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用二元一次方程组解决问题 期末复习
1．某景区纪念品商店计划购进甲、乙两种纪念品．若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元．求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元．
2．某公司计划用两种车型运输一批材料，已知用2辆A型车和1辆B型车装满材料一次可运输11吨；用1辆A型车和2辆B型车装满材料一次可运输13吨，该公司现有材料29吨，计划租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满材料一次可分别运多吨？
(2)请你帮这个公司设计租车方案，若A型车每辆需租金100元，B型车租金每次150元，请选择最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
3．欧欧将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”一次性出售，嘉嘉和淇淇分别给出价格：
根据对话内容，求欧欧制作的竹篮和陶罐数量各是多少．
4．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：五只雀，六只燕共重两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，求每只雀、燕的重量各是多少两？
5．为了在即将到来的体育中考中取得好成绩，某校准备在体育中考前将学校九年级的430名学生送到体育馆进行一次模拟考试，经学校和客车公司联系了解到：2辆大型客车和1辆中型客车可载客130人，1辆大型客车和3辆中型客车可载客140人．若要将这些学生一次性全部送到体育馆，且恰好坐满．根据以上信息，回答下面问题：
(1)每辆大型客车和中型客车各载多少人？
(2)该校共有多少种租车方案？
(3)若每辆大型客车需租金1000元，每辆中型客车需租金800元，请你为该校提供一个最省钱的租车建议，并求出最少租车费用是多少？
6．周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？
7．问题情境：
目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式，越来越受到大众的欢迎．而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废．
问题解决：
问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000公里，后轮也可以使用4000公里，这对轮胎行驶的里程数最大值是______．
问题二：由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大．若前轮可以使用5000公里，后轮可以使用3000公里，行驶的里程数为多少公里时交换前后轮胎？这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？
8．周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米．
(1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？
(2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
9．南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？
清淤机 清淤船 时间
方案一 1台 2台 8天
方案二 2台 1台 7天
10．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n．
(1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
(2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？
11．算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数．
12．寒假期间，某校教师带领学生前去教育基地研学，入住宾馆收费标准如下表．
普通间（元/人/天）
三人间 50
双人间 70
单人间 100
宾馆规定：未成年人团体入住一律五折优惠，成人不优惠．
已知此次研学共教师1人，学生100人，其中，教师选择单人间，学生选择三人间和双人，并且每个客房都正好住满．
(1)若一天的住宿费为3000元，求选择三人间、双人间客房的间数；
(2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费用元，写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
(3)小明是个聪明的孩子，他认为如果合理分配住宿方式，还可以更省钱，你认为正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你求出一天住宿的最少费用．
13．小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为．
(1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)．
方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根；
方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根；
方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根．
(2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？
(3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由．
14．刀鱼馄饨是靖江特色美食，被誉为“长江第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某饭店推出两种型号的刀鱼馄饨礼盒，上午售出礼盒个、礼盒个，收入元，下午售出礼盒个、礼盒个，收入元；
(1)两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？
(2)清明假期，小张计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（都需要购买），预算为元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案．
15．学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案：
(1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长；
(2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积．
《用二元一次方程组解决问题 期末复习2024-2025学年苏科版七年级数学下册》参考答案
1．每件甲种纪念品的进价是35元，每件乙种纪念品的进价是50元
【分析】根据题目中给出的两种购进甲、乙纪念品的花费情况，设出甲、乙纪念品的进价，列出二元一次方程组，通过解方程组得出进价．本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据等量关系列方程组、解方程组是解题的关键．
【详解】解：设每件甲种纪念品的进价是元，每件乙种纪念品的进价是元，根据题意，得
解得
答：每件甲种纪念品的进价是35元，每件乙种纪念品的进价是50元．
2．(1)1辆A型车和1辆B型车都装满材料一次可分别运3，5吨
(2)方案：租用A型车8辆，B型车1辆；租用A型车3辆，B型车4辆；最省钱的方案为租用A型车3辆，B型车4辆，最少费用为900元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方案问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设1辆A型车和1辆B型车都装满材料一次可分别运吨，再列出方程组，然后解得，即可作答．
（2）先理解题意得，因为都是正整数，故或，再算出每个方案的费用，即可作答．
【详解】（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满材料一次可分别运吨，
依题意，得
解得，
∴1辆A型车和1辆B型车都装满材料一次可分别运3，5吨．
（2）解：∵该公司现有材料29吨，计划租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满
∴，
∵都是自然数，
∴或
即方案分别是租用A型车8辆，B型车1辆或租用A型车3辆，B型车4辆
当租用A型车8辆，B型车1辆，则
即费用为950元，
当租用A型车3辆，B型车4辆，则
即费用900元，
∵
∴最省钱的方案为租用A型车3辆，B型车4辆，最少费用为900元．
3．欧欧制作竹篮5个，陶罐4个
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设欧欧制作竹篮x个，陶罐y个，根据嘉嘉和淇淇的说法建立方程组求解即可．
【详解】解：设欧欧制作竹篮x个，陶罐y个，
根据题意，得
解得
答：欧欧制作竹篮5个，陶罐4个．
4．雀每只重两，燕每只重两
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系正确列式求解是关键．
设雀每只重两，燕每只重两，由此列式求解即可．
【详解】解：设雀每只重两，燕每只重两，
