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高三模拟试题(1)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（ ）
A． B． C． D．
3．商品价格与销量之间往往存在某种关系，以下是某商品价格x（单位：元）与销量y（单位：万件）的调研数据：
商品价格x/（元） 10 15 20 25 30
销量y/（万件） 54 46 40 36 32
则下面四个回归方程中最适宜作为销量y与价格x的回归方程的是（ ）（参考数据，，）
A． B． C． D．
4．若，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则当时，恰有3个使函数最得大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，（ ）
A． B．3 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下面说法正确的是（ ）
A．若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4
B．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
C．已知是随机变量，则
D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
10．如图，已知⊙O 内接四边形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知定义域为上的函数满足，且，记，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .（用数字作答）
13．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，且，则 ．
14．已知非空集合，设集合．分别用表示集合A、S、T中元素的个数，则下列说法正确的是 ．
①若，则； ②若，则；
③若，则可能为18； ④若，则不可能为19．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，过点B作，D为垂足，求BD的最大值．
16．已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
(1)证明：平面平面；
(2)若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.
17．形如的方程叫不定方程，其中是方程中未知数的系数，是常数，则称元有序数组为不定方程的解.给出不定方程，对于方程的一组正整数解，当时，若，则称正整数解为方程的极值的一组解.
(1)方程中有多少组极值的解；
(2)求的最小值；
(3)在的前提下，求时方程的极值的概率.
18．已知函数.
(1)当时，若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，设为的从小到大的第个极值点.证明：数列是等比数列；
(3)设函数在区间内的零点依次为，.求证：.
19．如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合.
(1)当时，求的值；
(2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程；
(3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值.五月模拟试题(1)
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】集合，则.故选：C.
2．若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，则z在复平面内对应的点为.故选：D.
3．商品价格与销量之间往往存在某种关系，以下是某商品价格x（单位：元）与销量y（单位：万件）的调研数据：
商品价格x/（元） 10 15 20 25 30
销量y/（万件） 54 46 40 36 32
则下面四个回归方程中最适宜作为销量y与价格x的回归方程的是（ ）（参考数据，，）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，分别代入，可得，与实际值相差较大，不合题意 ，故A错误；
对于B，分别代入，可得，第五组数据与实际值相差较大，不合题意 ，故B错误；
对于C，分别代入，求得的估计值与实际值完全相同，应采用，故C正确；
对于D，分别代入，可得，
，得，数据与实际值相差较大，不合题意 ，故D错误.
故选：C.
4．若，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若，则，有；反之，取，，有，而不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B
5．如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】

设左焦点为，则，，，，
在中用勾股定理，化简得，
所以所以，所以.故选:C.
6．已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，原不等式可化为：，代入，
化简可得：，令，得到，
再令，可得：，
由对勾函数的单调性，可知在上单调递减，
所以当时，取得最小值，
所以的最大值为，也即的最大值为，
所以的最大值为，故选：A
7．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则当时，恰有3个使函数最得大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，可得圆周的半径，
又旋转一周用时6秒，所以周期，从而，
所以，又点时，在函数图像上，
所以，且，所以所以，
当时，，
由题意知，函数在恰有3个最大值，
所以，解得，即的取值范围是.
故选：D.
8．在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【详解】由于且二面角的大小为，故为二面角的平面角，故，
由于平面，故平面，设，则，
在中，由余弦定理可得
，
则的外接圆直径，
故外接球的半径
当时，球的半径取得最小值,此时三棱锥的外接球体积最小，故.故选：A
二、多选题
9．下面说法正确的是（ ）
A．若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4
B．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
C．已知是随机变量，则
D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
【答案】BC
【详解】A：由数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差，错；
B：对于等差数列，
若正整数，则，
若正整数，则，
又等差数列的平均数为，
结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数也为，对；
C：由于一组数据的方差，且，则，对；
D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，错.
故选：BC
10．如图，已知⊙O 内接四边形中，，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，在中，由可得;
由余弦定理可得，即；
整理可得，解得或（舍），即A正确；
对于B，由圆内接四边形的性质可知，
所以，
在中，由余弦定理可得，即，
整理可得，解得或（舍）；
易知，所以，即B正确；
对于C，在中，易知，
所以，即C错误；
对于D，易知，所以；
由C可知；
；
所以，即D正确.
故选：ABD
11．已知定义域为上的函数满足，且，记，则下列选项中正确的有（ ）
A．
B．当时，
C．当时，
D．
【答案】ABD
【详解】令，则 ，
再令，则，
即为以1为首项，公差为1的等差数列，则.
对于A，因，则
，故A正确；
对于B，时，，
因，则，故B正确；
对于C，当时，，
因，则，故C错误；
对于D，由题，下证，即证，
由基本不等式这显然成立，则，对于任意成立，当且仅当取等号.
故
，注意到，
则，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
12．在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .（用数字作答）
【答案】
【详解】由于的展开式只有第项的二项式系数最大，则展开式中共有项，故，解得，
所以，的展开式通项为，
令，解得，因此所求即为.故答案为：.
