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2025届湖北省孝感市八校三模联考
高三数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a>b,则下列不等式中一定成立的是 (D)
A. B.a2>b2
C.ln a>ln b D.2a-b>1
解析　当a=1,b=-1时,,a2=b2,ln b无意义,故A,B,C错误;对于D,由a>b,得a-b>0,则2a-b>1,故正确。故选D。
2.已知x∈,sin4x+cos4x=,则sin x-cos x= (B)
A. B.-
C. D.-
解析　因为sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=,所以sin2xcos2x=,又x∈,所以sin x<0,cos x>0,sin x-cos x<0,所以sin xcos x=-,sin x-cos x=-。故选B。
3.已知复数z满足(z+i)i=2+3i,则|z|= (D)
A.2 B.3
C. D.3
解析　因为(z+i)i=2+3i,所以z=-i=-2i+3-i=3-3i,所以|z|=。故选D。
4.某保险公司销售某种保险产品,根据2023年全年该产品的销售额(单位:万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比,绘制出如图所示的双层饼图。根据双层饼图,下列说法正确的是 (A)
A.2023年第四季度的销售额为280万元
B.2023年上半年的总销售额为500万元
C.2023年2月份的销售额为60万元
D.2023年12个月的月销售额的众数为50万元
解析　第二季度的销售额为260万元,第二季度的销售额占全年总销售额的百分比为26%,可得全年总销售额为1 000万元,2023年第四季度的销售额为1 000×28%=280(万元),故A正确。2023年上半年的总销售额为160+260=420(万元),故B错误。2023年2月份的销售额为160-1 000×5%-1 000×6%=50(万元),故C错误。2023年12个月的月销售额(单位:万元)分别是50,50,60,60,90,110,80,100,120,120,100,60,众数是60,故D错误。故选A。
5.如图,在一个120°的二面角的棱上有两点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且均与棱AB垂直,若AB=,AC=1,BD=2,则CD的长为 (B)
A.2 B.3
C.2 D.4
解析　因为,所以···,因为,,所以·=0,·=0,又·|cos(180°-120°)=1×2×=1,所以=1+2+4+2×1=9,所以||=3。故选B。
6.若椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为 (C)
A. B.
C. D.
解析　依题意可知c=b,又a=c,所以椭圆的离心率e=。故选C。
7.记函数f(x)的导函数为f'(x)。若f(x)=exsin 2x,则f'(0)= (A)
A.2 B.1
C.0 D.-1
解析　因为f(x)=exsin 2x,则f'(x)=ex(sin 2x+2cos 2x),所以f'(0)=e0(sin 0+2cos 0)=2。故选A。
8.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则 (C)
A.A B
B.A=B
C.A+B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
解析　由题意,可知A={1,2},B={2,3},则A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3。故选C。
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞,1)上单调递增,则 (AC)
A.0B.a>1
C.f(a+2 022)>f(2 023)
D.f(a+2 022)解析　f(x)=loga|x-1|的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)。设z=|x-1|,可得函数z=|x-1|在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,由题意可得0f(2 023),故C正确,D错误。故选AC。
10.如图,已知半圆O上有一个动点C,F是AC上靠近点C的三等分点,且OC与BF交于点E,则下列结论正确的是 (ABD)