∴，
解得，，
∴雀每只重两，燕每只重两．
5．(1)每辆大型客车载50人，每辆中型客车载30人
(2)共有3种租车方案
(3)建议租8辆大型客车，1辆中型客车，最少租车费用为8800元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．
（1）设每辆大型客车载x人，每辆中型客车载y人，根据“2辆大型客车和1辆中型客车可载客130人，1辆大型客车和3辆中型客车可载客140人”，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设租a辆大型客车，b辆中型客车，根据总人数为430名学生，若要将这些学生一次性全部送到体育馆，且恰好坐满，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程得出整数解即可；
（3）分别计算出各租车方案的费用，进行比较即可．
【详解】（1）解：设每辆大型客车载x人，每辆中型客车载y人，
根据题意，得，
解这个方程组，得，
答：每辆大型客车载50人，每辆中型客车载30人；
（2）解：设租a辆大型客车，b辆中型客车．
根据题意，得，
∴，
∴，
∵a、b均为非负整数，
∴该方程组的非负整数解为或或，
答：共有3种租车方案；
（3）解：有以下三种方案：
①当、时，（元），
②当、时，（元），
③当、时，（元），
∵，
∴方案③最划算．
答：建议租8辆大型客车，1辆中型客车，最少租车费用为8800元．
6．小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，根据题意可得，再解方程组即可．
【详解】解：设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，则
，
解得，
答：小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒．
7．问题一：4000公里；问题二：行驶的里程数为 1875 公里时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750公里
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，确定相等关系是关键；
问题一：由前后轮没有压力差可得答案；
问题二：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解，再设行驶的里程数为公里时互换前后轮胎并进一步解答即可．
【详解】解：问题一：由题意可得：这对轮胎行驶的里程数最大值4000公里；
问题二：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，
根据题意，得；
，得，
则，
设行驶的里程数为公里时互换前后轮胎，则，
解得，
答：行驶的里程数为 1875 公里时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750公里．
8．(1)小明的速度为，爸爸的速度为
(2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有
【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决．
（1）设小明的速度为，爸爸的速度为，根据题意列二元一次方程组即可；
（2）先求出爸爸跑到半圈所用时间为，再求此时小明所跑路程为，小明接下来追上爸爸所需时间，相比较即可．
【详解】（1）解：（1）设小明的速度为，爸爸的速度为，
则依题意得：，于是，
，得，即有：，
，得，即有：，
答：小明的速度为，爸爸的速度为．
（2）（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有．
理由：爸爸跑到半圈所用时间为，
此时小明所跑路程为，
爸爸和小明的距离，
因此小明接下来追上爸爸所需时间，
追上时，小明的爸爸总路程，
因此小明能在400米终点前追上爸爸．
追上当时距离终点还有．
9．能按要求完成任务
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可．
【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为．
根据题意，得
解得，
答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务．
10．(1)时间上考虑选择甲公司
(2)从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
（1）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可；
（2）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即可．
【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n
依题意得，，
解得：，
∵，
∴甲公司的效率高，
∴从时间上考虑选择甲公司．
（2）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元，
依题意得，，
解得：，
∴甲公司共需万元，乙公司共需万元，
∵，
∴从节约开支上考虑选择乙公司．
11．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设个位数字为，十位数字为，由题意，得：
，解得：，
∴这个三位数为：．
12．(1)选择三人间20间，选择两人间20间
(2)，且x是6的倍数，
(3)2640
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确立即题意列出方程组和函数关系式是解题的关键．
（1）设选择三人间x间，选择两人间y间，根据共有100名学生且费用为3000元列出方程组求解即可；
（2）设三人间共住了人，则三人间有间，双人间有间，据此分别求出双人间和三人间的费用，二者求和再加上一个单人间的费用即可求出对应的函数关系式，再求出自变量的取值范围即可；
（3）根据（2）所求利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设选择三人间x间，选择两人间y间，
由题意得，，
解得，
答：选择三人间20间，选择两人间20间；
（2）解：由题意得，
，
∵每个客房都正好住满，
∴是正整数，且也是正整数，
∴必须是2的倍数，
∴且x是6的倍数，
（3）解：由（2）可知，
∵，
∴y随x增大而减小，
∴当x最大时，y有最小值，
∴当时，y有最小值，最小值为，
答：一天的最小费用为2640元．
13．(1)；；；
(2)方法2剪28根，方法3剪4根；
(3)方法1剪14根，方法3剪18根．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题目中所给的信息合理列出方程是解题的关键．
（1）由总数每份数份数解答即可；
（2）设用方法2剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可；
（3）设用方法1剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可．
【详解】（1）解：方法1：，最多可剪根；
方法2：，最多可剪根；
方法3：，最多可剪根；
故答案为：；；；
（2）解：设用方法2剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料，
∴，
解得：；
∴用方法2剪28根，方法3剪4根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料；
（3）解：设用方法1剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料，
∴，
解得：；
∴用方法1剪14根，方法3剪18根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料；
14．(1)每盒元 ，每盒元
(2)礼盒盒、礼盒盒或礼盒盒、礼盒盒
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键．
（1）设每盒元 ，每盒元，由此列二元一次方程组求解即可；
（2）设礼盒盒、礼盒盒，由此列二元一次方程，分别代值计算，结合题意即可求解．
【详解】（1）解：设每盒元 ，每盒元，
∴，
解得，，
∴每盒元 ，每盒元；
（2）解：设礼盒盒、礼盒盒，
∴，整理得，，
∴，
∵是正整数，
∴是的倍数，，即，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
综上所述，共两种方案：礼盒盒、礼盒盒或礼盒盒、礼盒盒．
15．(1)大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为；
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程组和方程是解题的关键．
（1）设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为，得到，解得，即可得到答案；
（2）设重叠部分小正方形的边长为，得到，解得，求出阴影部分的面积为．
【详解】（1）解：设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为，
根据题意，得
解得，
大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为；
（2）解：设重叠部分小正方形的边长为，
根据题意，得．
解得，
阴影部分的面积为．

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