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2025年辽宁省沈阳市中考数学三模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面看这个几何体得到的平面图形是( )
A. B. C. D.
2.据国家医保局消息，医保码上线五年以来，截至年月，累计激活量超过亿人将“亿”用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.实数在数轴上对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是( )
A. B. C. D.
4.如图，点是边长为的等边一边上的一点，、分别与两边垂直，则( )
A.
B.
C.
D.
5.下列运算中正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，直线，矩形的顶点，分别在直线，上，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.某车间有名工人，每人每天可以生产个螺母或个螺栓，个螺栓需要配个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，安排名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8.交警常用呼气式酒精测试仪检测司机是否酒后驾驶该仪器的原理图如图所示，其中为气敏阻，与酒精气体浓度的关系如图所示，为定值电阻，电源电压不变闭合开关，当酒精气体浓度增大时，下列说法正确的是( )
欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比．
串联电路中，总电阻等于各个电阻的阻值之和．
该电路中的电流
A. 气敏电阻的阻值增大 B. 电路中的总电阻增大
C. 电流表的示数减小 D. 电压表的示数增大
9.如图，在中，以点为圆心、长为半径作弧与交于点，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点和，再分别以点和为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点若，，则的大小为( )
A. B. C. D.
10.如图，点在上，从点出发向原点运动，已知点，以为斜边向右作等腰直角三角形，与轴交于点，当时，点的坐标为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若，，则的值为______．
12.在一个不透明的盒子里放置张除颜色外完全相同的卡片，其中张卡片是红色，张卡片是蓝色，现从中随机抽取张，则抽得的两张卡片颜色不相同的概率为______．
13.如图，菱形的边长为，，边在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点若点表示的实数是，则点表示的实数是______．
14.二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；若点，点，点在该函数图象上，则；若，则，其中正确的结论的序号是______．
15.如图，矩形中，，，点是边上的动点，点在边上，连接、，则的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解方程：；
计算：．
17.本小题分
今年贵港市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱若购买个温馨提示牌和个垃圾箱共需元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的倍．
求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
该小区至少需要安放个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共个，且费用不超过元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
18.本小题分
为了迎接市级“奥林匹克数学竞赛”，某中学面向全校学生进行了系列选拔测验经过次选拔测验以后，遴选了甲、乙两名总成绩较为突出的学生．
【收集数据】甲、乙两名学生次选拔测验成绩如下表所示：单位：分
次数
成绩
学生
甲
乙
【整理数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
统计量
学生 平均数 中位数 众数 方差
甲
乙
【分析数据】根据甲、乙两名学生次选拔测验的成绩绘制成折线统计图：
【得出结论】结合上述统计全过程，回答下列问题：
【整理数据】表格中的值为______值为______．
判断甲、乙两名学生谁的成绩比较稳定，并说明判断依据．
由于学校只有一个参赛名额，李老师考虑再三，最终选择了学生乙代表学校去参赛，请你结合本题中的统计图表来说明她的理由．
19.本小题分
冰墩墩是北京冬季奥运会的吉祥物它将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员冬奥会期间，某商家开始吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元且不高于元销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可出售个销售单价每上涨元，每天销量减少个现商家决定提价销售设每天销售量为个，销售单价为元．
请求与之间的函数关系式和自变量的取值范围．
将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？
20.本小题分
为了响应节能减排的号召，李豪同学决定骑自行车上下学，他将自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方处与坐垫下方处平行于地面水平线，测得，，与的夹角分别为与．
求的长度；
若点到地面的距离为，坐垫中轴与点的距离为根据李豪同学身高比例，坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适请你通过计算判断出李豪同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度参考数据：，
21.本小题分
已知：如图，是的外接圆，是的直径，平分，交于点，过点作交的延长线于点．
求证：是的切线；
如图，若，，平分交于点，求的长．
22.本小题分
在数学活动课上，同学们探究利用正方形纸折出特殊角及利用特殊点折出对称图形，并进一步探究几何图形中线段的长度问题如图，在正方形中，，动点在边上，将沿折痕折叠，得到，点的对应点为点．
【初步感知】当点在的垂直平分线上时，求的度数；
【探究应用】如图，当是的中点时，延长交于点，求的长；
