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【专项押题卷】临考题型分类专项押题：解答题-2024年中考数学
1．（2025 合肥模拟）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，已知格点（网格线的交点）△ABC．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在所给的网格图中确定格点D，使得点A，C1，D组成以AC1为直角边的直角三角形，并写出所有点D的坐标．
2．（2025 辽宁模拟）如图，点I在反比例函数G：（x＞0，m≠0）的图象上，G过点（2，2），过点I作G的切线l：y＝kx+b（k≠0）交y、x轴于A、B，连接OI．
（1）求m的值；
（2）求证：△AOB的面积为常数．
3．（2025 广东模拟）如图，已知在Rt△ABC中∠BAC＝90°．
（1）实践与操作：用尺规作图法在边BC上找一点P，连接AP，使得△APC∽△BAC；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明）
（2）应用与求解：若AD为BC边上的中线，且AB＝6，AC＝7，△ABD的周长为16，求△ACD的周长．
4．（2025 合肥模拟）小明在探究杠杆平衡条件的实验中，使用了一个长度为6米的杠杆，支点位于中点．杠杆左侧有A，B，C三个挂钩点，距离支点分别为1米，2米，3米；右侧有D，E，F三个挂钩点，距离支点同样为1米，2米，3米．实验中，小明在挂钩点放置物体后，杠杆可能在支点保持平衡．请回答以下问题．（杠杆定理公式：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）
（1）小明在左侧随机选择一个挂钩点挂3N的物体，在右侧也随机选择一个挂钩点挂3N的物体．请用树状图或列表法求此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）小明改为在左侧随机选择一个挂钩点挂两个3N的物体（总重力6N），右侧随机选择一个挂钩点挂重力为G的物体．若此时杠杆平衡的概率为，请求出G的值．
5．（2025 泰州二模）如图，是由边长为1的小正方形组成的10×6的网格，点A，B均在格点上，以AB为直径画半圆O，格点C在半圆O上．请仅用无刻度的直尺画图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中作∠BAC的平分线，交BC于点D；
（2）在图2中的半圆弧上确定点E，使得BC平分∠ABE．
6．（2025 宁波模拟）为了解某校九年级学生“一分钟跳绳”成绩，学校随机抽取了若干名九年级学生进行跳绳测试，并将收集的跳绳成绩同时交给甲、乙两兴趣小组进行独立处理，图1、图2分别是甲、乙两兴趣小组绘制的跳绳成绩频数分布直方图（每个分组包含左端点，不含右端点）．
根据以上信息，回答下列问题．
（1）补全乙组绘制的跳绳成绩频数分布直方图；
（2）已知该校九年级共有700名学生，请估计“一分钟跳绳”成绩为180个的学生人数．
7．（2025 天河区校级二模）如图1，线段AB＝12，O为AB中点，C是平面上异于A，B的任一动点，且满足∠ACB＝90°，若点D和点C在直线AB的同侧，且AD⊥AC，并始终有∠ADC＝60°，连接OD，CD．
（1）如图2，若∠B＝∠ADC，求线段AD的长；
（2）若AC将线段OD三等分，求线段AD的长；
（3）直接写出线段OD长度的取值范围．
8．（2025 余姚市三模）如图，菱形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，以B为圆心，BD为半径画弧，两弧交于点E．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）连结AC，若，求cos∠C的值．
9．（2025 广东模拟）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．（参考数据：sin37°，tan37°，sin53°，tan53°）
（1）求点P到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点Q，此时∠QPM＝90°，求Q点到N点的距离．
10．（2025 鼓楼区二模）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH为矩形；
（2）菱形ABCD满足　 　 时，四边形EFGH为正方形．
11．（2025 上栗县校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知点A（2，0），C（0，4）．
（1）求k的值．
（2）连接AC，BO交于点D，将矩形OABC向右平移m个单位长度得到矩形O'A'B'C'平移后点D的对应点D'在反比例函数的图象上，求m的值．
12．（2025 清丰县校级一模）周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）与登山时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）小轩减速前的速度为 　 　 米/分钟；
（2）求小轩减速后s与t之间的函数关系式；
（3）当小轩爬了1小时时，他距离山脚出发地的路程是多少米？
13．（2025 柯桥区二模）如图，已知菱形ABCD，∠DAB＝120°，延长AC至点F，连接DF，∠FDA＝90°，延长BC交DF于点E．
（1）求证：BD＝DF；
（2）若AD＝1，求△BDE的面积．
14．（2025 庐阳区校级三模）有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…设图（n）中的沙漏形”的个数为fn（n为正整数）．