A. B.
C. D.
解析　对于A选项,取AF的中点H,连接OH(图略),因为O是AB的中点,所以在△ABF中,OH∥BF,所以OH∥EF。因为F是靠近C的三等分点,所以F是HC的中点,从而E是CO的中点,所以()=,A正确;对于B选项,()=,B正确;对于C选项,()-,C错误;对于D选项,,D正确。故选ABD。
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是 (BC)
A.若Sn=n2-1,则{an}是等差数列
B.若Sn=2n-1,则{an}是等比数列
C.若{an}是等差数列,则S99=99a50
D.若{an}是等比数列,且a1>0,q>0,则S2n-1·S2n+1>
解析　对于A选项,若Sn=n2-1,当n≥2时,an=2n-1,a1=0不满足an=2n-1,故{an}不是等差数列,故A错误;对于B选项,若Sn=2n-1,则an=由于a1=1满足an=2n-1,所以{an}是等比数列,故B正确;对于C选项,若{an}是等差数列,则S99==99a50,故C正确;对于D选项,当n=1时,S1·S3-(1+q+q2)-(1+q)2=-q<0,故当n=1时不等式不成立,故S2n-1·S2n+1>不成立,所以D错误。故选BC。
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线AD=,那么BC= 9 。
解析: 由(),两边平方,得(42+72+2×4×7×cos∠BAC),即cos∠BAC=-。由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=42+72-2×4×7×=81,所以BC=9。
13.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 。
解析　如图,连接A1C1,则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角。因为AB=BC=2,所以A1C1=2,又AA1=1,所以AC1=3,所以在Rt△AA1C1中,sin∠AC1A1=。
14.已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,)在圆C内,则m的取值范围为 (0,4) 。
解析　设圆心为C(a,0),由|CA|=|CB|,得(a+1)2+(-1)2=(a-1)2+(-3)2,解得a=2。半径r=|CA|=。故圆C的方程为(x-2)2+y2=10。由题意,知(m-2)2+()2<10,解得0四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件。已知2023年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)。
(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(7分)
(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时,厂家获得的利润最大 (8分)
解　(1)由题意可知,当m=0时,x=1,所以1=3-k,解得k=2,即x=3-,每1万件产品的销售价格为万元,所以2023年的利润y=x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m(m≥0)。即y与m之间的函数关系式是y=28--m(m≥0)。
(2)由(1)知y=-+29(m≥0)。因为当m≥0时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时取等号,所以y≤-8+29=21,即当m=3时,y取得最大值,为21,所以当该厂家2023年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元。
16.（本小题满分15分）
在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos Csin(A-B)=cos Bsin(C-A)。
(1)求tan A的最小值; (7分)
(2)若tan A=2,a=4,求c。(8分)
解　(1)由已知得cos C(sin Acos B-cos Asin B)=cos B(sin Ccos A-cos Csin A),又sin(B+C)=sin A,所以整理得2cos Csin Acos B=cos Asin A,因为sin A>0,所以2cos Ccos B=cos A。又cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,所以sin Bsin C=3cos Ccos B,即tan Btan C=3。tan A=-tan(B+C)=,当且仅当tan B=tan C=时等号成立,故tan A的最小值为。
(2)因为tan A=2,所以tan B+tan C=4,又tan Btan C=3,所以tan C=1或tan C=3,当tan C=1时,sin C=,由正弦定理,得c=;当tan C=3时,sin C=,由正弦定理,得c=。综上,c=5或3。
17.（本小题满分15分）
如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=,AD=CD=1,∠ADC=120°,点M是AC与BD的交点,点N在棱PB上,且PN=PB。
(1)证明:MN∥平面PDC;(7分)
(2)在棱BC上是否存在一点Q,使得平面MNQ⊥平面PAD 若存在,求出点Q的位置;若不存在,请说明理由。(8分)
解　(1)证明:在四边形ABCD中,因为AB=BC=,AD=CD=1,所以△ABD≌△CBD,所以AC⊥BD,且M为AC的中点。因为AD=CD=1,∠ADC=120°,所以DM=CDcos 60°=,AC=2CDsin 60°=,则△ABC为等边三角形,BM=,因为在△PDB中,,所以MN∥PD,又MN 平面PDC,PD 平面PDC,所以MN∥平面PDC。
(2) 过点M作ME⊥AD,垂足为点E,延长EM交BC于点Q,连接NQ,NE,如图。因为PA⊥平面ABCD,EQ 平面ABCD,所以PA⊥EQ,又EQ⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,所以EQ⊥平面PAD,又EQ 平面MNQ,所以平面MNQ⊥平面PAD,故存在这样的点Q,使得平面MNQ⊥平面PAD。在Rt△DME中,∠EMD=90°-60°=30°,在△BQM中,∠QBM=∠BMQ=30°,∠BQM=120°,由BM=,,可得BQ=,即Q为BC的中点。故当Q为BC的中点时,平面MNQ⊥平面PAD。
