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2025届高考数学模拟试题（卷）（一）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为86，84，88，86，89，89，90，87，85，92，则该学生这10次成绩的分位数为　　
A．86.5 B．87.5 C．91 D．89
【答案】A【解析】数学成绩从小到大分别为84，85，86，86，87，88，89，89，90，92，共10个，
又，故分位数为．故选：．
2．设集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为，又，
所以当时，可得.故选：C.
3．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】对于A：由，可知不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误；对于B：，其最小正周期为，故错误；对于C：满足，以为周期，当时，，由正切函数的单调性可知在区间上单调递减，故错误；对于D，满足，以为周期，当时，，由余弦函数的单调性可知，在区间上单调递增，故正确；故选:D
4．已知向量，，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意，，则，
所以在上的投影向量是.故选：B．
5．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由题意可得：，解得，所以圆锥的体积为.故选：B.
6．已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因为为偶函数，则，所以关于对称，所以，令，则，当时，，所以在上单调递增，所以，即，所以，当时，由得，，则，由上可得，又在上单调递增，所以，即，所以.故选：A．
7．已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D【解析】，，，，，
.又，，
.，，，
.故选：D.
8．已知函数若，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因为，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且；
当时，所以在上单调递增，且，
所以的图象如下所示：
又，且，不妨令，
结合图象可知且，即，
所以，即的取值范围为.
故选：A
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD【解析】设复数，可得因为复数z满足，可得，则，可得且，
由时，可得或，当时，可得，此时；当时，方程，无解；对于A中，当，可得，可得；
当，可得，可得，所以A正确；对于B中，当，可得，且，则，所以B不正确；对于C中，当，可得，可得，所以C不正确；对于D中，当，可得，可得，则；当，可得，可得，则，所以D正确.故选：AD.
10．已知如图是函数，（，）的部分图象，则（ ）
A．的图象关于中心对称 B．在点处的切线方程为 C．在单调递增 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数
【答案】BCD【解析】由图可得，即，而，可得，
又，即，可得，，可得，，又，且，即，即，可得，
，对于选项A，，，不是函数的对称中心，故A不正确；对于选项B中，，，
则在点处的切线方程为，故B正确；对于选项C，，可得，函数在上是单调递增，故C正确；对于选项D中，将向左平移个单位后，可得，则为偶函数，故D正确.故选：BCD
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为
C．的面积为 D．直线与圆相切
【答案】ACD【详解】不妨设直线平行于双曲线的渐近线，从而可得是线段的垂直平分线，且直线的方程为，设直线与直线相交于点，联立方程组，解得，即，又，结合中点坐标公式，可得，代入双曲线，可得，整理得，，对于A，双曲线的离心率，故A正确；对于B，双曲线的渐近线，故B错误；对于C，的面积，故C正确；对于D，圆心到直线的距离，故直线与圆相切，故D正确.故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知且，，函数，若，则 .
【答案】【解析】函数，则，
简化可得：，即，所以.故答案为：.
13．的展开式中，常数项为 　　．（用数字作答）
【答案】252【解析】，展开式的通项公式为，令，解得，故常数项为．
14．设为数列的前n项和，时，，已知．则数列的通项公式为 。
【答案】 .【解析】当时，，即，则，而，则，于是时，，整理得，又，所以数列是首项和公比都是2的等比数列，则，因此，数列是首项为，公差为的等差数列，，所以数列的通项公式.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
【解】（1）由，得，
解法一：由正弦定理得，又中，，所以，所以，
于是， …………………………3分
又，所以，又，所以. …………………………6分
解法二：由余弦定理得，
化简得， …………………………2分
由余弦定理得， …………………………4分
又，
所以. …………………………6分
（2）由是的平分线，得，
解法一：， …………………………9分
又， …………………………10分
所以
. …………………………13分
解法二：由得
. …………………………9分
即，
解得， …………………………11分
所以. …………………………13分
16．（15分）某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到表格：
语文兴趣 数学兴趣 英语兴趣 物理兴趣 化学兴趣 生物兴趣
答卷份数 350 470 380 400 300 500
兴趣良好频率 0.7 0.9 0.8 0.5 0.8 0.8
假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立．
（1）从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率；
（2）从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率；
（3）按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望．
【解析】（1）设“这份试卷的调查结果是英语兴趣良好”为事件，
答卷总份数为，
其中英语兴趣良好有，
从收集的答卷中随机选取一份，
这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率为．
（2）设“语文兴趣良好”“数学兴趣良好”“生物兴趣良好”分别为事件，，，
（B），（C），（D），
估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率为：
．
（3）从参与物理兴趣小组和化学兴趣小组的700人中，按分层抽样的方法抽取7人，
其中，参与物理兴趣小组的抽取4人，参与化学兴趣小组的取3人，
再从中选取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
．
17．已知函数.
(1)若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程；
(2)若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围.
【解析】（1）因为，
所以，而，得到切点为，
设切线斜率为，由导数的几何意义得，
则切线方程为，（3分）
而切线l过点，得到，
解得，此时l的方程为，
即，则l的方程为.（6分）
（2）因为，
且，所以，
令，
则．
因为有两个不同的极值点，，（），（8分）
所以当时，，则只有一个极值点，不符合题意，
当且，
①当，，即时，
当时，恒成立，即，即恒成立，
设 ，则，
所以在上单调递减，
则，则，故；（10分）
②当，，即时，
当时，恒成立，即恒成立，
若，则当时，，不满足题意，
所以，此时，即，（13分）
设 ，则，
易得在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，故，
综上，的取值范围是．（15分）
18．（17分）已知椭圆的一个焦点短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点.
（i）证明：点在以为直径的圆外：
（ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得，所以，
则椭圆的标准方程为.（4分）
（2）（i）由题意得，，
当直线斜率为0时，此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外；
当直线斜率不为0时，设直线的方程为，
由可得，，
恒成立，（6分）
设，
则，
，（8分）
故在以为直径的圆外.（9分）
（ii）当斜率不存在时，，此时到距离为1，故不存在等边三角形，当斜率为0时，易得不存在等边三角形，（11分）
当斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
设中点为，又，由（i）得，
，由于在直线上，所以，（13分）
直线的斜率为，所以.
，
因为是等边三角形，所以，则，（15分）
解得，即，
故直线的方程为或.（17分）
19．（17分）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.