观察以上图形，解答下列问题：
（1）填空：f5＝ 　 　 ，fn＝ 　 　 （用含n的式子表示）；
（2）当n的值为多少时，fn﹣fn﹣1的值开始大于2025．
15．（2025 高密市三模）定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
（1）如图1，在“双垂四边形ABCD”中，若∠A＝65°，则∠CBD＝ 　 　 ；
（2）如图2，在“双垂四边形ABCD”中，∠ADB＝∠ABC＝90°，∠A＝45°，E为线段AB上一点，CD＝5，且CD⊥DE，求DE的长．
16．（2025 乾安县模拟）山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用．
课题 劳动基地菜地护栏建设
调查方式 走访调研、实地查看测量
测量过程及计算 调研内容及图示
相关数据及说明： ①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天费用为240元． ②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成．
计算结果 …
17．（2025 伊川县模拟）新年前夕，国家主席习近平通过中央广播电视总台和互联网，发表二〇二五年新年贺词，其中提到：“我们因地制宜培育新质生产力，新产业新业态新模式竞相涌现，新能源汽车年产量首次突破1000万辆，集成电路、人工智能、量子通信等领域取得新成果．”随着新能源汽车的发展，某市计划引进一批新能源公交车投入运营．新能源公交车有A，B两种车型，若购买A型公交车30辆，B型公交车10辆，共需2600万元；若购买A型公交车20辆，B型公交车30辆，共需3600万元．
（1）求购买A型和B型新能源公交车每辆分别需要多少万元．
（2）交通管理部门调研发现：A型新能源公交车适合支线道路运营，B型新能源公交车适合主干道运营．若本批次计划购买A，B两种新能源公交车共80辆，且支线道路运营车辆不超过主干道运营车辆为，请问分别购买多少辆A，B两种新能源公交车可使得政府投入的费用最少？并求出最少费用．
18．（2025 鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
19．（2025 余姚市三模）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数）．
（1）求二次函数图象经过的定点的坐标；
（2）已知函数图象过（2，1）．
①若函数图象与直线y＝﹣1只有一个公共点，求a的值；
②求证：当0≤x＜t，且1＜t≤2时，函数最大值与最小值的差为|a|．
20．（2025 通许县一模）射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中2m以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水流向上运动的高度y（单位：cm）与向前运动的水平距离x（单位：cm）的关系可以近似地表示为y＝﹣0.2x2+6x．
（1）如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离x的范围是　 　 ，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离x的范围是　 　 ；
（2）假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离10cm，高度50cm处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？
（3）假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方25cm高度，并沿水平直线飞行，那么这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方多远处？
21．（2025 辽宁模拟）如图1，在Rt△ABC中，AB≠AC，∠CAB＝90°，点D为AC中点，连接BD，点E为BD中点，连接AE，过E作EF⊥AE交AC于F．
（1）若AB＝k EF（1＜k＜2），求tanC的值（用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，若∠GFA＝∠FAE﹣∠EAB，∠G＝90°，求的值．
22．（2025 庐阳区校级二模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0）．
（1）如图，当二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴另一交点为C（C点在A点右侧），交y轴于D点，直线x＝2交抛物线、x轴于B、E两点，设B点坐标为（2，a）．
①用含a的代数式表示b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ．
②当DC＝2BC时，求二次函数解析式．
（2）二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴为直线x＝m，m取值范围为0≤m≤3时，求该二次函数最大值n取值范围．
23．（2025 新民市三模）已知△ABC是⊙O的内接三角形，CA＝CB，∠ACB＝40°，点D是⊙O上一点，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若BD为⊙O的直径，求∠CBD的度数；
（2）如图2，若AD∥BC，过点D作⊙O的切线交OA的延长线于点E，若DE＝5，求的长．
