和△RSF 中，
，
∴△AHF≌△RSF（ASA），
∴AF＝RF，
即F是AR中点，
连接RC，则，RB﹣BC≤RC≤RB+BC，
即2≤RC≤8，
∴1≤FG≤4，
又∵0°＜∠ABR＜180°，
且当∠ABR＝180°时，如图，此时，
∴．
11．（2025 成都三模）从特殊到一般是研究数学的重要方法，在一次数学课上，某学习小组的同学运用这一方法探究矩形的折叠．已知矩形纸片ABCD中，点P为射线AB上一点，将△APD沿DP折叠得到△MPD，点A的对应点为M，延长DP，DM交直线BC于点Q，N．
【尝试初探】已知AD＝6，AB＝8，
（1）如图1，若点B与点N重合，求线段AP的长度；
（2）如图2，若点B与点N不重合，当3时，求线段DN的长．
【拓展延伸】若k（k＞1），连接PN，当△PNQ为直角三角形时，直接写出tanQ的值．（用k的代数式表示）．
【解答】解：（1）①∵AD＝6，AB＝8，
∴DN10，
∵折叠，
∴DA＝DM＝6，AP＝MP，
∴MN＝DN﹣DM＝4，
∵PN＝AN﹣AP＝8﹣MP，
∴在Rt△PMN中，PM2+MN2＝PN2，
即PM2+42＝（8﹣PM）2，
解得PM＝3，
∴AP＝PM＝3；
（2）情况一：如图，点P在线段AB上，
∵3，
∴AP＝3BP，
∴AP＝3（AB﹣AP），
∴APAB，
∵AD＝6，DC＝AB＝8，
∴AP8＝6＝AD，
∵∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP＝∠APD＝45°，
由折叠得∠MDP＝∠ADP＝45°，
∴∠ADM＝90°＝∠ADC，
∴点M在DC上，DN与DC重合，
∴DN＝DC＝8；
情况二：如图，点P在线段AB的延长线上，
∵3，
∴AP＝3BP，
∴AB+BP＝3BP，
∴BPAB＝×8＝4，
∴AP＝3×4＝12，
∴DP6，
∵BQ∥AD，
∴△BPQ∽△APD，
∴，
∴QPDP＝2，
∴DQ＝DP﹣QP＝4，
作NE⊥DQ于点E，则∠NED＝90°，
∵∠NDE＝∠ADP＝∠NQE，
∴DN＝QN，
∴DE＝QEDQ＝2，
∵cos∠NDE＝cos∠ADP，
∴DNDE＝22＝10，
综上所述，DN的长为8或10．
（3）拓展延伸：①当点P在线段AB上，且∠PNQ＝90°时，如图，此时B和N重合，
令AD＝1，则AB＝k，
∴BD，
由∠ADP＝∠PDN＝∠Q得，
∴BQ＝BD，
∴CQ＝BQ+BC1，
∴tanQ；
②当点P在线段AB上，且∠NPQ＝90°时，如图，
由∠ADP＝∠PDN＝∠Q得，BQ＝DN，
∵∠NPQ＝90°，
∴NP⊥DQ，
∴DP＝PQ，
∵∠A＝∠PBQ，∠APB＝∠BPQ，
∵△ADP≌△BQP（AAS），
∴AD＝BQ，
令AD＝1，则AB＝k，BQ＝1，
∴CQ＝BQ+BC＝2，
∴tanQ；
③当点P在AB延长线上，此时Q和N都在射线PC上，
∵∠PBN＝90°，且∠PQN＞∠PBN＝90°，
∴△PNQ是钝角三角形，不可能为直角三角形，故此情况不存在．
综上，tanQ或．
12．（2025春 新野县期中）在△ABC中，，D是边AC上的一点，将△ABD沿BD折叠，得到△EBD，连接AE．
【特例发现】
（1）如图1，当m＝1，BE落在直线BC上时，求证：∠DBC＝∠EAC．
【类比探究】
（2）如图2，当m≠1，BE与边AC相交时，在BD上取一点F，使∠BCF＝∠ACE，CF交BE于点H．试探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，当，D是边AC的中点时，若AE EH＝9，请直接写出CE的长．
【解答】解：（1）如图1，延长BD交AE于F，
由折叠知，∠BFA＝90°＝∠BCA，
∴∠DBC+∠BDC＝∠ADF+∠EAC＝90°，
∵∠BDC＝∠ADF，
∴∠DBC＝∠EAC；
（2）如图2，延长BD交AE于G，
由（1）①知，∠DBC＝∠EAC，
∵∠BCF＝∠ACE，
∴△BCF∽△BCE，
∴m，
（3）由折叠知，∠AGB＝90°，AG＝GE，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴DG是△ACE的中位线，
∴DG∥CE，
∴∠AEC＝∠AGD＝90°，∠BFC＝∠ECF，∠FBH＝∠CEB，
由（2）知，△BCF∽△ACE，
