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浙江省五湖联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．点在直线上，在平面外，用符号表示正确的是
A． B． C． D．
3．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
4．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B．3 C． D．2
6．壕股塔是嘉兴著名景点，某同学为了测量壕股塔PQ的高，他在山下处测得塔尖P的仰角为，再沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为，那么壕股塔的高为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四棱锥的体积为1，底面是平行四边形，，分别是所在棱的中点，则多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（ ）
A．高为 B．母线长为3
C．表面积为14π D．体积为
11．对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，则的面积为
C．在锐角中，不等式恒成立
D．若且有两解，则的取值范围是
三、填空题
12．用斜二测画法得到的水平直观图是边长为2的正三角形.则的面积是 .
13．三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是 .
14．在中，，，，在边上运动，则的最小值为 .
四、解答题
15．设复数，，为虚数单位.
(1)若，求；
(2)若是实数，求.
16．已知向量，，且与的夹角为．
(1)求及；
(2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
17．在锐角中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，求边长的取值范围.
18．如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．

(1)求旋转体的表面积；
(2)求旋转体的体积；
(3)求图中所示圆锥的内切球体积．
19．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.

(1)将用含有的关系式表示出来；
(2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
浙江省五湖联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D A A D C ABC ABC
题号 11
答案 ACD
1．B
【详解】因为，所以对应复平面内点的坐标，所以位于第二象限，
故选：B
2．B
【详解】因为点动成线，线动成面，所以直线和平面可以看做是点构成的集合，则点看做元素．因为元素与集合之间用和，集合与集合之间用和，所以答案选B．
3．B
【详解】不共线的向量可以作为基底，所以不能作为基底的便是共线向量，显然选项B中，，所以和共线.
故选: B.
4．D
【详解】由题意知，，
所以在上的投影向量为.
故选：D
5．A
【详解】由正弦定理得，得.由余弦定理，得
，即.
故选：A.
6．A
【详解】
如图，，
所以，得.
在中，，
在中，由正弦定理得，
即，解得，
所以壕股塔的高为米.
故选：A
7．D
【详解】，
由三点共线可得，且，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故选：D.
8．C
【详解】设点到平面的距离为，由题意可知，
因为底面是平行四边形，所以，
又因为为棱的中点，所以点到平面的距离为，
所以，
因为为棱的中点，所以 ，
因为，分别是所在棱的中点，所以且，
所以四边形为梯形，设，梯形的高为，
所以，，
，
，
故选：C
9．ABC
【详解】对于选项A，，所以A正确；
对于选项B，，
则，所以B正确；
对于选项C，，所以，C正确；
对于选项D，因为，
所以，
因为两向量夹角范围是，所以，所以D错误.
故选：ABC
10．ABC
【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，
依题意，解得，，解得，
又圆台的母线长为，
故圆台的高故A、B均正确；
圆台的侧面积为，
所以圆台的表面积为，故C正确；
圆台的体积为，故D错误.
故选：ABC.
11．ACD
【详解】选项A：中，若，
即，所以由正弦定理得，
又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A说法正确；
选项B：中，若，则由正弦定理得，解得，
所以或，所以或，的面积或，B说法错误；
选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，
又，所以，则，
又因为在单调递增，所以，C说法正确；
选项D：如图所示，
若有两解，则，解得，D说法正确；
故选：ACD
12．
【详解】已知直观图是边长为的正三角形，
所以的面积直.
所以的面积为.
故答案为：
13．
【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，
且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球，
又该长方体的外接球半径为，
则球的体积是.
故答案为：
14．
【详解】因为，所以.
设，已知在边上运动，，则. 且，，
所以，.
所以，对称轴为，
当时，取得最小值为.
故答案为：
15．(1)5i
(2)
【详解】（1）.
（2），
因为，所以，所以，故.
16．(1)，
(2)
【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为，
则，解得，
所以，，则，
故.
（2）由（1）可得，且，
因为与所成的角是锐角，则，解得，
且向量与不共线，则，即，
因此，实数的取值范围是.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
则，
得到，
因为，所以，
化简得，而，则解得.
（2）由正弦定理得，则，
因为为锐角，所以，，
解得，结合可得，
得到，则，故.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，
在直角梯形中，，，过点作于点，
则四边形和四边形为矩形，，如图所示，
在中，由得，，
，
所以，，
因为旋转体的表面积，
所以．
（2）因为旋转体的体积，
所以旋转体的体积．
（3）设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上，
设球切于点，连接，
则，，
因为，所以，
在中，，解得，
所以圆锥的内切球体积．

19．(1)，
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，，
所以，.
（2）因为，
所以，
在中，由余弦定理易得，
因为，所以，
当，即时，
取最大值取最大值，
此时，
，
故当时，取最大值.

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