24．（2025 顺庆区二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A和B（1，0）两点，与y轴相交于C，且顶点D（﹣1，4），P是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，连接BC，若∠PBC＝45°，求P的坐标；
（3）如图2，过P作PQ∥AC交抛物线于Q，以P、Q、D为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出P的坐标；若不存在，通过计算说明．
【专项押题卷】临考题型分类专项押题：解答题-2024年中考数学
参考答案与试题解析
一．解答题（共24小题）
1．（2025 合肥模拟）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，已知格点（网格线的交点）△ABC．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在所给的网格图中确定格点D，使得点A，C1，D组成以AC1为直角边的直角三角形，并写出所有点D的坐标．
【解答】解：（1）如图，所作△A1B1C1即为所求；
（2）如图，点D的坐标为（﹣5，5）或（3，﹣1）．
理由：∵，，
，
∴，，
∴∠D2AC1＝90°＝∠D1AC1．
2．（2025 辽宁模拟）如图，点I在反比例函数G：（x＞0，m≠0）的图象上，G过点（2，2），过点I作G的切线l：y＝kx+b（k≠0）交y、x轴于A、B，连接OI．
（1）求m的值；
（2）求证：△AOB的面积为常数．
【解答】解：（1）由条件可得，
解得：m＝4；
（2）设AB：y＝kx+b（k≠0），
联立，
得到：，
∵x＞0，
∴上式化简为：kx2+bx﹣4＝0，
∵双曲线与直线的位置关系是相切，
∴Δ＝b2+16k＝0①，
设，将①式代入可知：，
过I作IK⊥x轴于点K，即IK∥y轴，2IK＝OA，
∴△IKB∽△AOB，即I为AB中点，
∴OI＝AI＝IB，即∠IOK＝∠IKB，
根据双曲线的性质得S△IOK＝2，
∴S△IKB＝2，
∵，
∴S△AOB＝8，即知S△AOB的面积为常数．
3．（2025 广东模拟）如图，已知在Rt△ABC中∠BAC＝90°．
（1）实践与操作：用尺规作图法在边BC上找一点P，连接AP，使得△APC∽△BAC；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明）
（2）应用与求解：若AD为BC边上的中线，且AB＝6，AC＝7，△ABD的周长为16，求△ACD的周长．
【解答】解：（1）如图所示，作∠PAC＝∠B，则点P即为所求．（作法不唯一）；
（2）由条件可知BD＝CD．
∵△ABD的周长为16，AB＝6，
∴AD+BD＝10，
∴AD+CD＝10，
∴AD+CD+AC＝17，
∴△ACD的周长为17．
4．（2025 合肥模拟）小明在探究杠杆平衡条件的实验中，使用了一个长度为6米的杠杆，支点位于中点．杠杆左侧有A，B，C三个挂钩点，距离支点分别为1米，2米，3米；右侧有D，E，F三个挂钩点，距离支点同样为1米，2米，3米．实验中，小明在挂钩点放置物体后，杠杆可能在支点保持平衡．请回答以下问题．（杠杆定理公式：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）
（1）小明在左侧随机选择一个挂钩点挂3N的物体，在右侧也随机选择一个挂钩点挂3N的物体．请用树状图或列表法求此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）小明改为在左侧随机选择一个挂钩点挂两个3N的物体（总重力6N），右侧随机选择一个挂钩点挂重力为G的物体．若此时杠杆平衡的概率为，请求出G的值．
【解答】解：（1）画树状图如下，
从树状图中可以看到，总共有9种等可能的结果．
当左右两侧力都为3N时，只有左右两侧力臂相等，杠杆才能平衡．
所以杠杆平衡的情况有：左侧A点，右侧D点；左侧B点，右侧E点；左侧C点，右侧F点，共3种，
∴此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）左侧随机选一个挂钩点挂6N物体，右侧随机选一个挂钩点挂重力为G的物体，同样有9种等可能的结果，
设左侧力臂为L1，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为L2，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得6×L1＝G×L2，即．
已知杠杆平衡的概率为，由概率公式可知平衡的情况数为种，
分情况讨论求出G的值：
当L1＝1米，L2＝1米时，；
当L1＝1米，L2＝2米时，；
当L1＝1米，L2＝3米时，；
当L1＝2米，L2＝1米时，；
当L1＝2米，L2＝2米时，；
当L1＝2米，L2＝3米时，；
当L1＝3米，L2＝1米时，；
当L1＝3米，L2＝2米时，；
当L1＝3米，L2＝3米时，．
要使平衡情况有3种，G的值为6N．
5．（2025 泰州二模）如图，是由边长为1的小正方形组成的10×6的网格，点A，B均在格点上，以AB为直径画半圆O，格点C在半圆O上．请仅用无刻度的直尺画图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中作∠BAC的平分线，交BC于点D；
（2）在图2中的半圆弧上确定点E，使得BC平分∠ABE．
【解答】解：（1）如图1，取格点G，连接OG并延长交⊙O于F，连接AF交BC于D，点D即为所求；
∵OF∥AC，
∴∠CAF＝∠OFA，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OAF＝∠CAF；
