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高三模拟试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故选：D.
2、已知集合，，则（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】集合，,
所以，
故选：C
3、定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，，
则，.
因为，所以，即在上恒成立.
所以函数在上单调递增.
且，所以不等式的解为：.
又，
所以.
故选：B
4、如图，圆柱的轴与一平面所成角为，该平面截圆柱侧面所得的图形为椭圆，此椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设圆柱底面圆的半径为R，则短轴长，所以，
圆柱的轴与一平面所成角为，
所以椭圆的长轴长为，
所以，
离心率为，
故选：D
5、已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，所以，
所以，
将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，
可得出函数为奇函数，
所以，，解得，A选项合乎题意.
故选：A.
6、下列结论不正确的是（ ）
A．（为正整数且）
B．满足方程的值可能为或
C．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法
D．把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有10种
【答案】C
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，由，可得或，
解得或，故B正确；
对于C，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的3人全排，然后将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，所以，共有排法，故C错误；
对于D，由隔板法可得有
种不同的方法，故D正确.
故选：C.
7、已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，
又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，

显然平面，于是平面，又平面，
因此平面平面，显然平面平面，
直线平面，则直线在平面内的射影为直线，
从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得，即，
显然是锐角，，
所以直线与平面所成的角的正切为.
故选：C
8.已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则（ ）
A.1 B.2 C.4 D.16
【答案】B
【详解】由，若对于任意的第项等于的第项，
则，则
所以，
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.信阳是中国十佳宜居城市之一，气候宜人，环境优美.如图是信阳市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最小正周期是
B．该函数的解析式是，
C．该函数图象的对称中心是
D．该函数图象的对称轴是直线
【答案】ABD
【详解】对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为，A选项正确；
对于B选项，由图象可得，解得，
，
图象经过点，
，
.
，，则，，
所以，函数解析式为，，B选项正确；
对于C选项，令，，可得，，
所以函数图象的对称中心为，C选项错误；
对于D选项，令，，可得，，
所以函数图象的对称轴是直线，故D选项正确.
故选：ABD.
10.设随机变量，且，则（ ）
A． B．
C．的方差为 D．若增大，则增大
【答案】BC
【详解】由结合正态曲线的对称性，可得，
则，故 A错误；
， 故B正确；
由题意可知，，则，故C正确；
越大，数据越分散，越小，故D错误.
故选：BC．
11.已知函数，则下列结论正确的是（）
A．当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1）
B．当且时，
C．，
D．若存在极值点，且，其中，则
【答案】ABD
【详解】对于A，当时，，
由，可得或，由，可得，
故函数在和上单调递增；在上单调递减．
则函数在处取得极大值，在处取得极小值，
若有三个零点，则，解得，故A正确；
对于B，当且时，，
因为，所以，
由A函数在上单调递减，故，故B正确；
对于C，因为
，故C错误；
对于D，由求导得，，
依题意，，可得①
由，可得，
由于，化简得②
将①代入②式，可化简得：，
即，因，故得，即D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，都是平面向量，，若，，，则取得最大值时， .
【答案】1
【详解】，设，.
已知，，
可得： ，，
所以，，则 .
已知，则： .即，化简可得，所以，
即，当且仅当或时等号成立，
，此时取得最大值.
当或时，.
根据向量模长公式可得.
13.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【详解】
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大
此时，,点M为三角形ABC的中心
中，有
14.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是 .
①函数有3个不动点；
②函数至多有两个不动点；
③若函数没有不动点，则方程无实根；
④设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是．
【答案】②③④
【详解】对于①，令，，，当且仅当时取等号，
则函数在上单调递减，而，即函数在上只有一个零点，
所以函数只有一个不动点，故①不正确；
对于②，因为二次函数至多有两个零点，则函数至多有两个不动点，故②正确；
对于③，由题意可得方程无实根，即无实根，则，
当时，二次函数的图象开口向上，则恒成立，即，恒有，
由，则，即，所以方程无实根；
当时，二次函数的图象开口向下，则恒成立，即，恒有，
由，则，即，所以方程无实根；
综上所述，方程无实根，故③正确；
对于④，由点在曲线上，则，又，即有，
易知函数在定义域内单调递增，若，则，显然与矛盾，
因此，当时，，即当时，，
对，，可得，
令，，由，而两个等号不能同时取到，
即当时，，则函数在上单调递增，有，
即，则，故④正确.
故答案为：②③④.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.伊丽莎白圈是小动物戴在颈上防止它们抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其可看作圆台的侧面围成的物体.某个伊丽莎白圈的母线长为3分米，所缺失的上、下底面的半径分别为2分米、4分米，（结果均用含的最简式表示）
(1)若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表而全部涂层（不含外侧表面），每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处的误差，则该伊丽莎白圈需要消耗多少克涂层材料？
(2)若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积.
