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2024—2025年中考数学模拟测试题E
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. “二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”. 立春为二十四节气之首，2025年立春这天北京、武汉、哈尔滨、长沙四地最低气温分别为－8℃，－1℃，－16℃，4℃，这些气温中最低的是( )
A.－8℃ B.－1℃ C.－16℃ D.4℃
2. 芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上.下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A.x2·x3＝x5 B.(x3)2＝x5 C.x(x－1)＝x2－1 D.(2a－1)2＝2a2－4a＋1
4. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40 ，则∠3的度数为( )
A.80 B.90 C.100 D.120
5. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地. 据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上.如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为( )
A. B. C. D.
6. 不等式组的解集在数轴上的表示正确的是( )
A. B. C. D.
7. 下列说法错误的是( )
A.“在平面上任意画一个六边形，其内角和为360”这一事件是必然事件
B.对“神舟二十号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式
C.在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率
D.在“吾辈当自强，唯我少年郎”的演讲比赛计分中，通常采用去掉一个最高分和一个最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响
8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载:“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗. 今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为( )
A. B. C. D.
9. 已知∠ADB，作图. 步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA，DB 于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点E，画射线DE. 步骤 2：在DB上任取一点O，以点O 为圆心，OD长为半径画半圆，分别交DA，DB，DE 于点P，Q，C；步骤3：连接PQ，OC.则下列结论不正确的是( )
A.＝ B.OC∥DA C.OC垂直平分PQ D.DP＝PQ
10.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝ax2＋bx＋c … t m －2 －2 n …
且当x＝－0.5时，其对应的函数值y＞0，有下列结论：①abc＞0；②－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝t的两个根；③b2－4ac＞0；④当0＜x＜1时，y＜－2；⑤0＜m＋n＜. 其中正确结论的个数是( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题5分，共15分)
11.代数式中x的取值范围是_________.
12.计算：－＝_________.
13.任意写出一个满足“当x＞0时，y随工增大而减小”的函数为___________.
14.截止 2024年9月，我国共13位共和国勋章获得者. 老师制作了正面分别书写有孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者为国奉献的事迹的四张卡片，除此之外背面完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是_________.
15.在矩形ABCD的对角线BD上取一点E，使得DE＝2BE，连接CE，将△CEB沿CE翻折得到△CEF，连接AF，BF，⑴∠AFB＝_______；⑵若AB＝6，BC＝9，则AF＝________.
三、解答题(共75分).
16.(6分)计算：－22＋2cos60 ＋(－2025)0－(－)－1.
17.(6分)如图，□ABCD的对角线相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，求证：BE＝DF.
18.(6分)风能是一种消洁能源，我国风能资源非常丰富. 风力发电发展迅速，习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和，某校数学综合与实践小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，电塔简是风力发电设施中不可或缺的重要组成部分，它的高度是一个重要的设计参数.于是该小组成员开展了测量风电塔筒高度(即风力发电的塔杆)的实践活动.形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 风电塔筒的高度
测量目的 运用三角函数有关知识解决实际问题
测量工具 测角仪、激光测距仪等
测量示意图
测量方案 1. 在风电塔筒的空地上取测量点C，利用测角仪PC测得此时点A的仰角∠APQ＝53 ； 2. 改变测量点，在风电塔筒另一侧空地上取点D，利用测角仪MD测得此时点A的仰角∠AMN＝45 ； 3. 测得PC＝1米，MD＝0.5米，CD＝200米.(图中各点均在同一竖直平面内)
请根据以上测量数据，求风电塔筒AB的高度(参考数据：sin53 ≈0.80，cos53 ≈0.60，tan53 ≈).
19.(8分)学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竟赛活动，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，其分为四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95＜x≤100)，下面给出了部分信息.
七年级10名学生的竞赛成绩：80、96、99、99、90、99、89、82、86、100.
八年级10名学生的竞赛成绩： 94、90、94 (部分数据被墨水污染)
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 93 a 52
八年级 92 b 100 50.4
根据以上信息，解答下列问题.
⑴ 填空：a＝_______，b＝_______，c＝_______，并补
全条形统计图.
⑵ 若规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有800人和860人，估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生人数共多少人？
⑶ 分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“生活中的数学”知识竞赛掌握得更好？请说明理由(写一条即可).
20.(8分)如图，正比例函数y＝－x的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象相交于点A(a ，2)，B.
⑴ ①求点A 的坐标和反比例函数表达式；
②填空：点B的坐标为____________；
⑵ 若点 P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到x轴距离大于3，请根据图象直接写出m的取值范围.