（2）如图2，取格点H，连接AH并延长交⊙O于E，则点E即为所求；
∵，
∴∠CAE＝∠ABC，
∵∠CBE＝∠CAE
∴∠CBE＝∠ABC．
6．（2025 宁波模拟）为了解某校九年级学生“一分钟跳绳”成绩，学校随机抽取了若干名九年级学生进行跳绳测试，并将收集的跳绳成绩同时交给甲、乙两兴趣小组进行独立处理，图1、图2分别是甲、乙两兴趣小组绘制的跳绳成绩频数分布直方图（每个分组包含左端点，不含右端点）．
根据以上信息，回答下列问题．
（1）补全乙组绘制的跳绳成绩频数分布直方图；
（2）已知该校九年级共有700名学生，请估计“一分钟跳绳”成绩为180个的学生人数．
【解答】解：（1）根据题意计算出总人数为2+8+9+20+10+8+3+3＝63，
∴171个≤跳绳成绩＜176个的频数为63﹣23﹣21﹣9﹣5＝5，
如图补全图形如下：
（2）由甲频数分布直方图得：跳绳成绩小于180个的频数为2+8+9＝19，
由乙频数分布直方图得：跳绳成绩小于181个的频数为23+5＝28，
所以样本中跳绳成绩等于180个的频数为28﹣19＝9，
（人），
答：九年级学生中约有100人“一分钟跳绳”成绩为180个．
7．（2025 天河区校级二模）如图1，线段AB＝12，O为AB中点，C是平面上异于A，B的任一动点，且满足∠ACB＝90°，若点D和点C在直线AB的同侧，且AD⊥AC，并始终有∠ADC＝60°，连接OD，CD．
（1）如图2，若∠B＝∠ADC，求线段AD的长；
（2）若AC将线段OD三等分，求线段AD的长；
（3）直接写出线段OD长度的取值范围．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝60°，∠B＝∠ADC，
∴∠B＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴；
（2）取AC中点T，连接OT，设OD，AC交于R，
由题意可得：OT是△ABC的中位线，
∴，
∴∠OTA＝∠BCA＝90°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAR＝∠OTR＝90°，
又∵∠DRA＝∠ORT，
∴△DRA∽△ORT，
∴；
由题意可得：当点R是靠近点D的三等分点时，则，
∴OT＝2AD，
∴BC＝4AD，
在Rt△ADC中，，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，
∴，
解得或（舍去），
当点R是靠近点O的三等分点时，则，
∴，
∴BC＝AD，
∴，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴，
解得AD＝6或AD＝﹣6（舍去）；
∴AD的长为或6；
（3）过点A作AF⊥AB，使∠AOF＝60°，连接OC，CF．
则∠OAF＝90°，
∴∠OFA＝30°，
∴OF＝2OA＝12，
∴，
∵，
∴，
∵∠DAC＝∠OAF＝90°，
∴∠DAC+∠CAO＝∠OAF+∠CAO，
即∠DAO＝∠CAF，
∴△CAF∽△DAO，
∴，
∴．
∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，
∴，
∵点D和点C在直线AB的同侧，
∴AF＜CF，
∵AF＜CF≤OF+OC，
∴，
∴．
8．（2025 余姚市三模）如图，菱形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，以B为圆心，BD为半径画弧，两弧交于点E．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）连结AC，若，求cos∠C的值．
【解答】（1）证明：连接BD，如图1，
∵以A为圆心，AD为半径画弧，以B为圆心，BD为半径画弧，两弧交于点E，
∴BD＝BE，AD＝AE，
∴AB为DE的中垂线，
∴DE⊥AB；
（2）解：如图2，连接AC，BD，
∵AB为DE的中垂线，
∴∠ABD＝∠ABE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
∵，
∴△ABC∽△EBD，
∴，
设AF＝x，AD＝5a＝AB，则BD＝4a，BF＝5a﹣x，
则（5a）2﹣x2＝（4a）2﹣（5a﹣x）2，
解得x＝3.4a，
∴．
9．（2025 广东模拟）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．（参考数据：sin37°，tan37°，sin53°，tan53°）
（1）求点P到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点Q，此时∠QPM＝90°，求Q点到N点的距离．
【解答】解：（1）作PB⊥QN于点B，延长ME交PB于点A．
∴∠PBQ＝∠PBN＝90°．
∵EM∥QN，
∴∠BAE＝∠PAE＝90°．
由题意得：MN⊥BN，
∴∠MNB＝90°．
∴四边形ABNM是矩形．
∴AB＝MN＝1（m），AM＝BN．
∵PM＝5m，∠PME＝37°，
∴PA＝PM sin∠PME≈53（m）．
∴PB＝PA+AB＝3+1＝4（m）．
答：点P到地面的高度约为4m；
（2）∵PA＝3m，PM＝5m，∠PAM＝90°，
∴AM＝4（m），∠APM+∠PME＝90°．
∴BN＝4（m）．
∵∠QPM＝90°，
∴∠QPB+∠APM＝90°．
∴∠QPB＝∠PME＝37°．
∴QB＝PB tan∠QPB≈43（m）．
∴QN＝QB+BN＝7（m）．
答：Q点到N点的距离约为7m．
10．（2025 鼓楼区二模）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH为矩形；