【答案】(1)克
(2)（立方分米）
【详解】（1）由题意得，该伊丽莎白圈需要涂层的面积等价于圆台的侧面积，
圆台的侧面积（平方分米），
因为每平方分米需要消耗5克涂层材料，所以，
即该伊丽莎白圈需要消耗克涂层材料；
（2）该伊丽莎白圈的高为（分米），
则，
所以所形成的圆台的体积为（立方分米）.
16.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，，求B；
(2)若，求的面积
【答案】(1)或．
(2)2
【详解】（1）由正弦定理可知，
解得．
又因为，所以或．
代入均可满足，所以或．
（2）由，，均大于0，
所以A，B均为锐角，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
，故，又，所以只能是，即，
此时，即为等腰直角三角形，所以．
面积．
17.近年来国产芯片技术日趋成熟，其中有一项工艺称为“二次曝光技术”，即在同一块晶片上先进行一次曝光，清洗，然后再进行一次曝光.只有两次曝光都成功，该晶片方可成功制作成1块芯片.假设第一次曝光的成功率为，第二次曝光的成功率为，每次曝光过程相互独立.现要制作1块芯片，依次对块晶片进行曝光，操作要求如下：
①若对第块晶片进行第一次曝光失败，则不继续对该晶片进行第二次曝光，并认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；
②若对第块晶片进行第一次曝光成功，则继续对该晶片进行第二次曝光，若第二次曝光失败，则也认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；若第二次曝光成功，即成功制作出1块芯片，则不再对后续的晶片进行曝光；
③若对这块晶片都曝光完毕，无论是否成功制作出1块芯片，则停止制作.
(1)当时，求成功制作出至少1块芯片的概率；
(2)用这块晶片制作1块芯片，记随机变量为曝光的晶片个数，求的分布列和数学期望；
(3)若一块晶片第一次曝光失败，则记该芯片曝光1次；若一块晶片第一次曝光成功，无论第二次曝光成功还是失败，都记该芯片共曝光2次.在曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片的条件下，记随机变量为这块晶片曝光的总次数，求的数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）解：由题意得，用1块晶片制作，成功的概率为，失败的概率为，
当时，要成功制作出至少1块芯片，概率为.
（2）解：由题意，随机变量的可能取值为，
当时，可得其概率为，
当时，可得其概率为，
所以的分布列为
1 2 3
可得期望为
令，
则，
两式相减，可得，
所以.
（3）解：法一：记事件“曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片”，记事件“曝光的总次数为次”，可得，
对于前块晶片，每块晶片都至少曝光1次，第块晶片曝光2次，
另外，对于前块晶片，有几块晶片进行了第二次曝光，则总曝光次数就多几次，
并且第1到块晶片，无论曝光几次，每次曝光都是失败的，
而第块晶片的2次曝光都成功.若前块晶片中，
则有块晶片进行了第二次曝光，所以，
所以的可能取值为，
则，
.
所以的分布列为
所以
其中，
所以
法二：考虑前块晶片中任意某块的曝光情况，
由题意，这块晶片无论曝光几次，都是失败的，记这块晶片的曝光次数为随机变量，
记事件“这块晶片曝光失败”，事件“这块晶片的曝光次数为次”.
由第（1）小问可知.
所以，
故这块晶片曝光次数的数学期望为，
所以前块晶片曝光的总次数的数学期望为，
所以.
18.材料一：二次方程（不同时为）可以表示圆，椭圆，双曲线，抛物线等二次曲线，其中椭圆，双曲线，抛物线的曲线方程可以通过坐标旋转变换，平移变换得到相应曲线的标准方程．
材料二：在平面直角坐标系中，点绕原点按逆时针方向旋转角后，可得点．
根据上述材料回答以下问题：
(1)求曲线绕原点按逆时针方向旋转后的曲线方程；
(2)探索角满足什么条件时，方程（）对应的曲线经过旋转后所得曲线方程中的系数为；
(3)曲线，点为曲线上任意一点，过点且与曲线在点处切线垂直的直线分别交直线，直线于，两点，线段的中点为.当点运动时，记点的轨迹为曲线，判断曲线是什么曲线并给出相应说明.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)曲线的轨迹为去除顶点的双曲线，理由见解析.
【详解】（1）设绕着原点按逆时针旋转角后得到点，根据坐标旋转公式：
，即
当时，代入方程，则旋转后的曲线方程：
，即
（2）将代入方程：
将上述方程记为：
则，
当时，，即，
当时，满足.
（3）在方程中，根据上一问探究：
当时，不妨取．此时将曲线按逆时针旋转，
对应方程按照变换后得曲线即．
与此同时，直线，直线分别旋转至轴，轴的位置，
根据题意：任取曲线上一点，其中，
设曲线在处的切线方程为且，联立方程，
当时，，则过且垂直于切线的直线方程为，令，令，
则该直线与轴，轴交点分别为，
线段的中点，则，即，
代入，，得，
则当点在曲线上运动时，点的轨迹方程为：
所以曲线的轨迹为去除顶点的双曲线.
19.定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知.
（1）若，，求的值及的固着点；
（2）若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值；
（3）若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：.