21.(8分)如图，直线AB经过⊙O上的点E，直线AO交⊙O于点D，OB⊙O于点G，连接 DE交OB于点F，连接EG，若点G是弧DE的中点，∠BEF＝∠DOG.
⑴ 求证：AB 是⊙O的切线；
⑵ 若BE＝6，EG＝GB，求图中阴影部分面积.
22.(10分)【问题背景】教室改造采光窗户，如图1，窗户上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形.
【建立模型】如图 2，不考虑边框的宽度，将窗户抽象成几何图形，图中所有线段总长10.5 m.设 AE 的长为x m.
⑴ 直接用含x的式子表示出矩形窗户AEFD和矩形窗户BCFE的透光面积；
⑵ 当窗户的总面积为2.5 m时，求BE的长；
【方案解决】⑶ 窗户的面积越大，采光效果越好，基于美观的考虑，要求BE≥EF，请设计一个使采光效果最佳的方案，确定AE的长.
23.(11分)【问题情境】点E是矩形ABCD的边AE上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点处.
【猜想证明】⑴ 如图1，判断四边形ABE的形状，并说明理由；
【深入探究】⑵ 如图2，将图1中的四边形CDE 沿直线E折叠，点C、D分别落在边BC，AD上的点，处，交BE于点H，展开铺平再将△EH饶点E时针方向旋转α(0 ＜α＜45 )得到△EGF，点H，的对应点分别为G，F. 连接 AF，BG. 求的值；
【拓展延伸】⑶ 如图3，在⑵的条件下，当F，B，G在同一条直线上时，EG的延长线交AB 于点M，FG交AD 于点N. 若＝. 试探究线段AN与BM之间的数量关系，并说明理由.
24.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋4ax(a≠0)过原点且与x轴负半轴交于点A，过点A作直线y＝－x－4交y轴于点B.
⑴ 求点A、B的坐标及抛物线的对称轴；
⑵ 如图，当a＝1时，点P是直线AB下方抛物线y＝ax2＋4ax(a≠0)上一点，抛物线的对称轴l交x轴于点C，连接BP、BC，若∠OBC＝∠ABP，求点P的坐标；
⑶ 已知点M(－2，－2)，N(－2＋2a，5a).
①求点N所在函数的解析式；
②若抛物线与线段MN有公共点，直接写出a的取值范围.
2024—2025年中考数学模拟测试题E参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C C B A A D D
二、填空题(每小题5分，共15分)
11.x≥2 12.x－1 13.y＝－x(答案不唯一) 14. 15.⑴90 ；⑵.
三、解答题(共75分).
【16】解：原式＝1.
【17】证明：∵□ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90 ，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE＝DF.
【18】解：115 m.
【19】解：⑴99，94，补图略(1)；
⑵1082；
⑶从表格来看，八年级的中位数比七年级的中位数大，说明八年级获得94分的比七年级多，所以八年级学生对“生活中的数学”知识竞赛掌握的更好.
【21】解：⑴①A(－3，2)，y＝－.
②(3，－2).
⑵－2＜m＜0或0＜m＜2.
【21】⑴证明：连接OE，
∵G是弧DE的中点，
∴弧DG＝弧EG，
∴∠EOG＝∠DOG，
∵OE＝OD，
∴OF⊥DE，
∴∠EOF＋∠OEF＝90 ，
∵∠BEF＝∠DOG＝∠EOF，
∴∠OEB＝∠OEF＋∠BEF＝∠OEF＋∠EOF＝90 ，
∴OE⊥AB，
∵OE是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线.
⑵解：∵∠EFB＝90 ，
∴∠DEB＋∠B＝90 ，
∴∠DEB＋∠B＝90 ，
∵EG＝GB，
∴∠GEB＝∠B，
∴∠GEB＝∠B，
∵∠DEG＝∠BEG，
∴∠DEG＝∠BEG＝∠B＝30 ，
∴∠DEG＝∠BEG＝∠B＝30 ，
在Rt△EFB中，BE＝6，
∴EF＝BE＝3，
∵OG⊥DE，
∴EF＝DF＝3，
在Rt△OFD中，∠DOB＝2∠DEG＝60 ，
∴OF＝＝＝，
∴OD＝2OF＝，
∴S阴影＝S扇形DOG－S△DOF
＝－××3＝2π－.