（2）菱形ABCD满足　AC＝BD　 时，四边形EFGH为正方形．
【解答】（1）证明：如图，连接FH，EG，AC，BD，
∵四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴AB＝AD，AE∥GD，AE＝GD，EF，且EF∥AC∥GH，
∴四边形EGDA是平行四边形，四边形EFGH是平行四边形，
∴EG＝AD，
同理可证FH＝AB，
∴EG＝FH，
∴四边形EFGH为矩形；
（2）解：菱形ABCD满足AC＝BD时，四边形EFGH为正方形，
∵AC＝BD，
∴EF，
又∵四边形EFGH为矩形，
∴四边形EFGH为正方形．
故答案为：AC＝BD．
11．（2025 上栗县校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知点A（2，0），C（0，4）．
（1）求k的值．
（2）连接AC，BO交于点D，将矩形OABC向右平移m个单位长度得到矩形O'A'B'C'平移后点D的对应点D'在反比例函数的图象上，求m的值．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC，AO＝BC，
∵A（2，0），C（0，4），
∴OA＝2，OC＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
∵点B（2，4）在反比例函数的图象上，
∴k＝2×4＝8；
（2）∵点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4），D是AC的中点，
∴点D的坐标为（1，2），
∵将矩形OABC向右平移m个单位长度得到矩形O'A'B'C'平移后点D的对应点D'在反比例函数y的图象上，
∴D′（1+m，2），
∴2（1+m）＝8，
∴m＝4﹣1＝3．
12．（2025 清丰县校级一模）周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）与登山时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）小轩减速前的速度为 　20　 米/分钟；
（2）求小轩减速后s与t之间的函数关系式；
（3）当小轩爬了1小时时，他距离山脚出发地的路程是多少米？
【解答】解：（1）由图象可知：小轩减速前爬山600米，用时30分钟，则小轩减速前的速度为600÷30＝20米/分钟．
故答案为：20．
（2）设小轩减速后s与t之间的函数表达式为s＝kt+b，
由题意可得：
，
．
∴s＝8t+360；
（3）1小时＝60分钟，
当t＝60时，s＝8×60+360＝840，
答：当小轩爬了1小时时，他距离山脚出发地的路程是840米．
13．（2025 柯桥区二模）如图，已知菱形ABCD，∠DAB＝120°，延长AC至点F，连接DF，∠FDA＝90°，延长BC交DF于点E．
（1）求证：BD＝DF；
（2）若AD＝1，求△BDE的面积．
【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，BD平分∠CDA，AD＝CD，
∴∠CDA＝60°，∠DCB＝∠DAB＝120°，
∵∠FDA＝90°，
∴∠CDB＝∠ADB＝∠FDC＝30°，
∵∠CDA＝60°，AD＝CD，
∴△DCA为等边三角形．
∴∠DCA＝60°，
∴∠DCF＝120°，
在△DCF与△DCB中，
，
∴△DCF≌△DCB（ASA），
∴DF＝BD，
即BD＝DF；
（2）解：由（1）得，∠BDE＝∠CDB+∠FDC＝60°，∠DBE＝30°．
∴∠DEB＝90°，
∵AD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，△DCA为等边三角形，
∴AC⊥BD，AC＝1，
∴．
∴，
∴S△BDEBE ED．
14．（2025 庐阳区校级三模）有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…设图（n）中的沙漏形”的个数为fn（n为正整数）．
观察以上图形，解答下列问题：
（1）填空：f5＝ 　31　 ，fn＝ 　2n﹣1　 （用含n的式子表示）；
（2）当n的值为多少时，fn﹣fn﹣1的值开始大于2025．
【解答】解：（1）第一个图形有1个“沙漏型”，
第二个图形有1+2＝3 个“沙漏型”，
第三个图形有1+2+4＝7个“沙漏型”，
…．
由此可得到规律，第n个图形有个1+2+4+ +2n﹣1＝2n﹣1图形，即，
∴fs＝1+2+4+8+16＝31，
故答案为：31，2n﹣1；
（2）∵，
∴
＝2×2n﹣1﹣2n﹣1+1
＝2n﹣1（2﹣1）+1
＝2n﹣1+1，
∴2n﹣1+1＞2025，
则当 n＝12成立，212﹣1+1＝2024+1＝2025，
∴n＝12．
15．（2025 高密市三模）定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
（1）如图1，在“双垂四边形ABCD”中，若∠A＝65°，则∠CBD＝ 　65°　 ；
（2）如图2，在“双垂四边形ABCD”中，∠ADB＝∠ABC＝90°，∠A＝45°，E为线段AB上一点，CD＝5，且CD⊥DE，求DE的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠A＝65°，
故答案为：65°；
（2）∵同理（1）可得，∠CBD＝∠A，
∵∠ADB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABD＝∠DAB＝45°，
∴DB＝DA，
又∵∠ADB＝∠CDE＝90°，
∴∠CDB＝∠ADE，
∴△CDB≌△EDA（ASA），
