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上师大附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．点________正切函数，图像的对称中心．（填写“是”或“不是”）
2．设非零向量，，若，则实数、、、满足________．
3．若函数的最小正周期是，则________．
4．若，，则在方向上的投影向量是________．（用坐标表示）
5．函数的单调增区间是________．
6．若非零向量、满足，，，则________．
7．边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于________．
8．若、、是两两不共线的非零向量，则下列命题中真命题是________．（填写序号）
①若，则；②若，则；
③若，则．
9．设、，若，则的最大值等于________．
10．题目“已知圆上有、两点，且________，求的值．”的横线处缺少条件．下列说法正确的是________．（填写序号）
①在横线处补上条件“，，”后，题目可以求解；
②在横线处补上条件“，”后，题目可以求解；
③在横线处补上条件“”后，题目可以求解．
11．若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则________．
12．设，，若函数在内恰有6个零点，则的取值范围是________．
二、选择题（本大题共4题．第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分．）
13．将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（ ）的图像．
A． B．
C． D．
14．“”是“”成立的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
15．在扇形中，，，若动点在弧上。满足：，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
16．函数，的图像（随着的增大）（ ）．
A．先上升后下降 B．先下降后上升 C．先上升后下降再上升 D．先下降后上升再下降
三、解答题（本大题共5题．第17-19题每题14分，第20、21题每题18分，共78分．）
17．（1）在中，已知，求证：；
（2）在中，已知，求证：．
18．在中，，点满足：．
（1）若，求与的值；
（2）若，求角的值．
19．某兴趣小组要测量电视塔的高度（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆的高度，仰角，（、、三点共线）．
（1）该小组已测得一组，的值，算出了，，请据此算出的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125m，试问为多少时，最大．
20．已知函数，，．
（1）若对于任意的，等式总是成立，求、的值；
（2）若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由；
（3）若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围．
21．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，，函数，的“相伴向量”为．
记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
（1）设，若的值域为，求证：其“相伴向量”为单位向量；
（2）设，若，求其“相伴向量”的模的取值范围；
（3）设，，若的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.是; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.②③; 9.; 10.②； 11. 12.
二、选择题
13.D 14.A 15.A 16.A
三．解答题
17.（1）证明略 （2）证明略
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．已知函数，，．
（1）若对于任意的，等式总是成立，求、的值；
（2）若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由；
（3）若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）将右边表达式展开：
，与左边对比，
利用和角公式：
（2）偶函数条件：，即
展开得：
对比系数得，解得，此时
当，故
要求，即：解得。
（3）最大值条件：，故，
分析右边表达式：，其取值范围为
左边表达式：.
要求，即对所有成立.
分析的最大值：
当,
需保证在内恒成立，解得.
21．（1）略 （2） （3）

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