资源简介

高考冲刺数学模拟题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
2.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，又，则，所以，
所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.
3.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数（）的图像不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4.已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，
可得，设，
由，
可得，即，
则
，当时，的最小值为．故选D．
5. 已知函数，集合中恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ）D
A． B． C． D．
【详解】因为函数，所以，
因为集合含有个元素，所以时在上只有三解，即，
解得：或，故或，
要使其落在上，故只有、、，其他值均不在内，
故，解得，故，故选：D.
6.函数有极小值，且极小值为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】由 ，得．
因为有极小值点，记为，则，即．
又，所以 ，即 ，所以．
设 ，当时， ，
所以 在上单调递增，又，
所以的最小值为．故选B．
7.已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，可得，
当时，恒成立，所以在上单调递减，
所以，即，可得，，
所以，，所以，，
即，.所以.
8. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将△MF1F2沿MN折成直二面角，若使折叠后点F1，F2距离最小，则为（ ）B
A. B. C. D.
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）ABD
A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称
C. 函数为周期函数，且最小正周期为 D. 函数的导函数的最大值为4
10.设是一次随机试验中的两个事件，且，则( )
A. 相互独立 B. C. D.
【答案】ABD
【解答】解：由，求得
，，
事件，互斥，且，
所以即，可得，故 A正确
则，故B正确
由条件概率公式可知：由条件概率公式可知：，故C错误
即，故D正确．
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点（点位于第一象限），与的准线交于点，为线段的中点，准线与轴的交点为，则（ ）
A．直的斜率为 B．
C． D．直线与的倾斜角互补
【答案】ABD
【解析】易知抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
若轴，则直线与抛物线的准线平行，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，即点，
因为点为线段的中点，则，则，可得，
因为点在抛物线上，则，可得，
所以，直线的方程为，即，
故直线的斜率为，A对；
联立，解得或，即点、，
易知点，所以，，，则，B对；
易知点，，，
故，C错；
，，则，
所以，直线与的倾斜角互补，D对.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，，则__________．4
13.已知方程有3个实数根，则实数a的取值范围是：______．
14. 已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为__________．
四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；(2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
【答案】(1)
【详解】（1）因为，
所以，由正弦定理得，
则，因为，所以；
（2）延长交于，延长交于，
设，，所以，
在中，
在中，，所以，
在中，同理可得，
所以
，
因为，所以，所以，所以，
即的取值范围为.
16．如图所示正四棱锥.
(1)求证：
(2)若沿侧棱将此四棱锥剪开，四个侧面向外旋转，PAD旋转至旋转至如图所示，其中二面角与二面角相同，当时，求平面与所成的锐二面角的余弦值.
16．（1）证明：连接，交于点，连接，面，平面，，
又，，平面，所以平面，又平面，．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，设点E为DA中点，则，设是中点，则，又，
所以是二面角的平面角，即，，同理,
解得：，，
设为平面的法向量，则 ，， ，
，，取，则，
，，
设为平面的法向量，则 ， ，，
，，取，则，，
，与平面所成的锐二面角的余弦值为．
17.已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.
（1）求C的方程；
（2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.
17.【解析】【小问1详解】由椭圆的离心率为得：，即有，
由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：，联立解得，
所以C的方程是.
【小问2详解】为定值，且，
因为，则，
因此，而，有，
于是平分，直线的斜率互为相反数，即，
设，
由得，，即有，
而，则，
即
于是
，
化简得：，
且又因为在椭圆上，即，即，，
从而，，
又因为不在直线上，则有，即，
所以为定值，且.
18．（本小题满分17分）在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为．
（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则．
注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率）
0 1 2 3
①完成下表；
②在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值．
（2）把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．
具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．
已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
18．（1）因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且，所以的值为或；
①当时，，，
当时，，，
表格如下
0 1 2 3
②由上表可知．
当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大．
所以；
（2）由，
则，
令，
即，
故，即当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即当时，取最大值，故，
因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的．
19. （本题满分17分）已知函数.
(1)判断函数在区间上极值点的个数并证明；
(2)函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.
①证明：；
②试问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
19. 解：（1），设，又...........1分
当时，在上单调递减，
，在上无零点................................................................2分
当时，在上单调递增，
，在上有唯一零点.............................3分
当时，在上单调递减，
，在上有唯一零点........................................4分
综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数在区间内恰有两个极值点..................................................................5分
（2）①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；
在有极大值点，即为，
同理可得，在有极小值点，…，在有极值点，
由得，，
，
.................................................8分
由函数在单调递增得，
，由在单调递减得........................................11分
②同理，，
由在上单调递减得，
，..............................................................................13分
当为偶数时，的相邻两项配对，每组和均为负值，
即..............15分
当为奇数时，的相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即，
综上，对一切成立，故不存在使得...................................17分高考冲刺数学模拟题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．集合，，则( )
A． B． C． D．
2.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
3.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数（）的图像不可能是（ ）
A． B． C． D．
4.已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
5. 已知函数，集合中恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.函数有极小值，且极小值为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将△MF1F2沿MN折成直二面角，若使折叠后点F1，F2距离最小，则为（ ）
A. B. C. D.
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称
C. 函数为周期函数，且最小正周期为 D. 函数的导函数的最大值为4
10.设是一次随机试验中的两个事件，且，则( )
A. 相互独立 B. C. D.
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点（点位于第一象限），与的准线交于点，为线段的中点，准线与轴的交点为，则（ ）
A．直的斜率为 B．
C． D．直线与的倾斜角互补
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，，则__________．
13.已知方程有3个实数根，则实数a的取值范围是：______．
14. 已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为__________．
四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；(2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
16．如图所示正四棱锥.
(1)求证：
(2)若沿侧棱将此四棱锥剪开，四个侧面向外旋转，PAD旋转至旋转至如图所示，其中二面角与二面角相同，当时，求平面与所成的锐二面角的余弦值.
17.已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.
（1）求C的方程；
（2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.
18．在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为．
（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则．
注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率）
0 1 2 3
①完成下表；
②在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值．
（2）把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．
具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．
已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
19.已知函数.
(1)判断函数在区间上极值点的个数并证明；
(2)函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.
①证明：；
②试问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

展开更多......

收起↑