∴DE＝CD＝5．
16．（2025 乾安县模拟）山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用．
课题 劳动基地菜地护栏建设
调查方式 走访调研、实地查看测量
测量过程及计算 调研内容及图示
相关数据及说明： ①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天费用为240元． ②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成．
计算结果 …
【解答】解：设招募安装横杠的工人x名，则安装竖杠的工人（6﹣x） 名．
由题意，得，
解得 x＝2，
经检验，x＝2 是原方程的解，
则 6﹣x＝4，
支付给工人师傅的总费用为：2×200+4×240＝1360（元）．
答：支付给工人师傅的总费用为1360元．
17．（2025 伊川县模拟）新年前夕，国家主席习近平通过中央广播电视总台和互联网，发表二〇二五年新年贺词，其中提到：“我们因地制宜培育新质生产力，新产业新业态新模式竞相涌现，新能源汽车年产量首次突破1000万辆，集成电路、人工智能、量子通信等领域取得新成果．”随着新能源汽车的发展，某市计划引进一批新能源公交车投入运营．新能源公交车有A，B两种车型，若购买A型公交车30辆，B型公交车10辆，共需2600万元；若购买A型公交车20辆，B型公交车30辆，共需3600万元．
（1）求购买A型和B型新能源公交车每辆分别需要多少万元．
（2）交通管理部门调研发现：A型新能源公交车适合支线道路运营，B型新能源公交车适合主干道运营．若本批次计划购买A，B两种新能源公交车共80辆，且支线道路运营车辆不超过主干道运营车辆为，请问分别购买多少辆A，B两种新能源公交车可使得政府投入的费用最少？并求出最少费用．
【解答】解：（1）设购买A型新能源公交车每辆需要a元，购买B型新能源公交车每辆需要b元．
，
∴，
答：购买A型每辆需要60元，购买B型每辆需要80元；
（2）设购买A型m辆，则购买B型（80﹣m）辆，
∴，
解得m≤16，
设投入的费用为w元，则w＝60m+80（80﹣m）＝﹣20m+6400，
∵﹣20＜0，
∴w随m的增大而减小，
∵m≤16，
∴当m＝16时w的值最小，w最小＝﹣20×16+6400＝6080，
80﹣16＝64（辆）．
答：购买A型新能源公交车16辆、B型新能源公交车64辆可使得政府投入的费用最少，最少费用为6080万元．
18．（2025 鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
【解答】（1）解：∵直径AB垂直弦CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE+∠D＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠FCD+∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠FCD，
在△BCE和△GCE中，
，
，∴△BCE≌△GCE（ASA），
∴GE＝BE＝1；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在△ACB和△CEB中，
，
，∴△ACB∽△CEB，
∴，
∴BC2＝BA BE，
由（1）知GE＝BE，
∴，
又∵AB＝2BO，
∴；
（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：
如图，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∵直径AB垂直弦CD，
∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，
又∵AE＝AE，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠CAE，
设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，
则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝α，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，
∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，
∴β+α＝90°，
∴α＝90°﹣β，
∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，
∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，
∴∠COF＝∠AOF，
在△COF和△AOF中，
，
∴△COF≌△AOF（SAS），
∴∠OCF＝∠OAF，
即90°﹣3α＝α，
∴α＝22.5°，
∴∠CAD＝2α＝45°．
19．（2025 余姚市三模）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数）．
（1）求二次函数图象经过的定点的坐标；
（2）已知函数图象过（2，1）．
①若函数图象与直线y＝﹣1只有一个公共点，求a的值；
②求证：当0≤x＜t，且1＜t≤2时，函数最大值与最小值的差为|a|．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝1，
∴函数图象过定点（0，1）；
（2）①由题意可得：
∴函数图象对称轴为直线x＝1，即顶点坐标为（1，﹣1），
∴，
∴a＝2，
②证明：函数图象顶点为（1，﹣a+1），
