资源简介

2025届高考数学模拟试题（卷）（五）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由题知，则，
所以．故选：B．
2．复数=(i是虚数单位),则复数的虚部为（ ）
A．I B．-i C．1 D．-1
【答案】D【详解】故答案为D
3．设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足，
如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.

4．已知则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】，可得当时，单调递减，当时，单调递减，且时函数连续，则在上单调递减，
不等式，可化为，即，解得：，则原不等式的解集为：，故选：A
5．据典籍《周礼 春官》记载，“宫 商 角 徵 羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（ ）
A．50 B．64 C．66 D．78
【答案】A【详解】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取音阶，
排成的音序有种；②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取音阶，
排成的音序有种；③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶，排成的音序有种；④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶，排成的音序有种.由分类加法计数原理可知，一共有种排法.故选：A.
6．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值.
【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为、、三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
所以，，，故，因此，.
故选：C.
7．设抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于、两点，记点到直线的距离为，且.若点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得，
设点、，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，联立，可得，
则，由韦达定理可得，所以，，故，所以，，整理可得，
即，因为，解得.故选：C.
8．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】如图：连接、、，取、、中点、、，连接、、，由已知侧棱长为的正三棱锥，即，又因为，
所以，因为平面，，均与平面垂直，
设，，三点所在的圆为圆，底面的中心为，则，又因为奖杯总高度为，设球半径为，球心到圆面的距离为，则，即，如图，易知≌，因为，
所以是边长为的等边三角形，设的外接圆半径为，
则，则在直角中，，即，解得，所以．故选：C．
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）
A．数据的第25百分位数是1；
B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为；
C．已知随机变量，若，则；
D．某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，，
【答案】ACD【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A正确；对于选项B，因为样本点都在直线上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为，故B错误．
对于选项C，因为，所以，解得，故C正确；对于选项D，由，
可得在90~100分的人数是，故D正确.故选：ACD．
10．已知函数的最大值为2，则（ ）
A． B．函数图象的一个对称中心是点
C．在区间上单调递增
D．将的图象先向右平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为
【答案】AB【详解】对于A，因为（其中），且函数的最大值为2，所以，解得，又因为，所以，故A正确；对于B，解法一：由A选项可知，，令，解得，当时，，所以的图象关于点中心对称，故B正确；解法二：由A选项可知，，将代入的解析式，得，所以的图象关于点中心对称，故B正确；对于C，当时，，根据正弦函数的图象得在上单调递减，故C错误；对于D，将的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，得到的图象，故D错误．故选:AB．
11．“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”）.若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则（ ）
A． B．
C．直线与双曲线的一条渐近线垂直
D．直线与双曲线的左支有两个不同的交点
【答案】AC【详解】对于A，设线段长度为1，较大部分为，则较小部分为，
由题黄金分割比为，且若为黄金双曲线，则离心率为，即A正确；对于B，设，其中，又在双曲线线上，所以，
两式相减可得，即，可得，所以，可得B错误；对于C，易知，所以，易知双曲线的一条渐近线斜率为，
则，因此直线与双曲线的一条渐近线垂直，即C正确；对于D，由离心率为可得，解得，可得一条渐近线的斜率为，而直线的斜率，根据渐近线性质可知直线与双曲线的左右两支各有一个交点，即D错误.故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为米，米．从山脚下的处测得处的仰角为，处的仰角为，，点，，在同一水平面内，，，则两座山的山顶，之间的距离是 米．（参考数据：，）
【答案】【详解】在中，，所以米，
在中，米，在中，
，则米．故答案为：
12．若为锐角，＝，则 .
【答案】【详解】为锐角，，又，
，，，
故答案为：．
14．数学家莱布尼兹是世界上首个提出二进制计数法的人，任意一个十进制正整数均可以用二进制数表示.若正整数，其中或，则可以用位二进制数表示.记的二进制各个位数和为，则.例如，因此.已知正整数1024且，则这样的有 个； .
【答案】45 4095
【详解】详解：（1），要使，则是位二进制数，且的前10位中恰好有两个1，其余位均为0，因为最高位必为1，所以有个满足题意的的值.（2）由于是最大的6位二进制数，故的二进制数中最少1个1，最多6个1，即当时，.当时，位二进制数最高位必为1，其余位为0，
故共有个二进制数（或者理解为前6位中恰有1个1，其余位均为0）；
当时，位二进制数最高位必为1，其余位只有一个1，故共有个二进制数（或者理解为前6位中恰有2个1，其余位均为0）；当时，位二进制数最高位必为1，其余位只有2个1，故共有个二进制数（或者理解为前6位中恰有3个1，其余位均为0）；
…当时，6位二进制数全是1，故共有个二进制数，所以
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列为等差数列，且满足．
(1)若，求数列的前项和；
(2)若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式．
【详解】（1）当时，由，则，由，则，所以等差数列的公差为，所以，
故故数列的前项和．.............6分
（2）当时，，可得，
当时，
，
将代入上式，则，综上所述，．
，可得，又因为，则，
由方程，可得，解得，由，则等差数列的公差为3，所以，由，则．.............13分
16.（15分）如图，椭圆过点，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为，，过椭圆的右焦点且与轴相交的直线与椭圆相交于，两点，与抛物线相交于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线在轴上截距的范围.
【详解】（1）根据题意得解得所以，焦点.
所以椭圆的方程是：..............4分（2）由题可设直线方程为：，，，，.由得,
由题知，，,.............6分
.
又点到直线的距离，.............10分
由得，由题知，得，.
.
，，解得：且,
或，直线在轴上截距的取值范围是............15分
17.（15分）某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黑球记分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为，若，则获奖.
方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回.
方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回.
(1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
(2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率；
(3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求的分布列和数学期望.
【详解】（1）若，则甲顾客摸到个红球个白球、或者是个红球个白球个黑球，
所以，.............4分（2）记事件乙顾客按照方案一摸球获奖，由（1）可知，记事件乙顾客第二次摸到红球，则，，所以，...........9分
（3）摸到次红球的概率为，摸到次白球的概率为，摸到次黑球的概率为，
则的可能取值有、、、、、、，
，，
，，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
故...........15分