【答案】（1），固着点
（2）
（3），证明见解析
【小问1详解】
由题得，所以，
因为，所以，解得，
所以，固着点.
【小问2详解】
由题得，则，
所以，因为是上的严格增函数，
所以在区间上恒成立，
由，得到，所以，
所以，因此的最大值是.
【小问3详解】
（方法一）由题得，，
所以，
因为，且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解，
记，则，所以在是严格减函数，
从而，又当时，，故的值域是，
所以，即，
记，则由上述可知是的严格减函数且，
，
因为，所以，所以 ①
又，
记，则，
因为，所以，所以，
所以是上的严格增函数，
故，从而 ②
由①②可知，，即，
又是的严格减函数，所以，故.
（方法二）
由题得，，所以，
因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解
求导得，
当时，，是上的严格减函数，
所以，所以方程（*）无解；
当时，
（ⅰ）当时，在恒成立，故是上的严格增函数，
所以，所以方程（*）无解；
（ⅱ）当时，如下表
- 0 +
严格减 极小值 严格增
可知在严格减，在严格增，
又，，当时，，
所以方程（*）在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围，
因为是的唯一解，所以，
又，令，
则，所以是上的严格减函数，
所以，即，
又当时，，所以，
又在上有唯一的零点，则，
综上，，此时.高三模拟试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2、已知集合，，则（ ）.
A． B．
C． D．
3、定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4、如图，圆柱的轴与一平面所成角为，该平面截圆柱侧面所得的图形为椭圆，此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5、已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
6、下列结论不正确的是（ ）
A．（为正整数且）
B．满足方程的值可能为或
C．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法
D．把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有10种
7、已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
8.已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则（ ）
A.1 B.2 C.4 D.16
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.信阳是中国十佳宜居城市之一，气候宜人，环境优美.如图是信阳市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最小正周期是 B．该函数的解析式是，
C．该函数图象的对称中心是 D．该函数图象的对称轴是直线
10.设随机变量，且，则（ ）
A． B．
C．的方差为 D．若增大，则增大
11.已知函数，则下列结论正确的是（）
A．当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1）
B．当且时，
C．，
D．若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，都是平面向量，，若，，，则取得最大值时， .
13.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 .
14.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是 .
①函数有3个不动点；
②函数至多有两个不动点；
③若函数没有不动点，则方程无实根；
④设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.伊丽莎白圈是小动物戴在颈上防止它们抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其可看作圆台的侧面围成的物体.某个伊丽莎白圈的母线长为3分米，所缺失的上、下底面的半径分别为2分米、4分米，（结果均用含的最简式表示）
(1)若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表而全部涂层（不含外侧表面），每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处的误差，则该伊丽莎白圈需要消耗多少克涂层材料？
(2)若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积.
16.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，，求B；
(2)若，求的面积
17.近年来国产芯片技术日趋成熟，其中有一项工艺称为“二次曝光技术”，即在同一块晶片上先进行一次曝光，清洗，然后再进行一次曝光.只有两次曝光都成功，该晶片方可成功制作成1块芯片.假设第一次曝光的成功率为，第二次曝光的成功率为，每次曝光过程相互独立.现要制作1块芯片，依次对块晶片进行曝光，操作要求如下：
①若对第块晶片进行第一次曝光失败，则不继续对该晶片进行第二次曝光，并认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；
②若对第块晶片进行第一次曝光成功，则继续对该晶片进行第二次曝光，若第二次曝光失败，则也认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；若第二次曝光成功，即成功制作出1块芯片，则不再对后续的晶片进行曝光；
③若对这块晶片都曝光完毕，无论是否成功制作出1块芯片，则停止制作.
(1)当时，求成功制作出至少1块芯片的概率；
(2)用这块晶片制作1块芯片，记随机变量为曝光的晶片个数，求的分布列和数学期望；
(3)若一块晶片第一次曝光失败，则记该芯片曝光1次；若一块晶片第一次曝光成功，无论第二次曝光成功还是失败，都记该芯片共曝光2次.在曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片的条件下，记随机变量为这块晶片曝光的总次数，求的数学期望.
18.材料一：二次方程（不同时为）可以表示圆，椭圆，双曲线，抛物线等二次曲线，其中椭圆，双曲线，抛物线的曲线方程可以通过坐标旋转变换，平移变换得到相应曲线的标准方程．
材料二：在平面直角坐标系中，点绕原点按逆时针方向旋转角后，可得点．
根据上述材料回答以下问题：
(1)求曲线绕原点按逆时针方向旋转后的曲线方程；
(2)探索角满足什么条件时，方程（）对应的曲线经过旋转后所得曲线方程中的系数为；
(3)曲线，点为曲线上任意一点，过点且与曲线在点处切线垂直的直线分别交直线，直线于，两点，线段的中点为.当点运动时，记点的轨迹为曲线，判断曲线是什么曲线并给出相应说明.
19.定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知.
（1）若，，求的值及的固着点；
（2）若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值；
（3）若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：.

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