若a＞0，当x＝0时，y取最大值为1，x＝1时，y取最小值为﹣a+1，
∴1﹣（﹣a+1）＝a＝|a|．
若a＜0，x＝1时，y取最大值为﹣a+1，x＝0时，y取最小值为1，
∴（﹣a+1）﹣1＝﹣a＝|a|，
∴函数最大值与最小值的差为|a|．
20．（2025 通许县一模）射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中2m以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水流向上运动的高度y（单位：cm）与向前运动的水平距离x（单位：cm）的关系可以近似地表示为y＝﹣0.2x2+6x．
（1）如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离x的范围是　0＜x＜15　 ，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离x的范围是　15＜x＜30　 ；
（2）假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离10cm，高度50cm处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？
（3）假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方25cm高度，并沿水平直线飞行，那么这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方多远处？
【解答】解：（1）当y＝0时，
﹣0.2x2+6x＝0，
∴x1＝0，x2＝30，
抛物线的顶点横坐标为：
，
∴它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离x的范围是0＜x＜15，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离x的范围是15＜x＜30；
故答案为：0＜x＜15，15＜x＜30；
（2）当x＝10时，
y＝﹣0.2×102+6×10＝40＜50，
∴不能击中这只昆虫；
（3）当y＝25时，
25＝﹣0.2x2+6x，
∴x1＝5，x2＝25，
∴可能在射水鱼正前方5cm或25cm处．
21．（2025 辽宁模拟）如图1，在Rt△ABC中，AB≠AC，∠CAB＝90°，点D为AC中点，连接BD，点E为BD中点，连接AE，过E作EF⊥AE交AC于F．
（1）若AB＝k EF（1＜k＜2），求tanC的值（用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，若∠GFA＝∠FAE﹣∠EAB，∠G＝90°，求的值．
【解答】解：（1）由题意可得：AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABE．
∵∠EFA+∠FAE＝∠EAB+∠DAE＝90°，
∴∠ABD＝∠AFE，
∵∠ABD＝∠AFE，∠AEF＝∠DAB＝90°，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
设AE＝DE＝BE＝a，BD＝2a，AD＝ka，
∵，
∴；
（2）延长FE至H，使得FE＝EH，连接BH、AH，如图1，
∵DE＝CE，FE＝EH，∠DEF＝∠CEH，
∴△DFE≌△BEH（SAS），
∴∠FDE＝∠HBE，
∴∠ABH＝∠EBH﹣∠ABD＝∠FDE﹣∠ABD＝∠DAB＝90°＝∠G．
∴AF＝AH，
∴∠EAH＝∠FAE，
又∵∠GFA＝∠FAE﹣∠EAB＝∠EAH﹣∠BAE＝∠BAH，
∴△GAF≌△BHA（AAS），
∴DF＝BH＝AG．
∴．
22．（2025 庐阳区校级二模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0）．
（1）如图，当二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴另一交点为C（C点在A点右侧），交y轴于D点，直线x＝2交抛物线、x轴于B、E两点，设B点坐标为（2，a）．
①用含a的代数式表示b＝ 　a+3　 ，c＝ 　﹣a﹣2　 ．
②当DC＝2BC时，求二次函数解析式．
（2）二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴为直线x＝m，m取值范围为0≤m≤3时，求该二次函数最大值n取值范围．
【解答】解：（1）①把A（1，0），B（2，a）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，
解得：，
故答案为：a+3，﹣a﹣2；
②由①知：y＝﹣x2+（a+3）x﹣a﹣2，
当x＝0时，y＝﹣a﹣2，当y＝﹣x2+（a+3）x﹣a﹣2＝0时，x1＝1，x2＝a+2，
∴C（a+2，0），D（0，﹣a﹣2），a+2＞1，
∴a＞﹣1；
∵DC＝2BC，B（2，a），
∴（a+2）2+（a+2）2＝4[（a+2﹣2）2+a2]，
解得：或a＝2，
∴或y＝﹣x2+（2+3）x﹣2﹣2＝﹣x2+5x﹣4，
综上：或y＝﹣x2+5x﹣4；
（2）把A（1，0），代入y＝﹣x2+bx+c，得：﹣1+b+c＝0，
∴c＝1﹣b，
∴y＝﹣x2+bx+1﹣b，
∵对称轴为直线，
∴b＝2m，
∴y＝﹣x2+2mx+1﹣2m，
∴当x＝m时，函数有最大值为：n＝﹣m2+2m2+1﹣2m＝（m﹣1）2，
对于n＝﹣m2+2m2+1﹣2m＝（m﹣1）2，
抛物线的开口向上，对称轴为直线m＝1，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵0≤m≤3，