∴∠BFC＝∠AEC＝90°，2m，
∴tan∠FBC，
设CF＝x，则BFx，AE＝2x，
∴BF＝CE，
∴△BFH≌△ECH（AAS），
∴BH＝EH，FH＝CH，
∴FHx，
在Rt△AGH中，根据勾股定理得，BHx，
∵EA EH＝6，
∴2x x＝6，
∴x或x（舍），
即CF，
∴CEx＝2．
13．（2025 武汉模拟）【初识模型】如图（1），在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，点E在AD上．连接CE．且CD＝CE，∠BAD＝∠ACE，求证：△ABD∽△CAE；
【尝试应用】如图（2），在 ABCD中，AC、BD交于点O，点E在线段OC上，连接BE，且BD＝2BE，∠CBE＝∠DCO，若BD＝12，OE＝5，求AB的长；
【拓展提升】如图（3），在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，点E为BC的中点，点F在边CD上，连接OE、AE、AF，若∠AEO＝∠CAF，，AC＝6，请直接写出：菱形ABCD的边长为　　 ．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠EDC＝∠DEC，
∴∠ADB＝∠CEA，
∵∠BAD＝∠ACE，
∴△ABD∽△CAE；
（2）解：∵四边形ABCD为 ABCD，
∴BD＝2OB，
又∵BD＝2BE，
∴OB＝BE，
∴∠EOB＝∠OEB，
∴∠AOB＝∠BEC．
∵DC∥AB，
∴∠DCO＝∠CAB，
又∵∠CBE＝∠DCO，
∴∠CAB＝∠CBE，
∴△BEC∽△AOB．
∴，设CE＝x，
即，解得x＝4．
∴AO＝9，AC＝18，CE＝4．
又∵∠CAB＝∠CBE，∠ECB＝∠BCA，
∴△CEB∽△CBA，
∴，即，
可解得CB，AB．
（3）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，即∠BOC＝90°，
又∵E为BC的中点，由斜边中线定理可知OE＝CE，
∴∠EOC＝∠ECO，
延长AF交BC的延长线于点G，如图3所示，
∴∠AOE＝∠GCA．
又∵∠AEO＝∠CAF，
∴△AEO∽△GAC．
设CE＝EO＝y，则BC＝AD＝2y，
∵AD∥BG，
∴△ADF∽△GCF，
∴，CG，
由△AEO∽△GAC可得，
即，解得y．
故BC，
故答案为：．
14．（2025 宿豫区三模）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PBC，△PAB或△PCA中，如果有一个三角形与△ABC相似，那么称点P是△ABC的“相似点”．
例：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠BCA，∠PCB＝∠BAC，则△BCP∽△CAB，故点P为△ABC的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CP平分∠ACB．求证：点P为△ABC的“相似点”；
（2）如图3，若△ABC为锐角三角形，点E是△ABC的“相似点”，且点B与点A对应，点E在∠ABC的平分线BF上，连接CE．若，求的值；
（3）如图4，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，AC＝4EF，连接DE交AC于点G，连接DF，GF．若点G是△DEF的“相似点”，且点D与点F对应．若∠EDF＝∠BAC＝∠FGC，探究DE与EF的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°．
∵PC平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠BCP＝36°，
∴∠BCP＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCP∽△BAC，
∴点P为△ABC的“相似点“；
（2）解：∵点E是△ABC的“相似点“，且点B与点A对应，点E在∠ABC的平分线上，
∴△BEC∽△ACB，
∴∠EBC＝∠CAB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠A，