18.（本小题满分16分）
在如图所示的多面体中,AB=AD,EB=EC,平面ABD⊥平面BCD,平面BCE⊥平面BCD,点F,G分别是CD,BD的中点。
(1)证明:平面AFG∥平面BCE;(8分)
(2)若BC⊥BD,BC=BD=2,AB=,BE=,求平面AFG和平面ACE夹角的余弦值。(8分)
解　(1)证明:如图,取BC的中点H,连接EH,因为EB=EC,所以EH⊥BC,又平面BCE⊥平面BCD,平面BCE∩平面BCD=BC,EH 平面BCE,所以EH⊥平面BCD。同理可得AG⊥平面BCD,所以EH∥AG。因为AG 平面BCE,EH 平面BCE,所以AG∥平面BCE。因为点F,G分别是CD,BD的中点,所以FG∥BC,又FG 平面BCE,BC 平面BCE,所以FG∥平面BCE。因为AG∩FG=G,AG,FG 平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE。
(2)因为BC⊥BD,BC∥FG,所以FG⊥BD。由(1)知AG⊥平面BCD,所以GF,GB,GA两两垂直。
如图,以G为原点,GF,GB,GA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。因为BC=BD=2,AB=,BE=,所以GA=GB=1,BH=1,EH=2,则A(0,0,1),B(0,1,0),D(0,-1,0),C(2,1,0),E(1,1,2),所以=(2,1,-1),=(-1,0,2),易知平面AFG的一个法向量为=(0,2,0)。设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则取x=2,得n=(2,-3,1)。设平面AFG和平面ACE的夹角为θ,则cos θ=|cos19.（本小题满分16分）
已知等差数列{an}的公差为2,且a1,a2,a4成等比数列。
(1)求数列{an}的前n项和Sn; (8分)
(2)若数列{bn}的首项b1=1,bn+bn+1=(,求数列{b2n}的通项公式。(8分)
解　(1)因为a1,a2,a4成等比数列,所以=a1·a4,又等差数列{an}的公差为d=2,所以(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{an}的前n项和Sn=n·a1+·d=n2+n。
(2)bn+bn+1=(=()2n=2n　①,当n=1时,b1+b2=2,可得b2=1,可得bn+1+bn+2=2n+1　②,由②式减①式,得bn+2-bn=2n+1-2n=2n,所以b2n=(b2n-b2n-2)+(b2n-2-b2n-4)+…+(b4-b2)+b2=22n-2+22n-4+…+22+1=,且b2=1符合上式,所以b2n=。2025届湖北省孝感市八校三模联考
高三数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a>b,则下列不等式中一定成立的是( )
A. B.a2>b2
C.ln a>ln b D.2a-b>1
2.已知x∈,sin4x+cos4x=,则sin x-cos x=( )
A. B.-
C. D.-
3.已知复数z满足(z+i)i=2+3i,则|z|=( )
A.2 B.3
C. D.3
4.某保险公司销售某种保险产品,根据2023年全年该产品的销售额(单位:万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比,绘制出如图所示的双层饼图。根据双层饼图,下列说法正确的是( )
A.2023年第四季度的销售额为280万元
B.2023年上半年的总销售额为500万元
C.2023年2月份的销售额为60万元
D.2023年12个月的月销售额的众数为50万元
5.如图,在一个120°的二面角的棱上有两点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且均与棱AB垂直,若AB=,AC=1,BD=2,则CD的长为( )
A.2 B.3
C.2 D.4
6.若椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
7.记函数f(x)的导函数为f'(x)。若f(x)=exsin 2x,则f'(0)=( )
A.2 B.1
C.0 D.-1
8.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则( )
A.A B B.A=B
C.A+B表示向上的点数是1或2或3 D.AB表示向上的点数是1或2或3
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞,1)上单调递增,则( )
A.01
C.f(a+2 022)>f(2 023) D.f(a+2 022)10.如图,已知半圆O上有一个动点C,F是AC上靠近点C的三等分点,且OC与BF交于点E,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是( )
A.若Sn=n2-1,则{an}是等差数列
B.若Sn=2n-1,则{an}是等比数列
C.若{an}是等差数列,则S99=99a50
D.若{an}是等比数列,且a1>0,q>0,则S2n-1·S2n+1>
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线AD=,那么BC= 。
13.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 。
14.已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,)在圆C内,则m的取值范围为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件。已知2023年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)。
(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(7分)
(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时,厂家获得的利润最大 (8分)
16.（本小题满分15分）
在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos Csin(A-B)=cos Bsin(C-A)。
(1)求tan A的最小值; (7分)
(2)若tan A=2,a=4,求c。(8分)
17.（本小题满分15分）