【22】解：⑴由题意，矩形窗户AEFD的长EF＝2x，宽AE＝x，
∴矩形窗户AEFD的面积＝2x2．
又∵所有线段总长10.5 m，矩形窗户AEFD的周长为7x，
∴矩形窗户BCFE的BC为2x，BE为(3.5－x)．
∴矩形窗户BCFE的面积＝2x(3.5－x)＝7x－6x2．
⑵由题意，2x2＋7x－6x2＝2.5，
∴x1＝0.5，x2＝1.25，
当 x＝1.25时，BE＝3.5－3x＝－0.25，不合题意，舍去，
当x＝0.5时，BE＝3.5－3x＝2.
⑶由题意，窗户采光面积y＝－4x2＋7x＝－4(x－)2＋，
∵BE≥EF，
∴3.5－3x≥2x，
∴x≤0.7，
∵－4＜0，抛物线开口向下，
∴当x＜时，y随x的增加而增加，
∴在x≤0.7的范围内，当x＝0.7时，采光面积最大，
答：当AE为0.7时，采光面积最大.
【23】解：⑴四边形ABE是正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90 ，
由折叠性质得：∠BE＝∠A＝90 ，BA＝B，
∴四边形ABE是矩形．
∴四边形ABE是正方形.
⑵∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠D＝90 ，
由折叠性质得：∠E＝∠D＝90 ，
∴∠E＝∠BAE＝90 ，
∴∥AB，
∴＝，
由旋转性质得 EF＝EH，E＝EF，∠BEG＝∠AEF，
∴＝，
∴△EBG∽△EAF，
∴＝，
由折叠性质知∠ABE＝∠ABC＝45 ，
∴在 Rt△ABE 中，sin45 ＝＝，
∴＝＝，
即＝.
(法二)直接用三函更简单.
⑶过M作MP⊥BG于P，
∵＝，
∴令GM＝，BG＝3，
由题意知：∠AEB＝∠FEN＝45 ，∠F＝90 ，
∵B、G、F三点共线，
∴∠BGM＝∠EGF＝45 ，
∴PG＝PM＝GM·sin∠PGM＝1，
∴BP＝BG－PG＝2，
∴BM＝＝，
∵∠BNG＝∠EMB，∠MGB＝∠MBE，
∴△MBG∽MBE，
∴＝，即＝，
∴BE＝，
∴AB＝BE·sin∠AEB＝，
∵∠A＝90 ，MP⊥BG，
∴tan∠ABN＝＝，即＝，
∴AN＝，
∴＝＝，
即3BM＝4AN.
【24】解：⑴当y＝－x－4＝0时，x＝－4，
当x＝0时，y＝－x－4＝－4，
∴A(－4，0)，B(0，－4)，
抛物线对称轴为x＝－＝－2.
⑵当a＝1时，y＝x2＋4x，
过P作PD⊥x轴于D，过C作CE⊥AB于E，延长BP交x轴于F，
由⑴知：A(－4，0)，B(0，－4)，抛物线对称轴为x＝－2，
∴OA＝OB＝4，AC＝2，
∴∠OAB＝∠OBA＝45 ，AB＝＝，
∴AE＝CE＝AC·sin∠OAB＝，
∴BE＝AB－AE＝，
∴∠tan∠ABC＝＝，
∵∠ABP＝∠OBC，
∴∠ABC＋∠ABP＝∠OBC＋∠ABC＝45 ＝∠CBP，
∵∠OAB＝∠OFB＋∠ABF＝45 ，
∴∠OFB＝∠ABC，即tan∠OFB＝tan∠ABC，
∴＝，即OF＝3OB＝12，
∴F(－12，0)，
设P(x，x2＋4x)，则PD＝x2－4x，DF＝x＋12，
∴tan∠OFB＝＝，即＝，
∴x1＝－，x2＝－3，
∴P(－，－)或(3，－3).
(法二)联立直线BP(过C作CE⊥CB，在CE上取点E，使CE＝CB，过E作EF⊥x轴于F，则y＝－3x－4)与抛物线解析式也可以.
(法三)延长PD交x轴于F，过P作PD⊥x轴于D，证△CBA∽△CFB求出CF的长，可得点F的坐标.
⑶①∵N(－2＋2a，5a)，
∴x＝－2＋2a，y＝5a，
∴y＝x＋5.
②a≤－或0＜a≤或a≥.
解法：当(－2，－2)在y＝ax2＋4ax上时，
∴－2＝4a－8a，
∴a＝，
当N(－2＋2a，5a)在y＝ax2＋4ax上时，
∴5a＝a(－2＋2a)＋4a(－2＋2a)，
∵a≠0，
∴a1＝－，a2＝，
结合函数图象知：当a≤－或0＜a≤或a≥时，抛物线与线段MN有公共点.

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