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2025年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷
数学试卷
一、选择题。
集合，，则=（）
A.{1,2,3}
B.{2,3}
C.{3}
D.
2.已知复数z满足，则=（）
A.
B.
C.4
D.8
3.双曲线的离心率为（）
A.
B.
C.
D.
4.为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（）
A.横坐标变成原来的倍，纵坐标不变
B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C.纵坐标变成原来的倍，横坐标不变
D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
5.已知是公差不为的等差数列，，若成等比数列，则=（）
A.-20
B.-18
C.16
D.18
6.已知a>0，b>0，则（）
A.
B.
C.
D.
7.已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意，存在，使得”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（）
A.8
B.6
C.4
D.3
9.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（）
A.
B.
C.
D.
10.已知平面直角坐标系xOy中，，，设C(3,4)，则的取值范围是（）
A.[6,14]
B.[6,12]
C.[8,14]
D.[8,12]
二、填空题。
11.已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则p=.
12.已知，则=；=.
13.已知，且，，写出满足条件的一组=_.
14.某科技兴趣小组使用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，，若AB=BC=8，AF=CD=4，RA=RF=TC=TD=，则该多面体的体积为_.
15.关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有.
①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；
③使得f(x)+f(-x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；
④使得f(x)-f(-x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.
三、解答题。
16.在中，，.
(1)求c；
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC的高.
17.四棱锥中，为等腰直角三角形，，，E为BC的中点.
(1)F为PD的中点，G为PE的中点，证明:；
(2)若，PA=PC，求AB与面PCD所成角的正弦值.
18.有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，每位同学是否答对相互独立，用频率估计概率.
(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率；
(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及的数学期望；
(3)若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为，乙校学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）.
19.已知椭圆E:的离心率为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆方程；
(2)设O为原点，为椭圆上一点，直线和y=-2分别相交于A、B两点，设的面积分别为，比较的大小.
20.函数f(x)定义域为，且f(0)=0，，f(x)在A(a,f(a))
处的切线为.
(1)求的最大值；
(2)证明:当，除切点A外，y=f(x)均在上方；
(3)当时，直线过点A且与垂直，、与x轴的交点横坐标分别为，求的取值范围．
21.A={1,2,3,4,5,6,7,8}，，从中选出构成一
列:.相邻两项满足:或
，称为K列.
(1)若K列的第一项为(3,3)，求第二项；
(2)若为K列，且满足i为奇数时，；i为偶数时，；判断:(3,2)与(4,4)能否同时在中，并说明；
(3)证明:M中所有元素都不构成K列.
参考答案
D
B
B
A
C
C
A
C
B
D
6
①1
②15
，答案不唯一。
60
②③
(1)c=6
(2)选②,BC边上的高为；选③，BC边上的高为.
解析：（1）证明：取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN
∵△ACD与△ABC为等腰直角三角形∠ADC=90 ，∠BAC=90
不妨设AD=CD=2，∴AC=AB=
∴BC=4，∵E、F分别为BC、PD的中点∴FN=AD=1，BE=2，
∴GM=1
∵∠DAC=45 ，∠ACB=45
∴AD∥BC，
∴FN∥GM
∴四边形FGMN为平行四边形
∴FG∥MN
∵FG面PAB，MN 面PAB，∴FG∥面PAB
（2）∵PA⊥面ABCD，∴以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD=CD=2，则A(0,0,0)，B(0,,0)，C(,0,0)D(, ,0)，P(0,0,)
设面PCD的一个法向量为
解析：本题考查了概率,数学期望与事件之间的关系.考查了加权平均数问题.
(1)甲校随机取100人,其中有80人答对.用频率估计概率,则从甲校随机抽取1人,这个人答对的概率为事件A,
(2)由(1)可知,乙校中随机抽取1人,这个人答对题目的概率为事件B,
从甲乙两校各随机抽取1人,恰有1人做对的概率
的可能取值为0,1,2
的分布列为:
(3)由题意可知.
解得
解得
解析：本题考查了椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，涉及到三角形的面积公式等知识
(1)由题可知，解得
椭圆方程为
(2)
直线与直线和分别交于，两点，可得
，
设，
在椭圆上，
，
，，
，即
解析：本题考查了利用导数研究函数的最值，导数的几何意义以及证明函数不等式
(1)设
令
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取得唯一极大值，即为最大值
即的最大值为
(2)设的斜率为，则
，即
设
令，，
由(1)知，当时，单调递增.
，当时，单调递增，
，在单调递减.
当时，，，单调递增
，，
在恒成立，当时取等号
当时，除A外，均在上方。
(3)与垂直，的斜率为，的斜率为
，
，
令，，
，
令，，
设
由(1)知，，
在单调递减
时，，
综上所述，原式的取值范围为
解析：本题考查了数列的新定义，考查了归纳推理能力.
(1)由题意，可得或
若K列的第一项为(3,3)，则第二项为(6,7)或(7,6)
(2)设，
或，
或
即与奇偶轮换
即与奇偶性不同，与奇偶性相同.
若，均在中，
由，知，，均为偶性，与奇偶性相同，
而，奇偶性不同，矛盾，
故(3,2)，(4,4)不能同时在中.
(3)由题知，M为点集，由(2)知，设，，
则，其中共有个点，
而，因为6由2来，3由7来,
横、纵坐标不能同时相差4，有12个点，
即对于16个，有12个与之相对应，矛盾.
综上，M中所有元素都无法构成K列.

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