∴FA＝FB，
∵∠BCF＝∠ACB，∠CBF＝∠A，
∴△CBF∽△CAB，
∴；
（3）DE＝2EF，
证明：∵点G是△DEF的“相似点“，∠GEF＝∠FED，
∴△GEF∽△FED，
∴∠EFG＝∠EDF，
∵∠EDF＝∠BAC＝∠FGC，
∴∠EFG＝∠FGC，
∴AC∥EF，
分别延长EF，DC，交于点H，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，
∵AC∥EF，
∴四边形AEHC是平行四边形，
∴AC＝EH，AE＝CH，∠EAC＝∠H，
∵∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠H，
又∵∠DEF＝∠HED，
∴△EDF∽△EHD，
∴，
∴ED2＝EF EH，
∵EH＝AC＝4EF，
∴DE2＝4EF2，
∴DE＝2EF．
15．（2025 青白江区模拟）【问题情境】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点（不与B、C重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE．点F是DE中点，连接AF并延长交BC的延长线于点G．
【探究发现】
（1）如图1，若BD＝CD，判断线段AF与BC的数量关系，并说明理由；
【探究猜想】
（2）如图2，若BD＝2CD．
①判断线段AF与BC之间的数量关系，并说明理由；
②若，求CG的长度．
【探究拓广】
（3）如图3，若BD＝nCD，在AB上取一点M，使得AM＝BM，连接EM并延长交CB的延长线于点N，请求出的值（用含n的式子表示）．
【解答】解：（1）AFBC．
理由：∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，ADBC，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴∠DAE＝90°，．
∴，
∵点F是DE中点，
∴；
（2）①．
理由：过点A作AM⊥BC于M，过点F作FN⊥BC于N，如图2，
∵Rt△ABC，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
又∵AM⊥BC，
∴BM＝CM，，
设CD＝x，
∵BD＝2CD，
∴BD＝2x，BC＝3x，
∴，
∴，
∴AD，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴∠DAE＝90°，AE＝ADx，
∴DEADx，
∵点F是DE中点，
∴AF＝DF＝EFDEx，
∴，
∴AFBC；
②∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，，
∴，
∵BD＝2CD，
∴BD＝4，CD＝2，
∵∠EAC+∠CAD＝∠DAE＝90°，∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝90°，
∴∠EAC＝∠BAD，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴CE＝BD＝4，∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴CE⊥BC，
∵FN⊥BC，
∴FN∥CE，
∴△DFN∽△DEC，
∴，
∴，
∵AM⊥BC，FN⊥BC，
∴AM∥FN，
∴△GFN∽△GAM，
∴，
即，
∴CG＝3．
（3）过点A作AG⊥BC于G，过点M作MP⊥BC于P，
如图3，
设CD＝y，
∵BD＝nCD，
∴BD＝ny，
∴BC＝（n+1）y，
∵Rt△ABC，AB＝AC，AG⊥BC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AFDE，
∵AM＝BM，
∴，
∵AG⊥BC，MP⊥BC，
∴MP∥AG，
∴△BMP∽△BAG，
∴，
∴，MPAGy，
∴CP，
∵CE⊥BC，MP⊥BC，
∴MP∥CE，
∴△NMP∽△NEC，
∴，
∴，
由（2）知：CE＝BD＝ny，
∴，
∴CN，
∴．
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