18．（17分）已知．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若恰有1个极大值点和1个极小值点．
①求极大值与极小值的和； ②判断零点的个数．
【详解】（1）由题可得，函数的定义域为，，........................................（2分）
当时，，，........................................（4分）
故切点为，切线在该点处的斜率为，
故曲线在点处的切线方程为，即．........................................（5分）
（2）由（1）得，
因为分母在定义域内恒成立，所以导函数的符号取决于分子的符号，
令，其对应一元二次方程的判别式．........................................（6分）
若，此时，则且不恒为0，所以且不恒为0，所以在上单调递增，故没有极值点，........................................（7分）
若，此时或，则有两个不等实根，不妨设，
由一元二次方程根与系数的关系可得，则同号．
当时，，两根均为负数，则在上恒成立，所以，所以在上单调递增，则没有极值点；........................................（9分）
当时，，两根均为正数，故当或时，，所以，所以的单调递增区间为，，
当时，，所以，所以的单调递减区间为，故有极大值点，极小值点．
故时，恰有1个极大值点和1个极小值点．........................................（11分）
①，故极大值与极小值的和为0．........................................（13分）
②由①知，，，则，
又由①知，在，上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，当时，；当时，，
故在，上各有一个零点，又，所以有3个零点．........................................（17分）
19.（17分）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量.
(1)若平面，，且，求实数的值；
(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积；
(3)记集合中所有点构成的几何体为.
①求的体积的值；
②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小.
【答案】(1)
(2)
(3)①16；②
【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解；
（2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切圆半径，即可得表面积；法2：利用等体积法求内切圆半径，即可得表面积；
（3）根据题意分析几何体的结构特征.①利用割补法求体积；②求相应的法向量，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量，
所以，故...........3分
（2）不妨设，在平面内取一点，则向量，
取平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为
对于，
当时，表示经过，，的平面在第一象限的部分.
由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体.
法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离，
则.
所以内切球的表面积为；.............9分
法2：考虑；
即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为，
由对称性知，正八面体的体积，
设内切球的半径为，正八面体的表面积为，
所以，解得：.
所以内切球的表面积为；............9分
（3）由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的，
其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、OB、两两垂直，且.
集合所表示的几何图形也关于平面，，对称，
其在第一卦限内的部分的图形如图（1），
图1
①如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果.
图2
所以所构成的几何体如图3所示.
图3
法一：其中正方体记为集合所构成的区域.
而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1，
所以，
所以几何体的体积.
法二：从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和.
设其体积为.
由正方体的性质可知面.
因为，，
所以其体积.
所以几何体的体积.
②由题意可知：面方程为，所以其法向量，面方程为，其法向量.
所以
由图知两个相邻的面所成角为钝角.
故相邻两个面所成角为.............17分2025届高考数学模拟试题（卷）（五）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数=(i是虚数单位),则复数的虚部为（ ）
A．I B．-i C．1 D．-1
3．设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．据典籍《周礼 春官》记载，“宫 商 角 徵 羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（ ）
A．50 B．64 C．66 D．78
6．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于、两点，记点到直线的距离为，且.若点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
8．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）
A．数据的第25百分位数是1；
B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为；
C．已知随机变量，若，则；
D．某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，，
10．已知函数的最大值为2，则（ ）
A． B．函数图象的一个对称中心是点
C．在区间上单调递增
D．将的图象先向右平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为
11．“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”）.若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直
D．直线与双曲线的左支有两个不同的交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为米，米．从山脚下的处测得处的仰角为，处的仰角为，，点，，在同一水平面内，，，则两座山的山顶，之间的距离是 米．（参考数据：，）
12．若为锐角，＝，则 .
14．数学家莱布尼兹是世界上首个提出二进制计数法的人，任意一个十进制正整数均可以用二进制数表示.若正整数，其中或，则可以用位二进制数表示.记的二进制各个位数和为，则.例如，因此.已知正整数1024且，则这样的有 个； .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列为等差数列，且满足．
(1)若，求数列的前项和；
(2)若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式．
16.（15分）如图，椭圆过点，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为，，过椭圆的右焦点且与轴相交的直线与椭圆相交于，两点，与抛物线相交于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线在轴上截距的范围.
17.（15分）某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黑球记分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为，若，则获奖.
方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回.
方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回.
(1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
(2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率；
(3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求的分布列和数学期望.
18．（17分）已知．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若恰有1个极大值点和1个极小值点．
①求极大值与极小值的和； ②判断零点的个数．
19.（17分）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量.
(1)若平面，，且，求实数的值；
(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积；
(3)记集合中所有点构成的几何体为.
①求的体积的值；
②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小.

展开更多......

收起↑