∴当m＝1时，函数有最小值为：（1﹣1）2＝0，当m＝3时，函数有最大值为：（3﹣1）2＝4，
∴0≤n≤4．
23．（2025 新民市三模）已知△ABC是⊙O的内接三角形，CA＝CB，∠ACB＝40°，点D是⊙O上一点，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若BD为⊙O的直径，求∠CBD的度数；
（2）如图2，若AD∥BC，过点D作⊙O的切线交OA的延长线于点E，若DE＝5，求的长．
【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝40°，
∴，
若BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，
∵，
∴∠ACD＝∠ABD＝50°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABD＝70°﹣50°＝20°；
（2）∵，
∴∠BAC＝∠BDC＝70°，
∵，
∴∠ACB＝∠ADB＝40°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝40°+70°＝110°，
∵AD∥BC，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝70°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝70°﹣40°＝30°，
如图所示，连接OD，
∵所对圆心角是∠AOD，所对圆周角是∠ACD，
∴∠AOD＝2∠ACD＝60°，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
在Rt△ODE中，∠E＝30°，
∴OE＝2OD，
∴OE2＝OD2+DE2，即可（2OD）2＝OD2+52，
解得，（负值舍去），
∴长．
24．（2025 顺庆区二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A和B（1，0）两点，与y轴相交于C，且顶点D（﹣1，4），P是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，连接BC，若∠PBC＝45°，求P的坐标；
（3）如图2，过P作PQ∥AC交抛物线于Q，以P、Q、D为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出P的坐标；若不存在，通过计算说明．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点为点D（﹣1，4），
故设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4（a≠0）），
∵抛物线图象经过B（1，0），
∴a（1+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）将CB以C为旋转中心顺时针旋转90°，B对应点B'，连接BB'交抛物线于P，过C作MN∥x轴，且BN⊥MN，B'M⊥MN，
∴∠PBC＝45°，
令﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∵∠MCB'＝∠CBN＝90°﹣∠NCB，
∴在△MB'C和△NCB中，
，
∴△MB'C≌△NCB（AAS），
∴NB＝MC＝yc﹣yb＝3，CN＝B'M＝xB﹣xC＝1，
∴B'（﹣3，2），
设BB'的直线解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得：，，
∴BB'的直线解析式为，
∴，
整理得2x2+3x﹣5＝0，
解得：，x2＝1，
当时，，
∴；
（3）①当∠PDQ＝90°时，设PD的直线方程为y＝k1（x+1）+4，
设QD的直线方程为y＝k2（x+1）+4，
∴，
整理得x2+（k1+2）x+k1+1＝0，
∴xP+xD＝﹣k1﹣2，xP xD＝k1+1，
∴xP﹣1＝﹣k1﹣2，
∴k1＝﹣xP﹣1，
∴，
整理得x2+（k2+2）x+k2+1＝0，
∴xD+xQ＝﹣k2﹣2，xD xQ＝k2+1，
∴xQ﹣1＝﹣k2﹣2，
∴k2＝﹣xQ﹣1，
∵∠PDQ＝90°，
∴直线PD与x轴夹角的正切值＝直线DQ与x轴夹角的正切值的倒数，
∴，即，
∴k1 k2＝﹣1，
∴（﹣xP﹣1）（﹣xQ﹣1）＝﹣1，
即xP xQ+xP+xQ+2＝0，
∵PQ∥AC，
设PQ的直线解析式为y＝x+b，
，
整理得：x2+3x+b﹣3＝0，
∴xP+xQ＝﹣3，xP xQ＝b﹣3，
∴b﹣3+（﹣3）+2＝0，
解得：b＝4，
∴PQ的直线解析式为y＝x+4，
∴，
整理得x2+3x+1＝0，
解得：，，
∵当P在Q的左侧时，
∴，
∴，
∴，
∵当P在Q的右侧时，
，，
∴；
②由（1）知，顶点D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），
DC2＝（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2＝2，
AC2＝32+32＝18，
AD2＝（﹣1+3）2+（4﹣0）2＝20，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴此时△ACD为直角三角形，即∠ACD＝90°，
若∠PQD＝90°，此时PQ与AC重合，与题意不合，应舍去．
综上，或时，以P，Q，D为顶点的三角形是直角三角形．
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