(1)若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值.
(2)在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为.
（i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值；
（ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长.
【解析】（1）因为球面三角形的三条边长均为，
所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体.
取的中点，连接，则，且，
则为二面角的平面角.（2分）
由余弦定理可得.
所以此球面三角形一个内角的余弦值为.（4分）
（2）因为平面，所以.
设，则，所以.
由勾股定理的逆定理可得，又，
所以平面，又平面，所以，
因为直线与平面所成的角为，所以.
易知在和中，斜边的中点到点的距离相等，即为球的直径，所以.（6分）
以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

（i）由题可知，
则.
设与都垂直的向量为，
则令，则，（8分）
所以线段长度的最小值为.（9分）
（ii）设，由题可知，
则.
设平面的一个法向量为，
则取，可得.（11分）
设平面的一个法向量为，
则取，可得.（13分）
设平面与平面的夹角为.
因为
，（15分）
令，则，
可得，
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值，
故.（17分）2025届高考数学模拟试题（卷）（一）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为86，84，88，86，89，89，90，87，85，92，则该学生这10次成绩的分位数为　　
A．86.5 B．87.5 C．91 D．89
2．设集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
8．已知函数若，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知如图是函数，（，）的部分图象，则（ ）
的图象关于中心对称
在点处的切线方程为
在单调递增
D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为
C．的面积为 D．直线与圆相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知且，，函数，若，则 .
13．的展开式中，常数项为 　　．（用数字作答）
14．设为数列的前n项和，时，，已知．则数列的通项公式为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
16．（15分）某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到表格：
语文兴趣 数学兴趣 英语兴趣 物理兴趣 化学兴趣 生物兴趣
答卷份数 350 470 380 400 300 500
兴趣良好频率 0.7 0.9 0.8 0.5 0.8 0.8
假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立．
（1）从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率；
（2）从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率；
（3）按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望．
17．已知函数.
(1)若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程；
(2)若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围.
18．（17分）已知椭圆的一个焦点短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点.
（i）证明：点在以为直径的圆外：
（ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
19．（17分）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.
(1)若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值.
(2)在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为.
（i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值；
（ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长.

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