如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=,AD=CD=1,∠ADC=120°,点M是AC与BD的交点,点N在棱PB上,且PN=PB。
(1)证明:MN∥平面PDC;(7分)
(2)在棱BC上是否存在一点Q,使得平面MNQ⊥平面PAD 若存在,求出点Q的位置;若不存在,请说明理由。(8分)
18.（本小题满分16分）
在如图所示的多面体中,AB=AD,EB=EC,平面ABD⊥平面BCD,平面BCE⊥平面BCD,点F,G分别是CD,BD的中点。
(1)证明:平面AFG∥平面BCE;(8分)
(2)若BC⊥BD,BC=BD=2,AB=,BE=,求平面AFG和平面ACE夹角的余弦值。(8分)
19.（本小题满分16分）
已知等差数列{an}的公差为2,且a1,a2,a4成等比数列。
(1)求数列{an}的前n项和Sn; (8分)
(2)若数列{bn}的首项b1=1,bn+bn+1=(,求数列{b2n}的通项公式。(8分)高三数学试题答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D A B C A C
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.AC。 10.ABD。 11.BC。
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. 9。 13. 。 14. (0,4) 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解　(1)由题意可知,当m=0时,x=1,所以1=3-k,解得k=2,即x=3-,每1万件产品的销售价格为万元,所以2023年的利润y=x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m(m≥0)。即y与m之间的函数关系式是y=28--m(m≥0)。
(2)由(1)知y=-+29(m≥0)。因为当m≥0时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时取等号,所以y≤-8+29=21,即当m=3时,y取得最大值,为21,所以当该厂家2023年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元。
16.（本小题满分15分）
解　(1)由已知得cos C(sin Acos B-cos Asin B)=cos B(sin Ccos A-cos Csin A),又sin(B+C)=sin A,所以整理得2cos Csin Acos B=cos Asin A,因为sin A>0,所以2cos Ccos B=cos A。又cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,所以sin Bsin C=3cos Ccos B,即tan Btan C=3。tan A=-tan(B+C)=,当且仅当tan B=tan C=时等号成立,故tan A的最小值为。
(2)因为tan A=2,所以tan B+tan C=4,又tan Btan C=3,所以tan C=1或tan C=3,当tan C=1时,sin C=,由正弦定理,得c=;当tan C=3时,sin C=,由正弦定理,得c=。综上,c=5或3。
17.（本小题满分15分）
解　(1)证明:在四边形ABCD中,因为AB=BC=,AD=CD=1,所以△ABD≌△CBD,所以AC⊥BD,且M为AC的中点。因为AD=CD=1,∠ADC=120°,所以DM=CDcos 60°=,AC=2CDsin 60°=,则△ABC为等边三角形,BM=,因为在△PDB中,,所以MN∥PD,又MN 平面PDC,PD 平面PDC,所以MN∥平面PDC。
(2) 过点M作ME⊥AD,垂足为点E,延长EM交BC于点Q,连接NQ,NE,如图。因为PA⊥平面ABCD,EQ 平面ABCD,所以PA⊥EQ,又EQ⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,所以EQ⊥平面PAD,又EQ 平面MNQ,所以平面MNQ⊥平面PAD,故存在这样的点Q,使得平面MNQ⊥平面PAD。在Rt△DME中,∠EMD=90°-60°=30°,在△BQM中,∠QBM=∠BMQ=30°,∠BQM=120°,由BM=,,可得BQ=,即Q为BC的中点。故当Q为BC的中点时,平面MNQ⊥平面PAD。
18.（本小题满分16分）
解　(1)证明:如图,取BC的中点H,连接EH,因为EB=EC,所以EH⊥BC,又平面BCE⊥平面BCD,平面BCE∩平面BCD=BC,EH 平面BCE,所以EH⊥平面BCD。同理可得AG⊥平面BCD,所以EH∥AG。因为AG 平面BCE,EH 平面BCE,所以AG∥平面BCE。因为点F,G分别是CD,BD的中点,所以FG∥BC,又FG 平面BCE,BC 平面BCE,所以FG∥平面BCE。因为AG∩FG=G,AG,FG 平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE。
(2)因为BC⊥BD,BC∥FG,所以FG⊥BD。由(1)知AG⊥平面BCD,所以GF,GB,GA两两垂直。
如图,以G为原点,GF,GB,GA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。因为BC=BD=2,AB=,BE=,所以GA=GB=1,BH=1,EH=2,则A(0,0,1),B(0,1,0),D(0,-1,0),C(2,1,0),E(1,1,2),所以=(2,1,-1),=(-1,0,2),易知平面AFG的一个法向量为=(0,2,0)。设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则取x=2,得n=(2,-3,1)。设平面AFG和平面ACE的夹角为θ,则cos θ=|cos19.（本小题满分16分）
解　(1)因为a1,a2,a4成等比数列,所以=a1·a4,又等差数列{an}的公差为d=2,所以(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{an}的前n项和Sn=n·a1+·d=n2+n。
(2)bn+bn+1=(=()2n=2n　①,当n=1时,b1+b2=2,可得b2=1,可得bn+1+bn+2=2n+1　②,由②式减①式,得bn+2-bn=2n+1-2n=2n,所以b2n=(b2n-b2n-2)+(b2n-2-b2n-4)+…+(b4-b2)+b2=22n-2+22n-4+…+22+1=,且b2=1符合上式,所以b2n=。

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