【拓展延伸】如图，延长交边于点，是的中点，连接若，求的值．
23.本小题分
已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点、两点，与轴交于点．
求抛物线解析式及顶点坐标；
已知点抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标；
若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：从上面看这个几何体得到的平面图形是：．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：在数轴上表示出，如图：
，
．
在和之间．
在和之间，
选项中只有符合条件．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：是等边三角形，且边长为，
，，
，，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、，不正确，不符合题意；
B、，不正确，不符合题意；
C、，不正确，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：如图，直线交于点，
四边形是矩形，
，
直线，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：根据题意可列方程：．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：根据图象所给的信息，结合题意，逐一判断如下：
由图可知，当酒精气体浓度增大时，气敏电阻的阻值减小，故选项A错误，不符合题意；
根据串联电路电阻特点，总电阻，减小，减小，故选项B错误，不符合题意；
由可知，电路中的电流增大，即电流表的示数增大，故选项C错误，不符合题意；
电压表测两端电压，，增大，不变，所以增大，即电压表的示数增大，故选项D正确，符合题意．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由题意知，
；
由条件可知；
由尺规作图知，平分，
；
．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：作轴，轴，垂足分别为，，
是等腰直角三角形，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形是正方形，
设，则，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
整理得：，
解得：或，
或，
点的坐标是或，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：提取公因式分解因式可得：
，
把，，代入，
原式，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有个等可能的结果，其中抽得的两张卡片颜色不相同的结果有种，
抽得的两张卡片颜色不相同的概率为，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
菱形的边长为，，
，，，，
于点，
，
，
，
在中，，
，
，
以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，
，
点表示的实数是，
点表示的实数是，
故答案为：．
14.【答案】 ．
【解析】解：由条件可知，
，
，故正确，
图象过点，对称轴为直线，
当时，，
，故错误，
点，点，点在该函数图象上，对称轴为直线，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小
，故错误，
当时，取得最大值，
当时，，
，故正确，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，
四边形为矩形，，，
，，，
，
≌，
，
点与点关于对称，
，，
，
当点、、三点共线时，取最小值，即取最小值，
此时，
四边形为矩形，
，，
，
，
此时，即的最小值为．
故答案为：．
16.【解析】，
，
或，
，；
原式
．
17.【解析】设温馨提示牌的单价是元，垃圾箱的单价是元．
根据题意，得，
解得．
答：温馨提示牌的单价是元，垃圾箱的单价是元．
设购买垃圾箱个，则购买温馨提示牌个．
根据题意，得，
解得，
为正整数，
，，，
当时，个，所需资金为元，
当时，个，所需资金为元，
当时，个，所需资金为元，
，
共有三种购买方案，分别是购买垃圾箱个、温馨提示牌个，购买垃圾箱个、温馨提示牌个，购买垃圾箱个、温馨提示牌个，其中购买垃圾箱个、温馨提示牌个所需资金最少，最少是元．
18.【解析】甲学生成绩的众数，
乙同学成绩成绩重新排列为：、、、、、、、、、，
其中位数，
故答案为：、；
甲学生的成绩比较稳定，因为．
从数据来看，分以上的成绩都是乙学生在近期取得的；
从折线统计图来看，乙学生的成绩整体处于上升趋势．
19.【解析】由题意得：，
．
由题意，，
，
当时，随的增大而增大．
，
当时，有最大值，最大值为元．
将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元．
20.【解析】过点作于，则，
，，
，，
，
，
，
答：的长度为；
过点作于，
，
，
，
坐垫到地面的距离为，
坐垫到地面的距离为至之间时，骑乘该自行车最舒适，
李豪同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度．
21.
【解析】证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：作于点，连接，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
22.【解析】点在的垂直平分线上，如图，连接，
，
由折叠的性质可得，
，
是等边三角形，
；
四边形是正方形，如图，连接，
，，
由折叠的性质可得，，，
，
是的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
；
如图，过点作于，连接，
四边形是正方形，
，，
为的中点，
，
，，
是的中位线，
，
，
，
，
∽，
，
设，，
，
，
，
由折叠的性质可得，
，
，
，
∽，
，
又，
∽，
，即，
，
，
解得或不合题意，舍去，
．
23.【解析】抛物线对称轴为直线，且与轴交于点、两点，
根据对称性可得，故可设，
又抛物线，即，
解得，
故抛物线解析式为，顶点坐标为；
画出抛物线图象如图所示，、，
延长交直线于点，
由待定系数法可知直线的表达式为，故D．
设，
故，
可解得或，
故或．
由抛物线上仅存在一个点，使得，
则联立，
即方程只有两个相等实数根，
亦即方程只有两个相等实数根，
令，即，
整理可得，
当时，即当时，有最大值．
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