13．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，且，则 ．
【答案】
【详解】如图所示，延长BF交抛物线C于点，由题意，，
由抛物线的对称性可得，，又因为，
，
所以，解得．
故答案为：.
14．已知非空集合，设集合．分别用表示集合A、S、T中元素的个数，则下列说法正确的是 ．
①若，则； ②若，则；
③若，则可能为18； ④若，则不可能为19．
【答案】①②③
【详解】当时，依题意，从集合A中任取两个元素可得一个和、一个差，
因此，，则有，②正确；
令，且，于是得6个差：，
显然，当时，，此时集合T中只有3个元素，
因此，此时6个和满足，而，即，
对于是满足的任意4个实数，必有，
显然，当时，集合S中只有5个元素，因此，
所以，①正确；
当时，同理有，，则，
取，2，3，5，时，，4，5，6，7，8，11，12，13，，，2，3，4，5，7，8，，
此时，即③正确；
取，2，4，6，时，，5，6，7，8，10，17，18，20，，，2，3，4，5，10，12，14，，
此时，即④不正确．
故答案为：①②③
四、解答题
15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，过点B作，D为垂足，求BD的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理，得，
所以，
又，则，
化简可得，又，，
所以，所以，又，所以.
（2）设，由三角形的面积公式可得，解得，
又，当且仅当时，等号成立，
又，所以，当且仅当时，等号成立，
故，即的最大值为.
16．已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
(1)证明：平面平面；
(2)若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.
【详解】（1）四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，
设的中点为，连接，.
由题意得，，.
因为在中，，为的中点，所以，
因为在中，，，，则，
所以，因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）由（1）知，，，，平面，平面，
平面，所以就是直线与平面所成的角，且，
所以当最短时，即是的中点时，最大，
由平面，平面，所以，，
于是以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，得，
可取，取平面的法向量为，所以，
由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
17．形如的方程叫不定方程，其中是方程中未知数的系数，是常数，则称元有序数组为不定方程的解.给出不定方程，对于方程的一组正整数解，当时，若，则称正整数解为方程的极值的一组解.
(1)方程中有多少组极值的解；
(2)求的最小值；
(3)在的前提下，求时方程的极值的概率.
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1），
是极值时，中有三个337和三个338，即有组极值的解.
（2），的方差.为常数，当方差最小时最小.
当时，不是整数舍去，
当时，即是方程的1—极值的一组解时，方差最小，即最小，
此时.
（3）考虑是方程的1-极值的一组解时的一种情况，由（1）知有20组，
若化为2-极值，只需将个位中的一个7减去1，加到另一个7上，或是将个位中的一个8减去一个8上，即个位化为或是，
则方程的2.-极值的个数为.
3-极值是1-极值中的个个位7减去1，加到个8上；
或是一个7减去2，另两个7各加1；
或是两个8各减1加到另一个8上，
其个位形式为或是或是
或是或是.
其个数为，
在的前提下，时方程的极值的概率.
18．已知函数.
(1)当时，若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，设为的从小到大的第个极值点.证明：数列是等比数列；
(3)设函数在区间内的零点依次为，.求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【详解】（1）当时，恒成立，
当时，，故恒成立，
令，则，
所以当时，单调递减，则，故.
（2），
令，由得，即，
对，若，则；若，则，
因此，在区间与上符号总是相反，
于是，当时，取得极值，所以，
此时，，易知，
而是常数，
故数列是首项为，公比为的等比数列.
（3）由，则，
因为，所以，
所以在区间上单调递减，
又，
，
当时，存在唯一，使得，
记，则，由（1）知，时，在上恒成立，故，
即，整理得，
要证，等价于证，
只需证，
设，则，
所以单调递增，则，原命题得证.
19．如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合.
(1)当时，求的值；
(2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程；
(3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)最大值为.
【详解】（1）
如图，已知当时，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点.
将代入椭圆方程得，即，解得.
把代入双曲线方程，整理得，设，则，
即，解得或（舍去），所以，即.
（2）当时，椭圆，双曲线.
联立，解方程组求交点的坐标.
由得，由得，
两式相减消去得，代入双曲线方程得，
因为点在第一象限，所以.设.，
由得，即.故，
当直线l斜率不存在时，直线l方程为，
此时，则，成立.
当直线斜率存在时，由题知交点必定在直线两侧，即左侧为与椭圆的交点，右侧为直与双曲线的交点，易知当交点在位于第一象限椭圆上曲线段之间时，，此时，故不可能，舍去；
因为双曲线的渐近线方程为,
故直线与双曲线没有横坐标大于2的交点，
即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去；
同理：当直线与椭圆交于轴下方时，也舍去，
综上：直线l方程为，
（3）
如图,已知，由（1）知椭圆，双曲线.
直线过点且斜率为，则直线的方程为.
设，由，
根据三角形面积公式，
则，
即.
，
因为双曲线的渐近线方程为，而，
故直线与双曲线右支无交点，
故均为直线与椭圆的交点，
联立，
则，
则，
，
令，
则，
在时成立，故单调递增且，所以递减，
所以当时取得最大值，
又
所以的最大值为.

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